近圓軌道下航天器相對運動的滑?？刂?/h1>
2017-05-09 03:22:22柴鑫彤楊學博
電子設(shè)計工程 2017年1期
柴鑫彤，楊學博
（渤海大學 信息科學與技術(shù)學院，遼寧 錦州 121013）
近圓軌道下航天器相對運動的滑模控制
柴鑫彤，楊學博
（渤海大學 信息科學與技術(shù)學院，遼寧 錦州 121013）
文中確定了一個切換函數(shù)和控制律，設(shè)計了一個針對近圓軌道無擾動理想狀態(tài)下航天器相對運動的滑?？刂破?，使實際狀態(tài)與期望狀態(tài)偏差達到或接近于0。切換函數(shù)和控制律的穩(wěn)定性的證明利用了Lyapunov函數(shù)。最后通過Matlab仿真實驗驗證了該滑?？刂破鞯挠行?。
滑模控制；相對運動；航天器；空間交會
隨著第一套航天紀念鈔的發(fā)行，航天領(lǐng)域以及航天技術(shù)的發(fā)展已經(jīng)具有越來越重要的意義。中國的航天活動也愈來愈頻繁。在國家即將發(fā)射長征七號、天宮二號、神州十一號和將要實施嫦娥五號計劃，以及中國空間站即將投入使用的大背景下，航天器相對運動問題的研究更具有時代意義。
滑?？刂瞥霈F(xiàn)于上個世紀60年代，經(jīng)過世界各國各個年代領(lǐng)域新秀、資深專家學者的研究，目前各個分支領(lǐng)域已經(jīng)在兩個世紀的研究中逐漸相對獨立，并且這種設(shè)計方法已經(jīng)被各自領(lǐng)域人士重視及應用[1-7]?；？刂品椒ū旧?，可以根據(jù)自需選取適當?shù)幕Ｇ袚Q面[8]和控制律[9-10]，能夠快速對輸入的變換進行響應是自身的一大優(yōu)勢，且具有很好的魯棒性。所以，用滑?？刂品椒ㄑ芯亢教炱飨鄬\動問題意義重大。文中在此趨勢下，合理地設(shè)計了近圓軌道情形理想狀態(tài)下的航天器相對運動滑模控制器，在兩航天器的完全交會背景下，驗證了控制器系統(tǒng)是可行有效的。
1 航天器相對運動模型
設(shè)目標航天器的質(zhì)心A為坐標原點，x軸由地心指向目標航天器質(zhì)心；y軸在軌道平面內(nèi)，且指向運動方向為正；z軸沿軌道平面正法線方向；y軸、z軸構(gòu)成右手定則[11]。航天器和航天器D相對運動的坐標系如圖1所示。
圖1 航天器相對運動坐標系
令ρ表示追蹤航天器D相對于目標航天器A的位置矢量，即：
式中，ra表示目標航天器相對地球的位置矢量，rd表示追蹤航天器相對地球的位置矢量。
假設(shè)航天器A與目標航天器D的距離遠小于航天器與地心間的距離，對式（1）以地心為坐標原點的坐標系進行二次求導，得相對運動矢量方程為[12-13]：
式中，ra=|ra|和rd=|rd|分別表示目標和追蹤航天器的地心距；t為時間；μ為地球引力常數(shù)；u表示作用在蹤航天器D上推力產(chǎn)生的加速度。在圖1坐標系下：
式中，x、y、z是追蹤航天器相對目標航天器的位置坐標。
2 近圓軌道下航天器相對運動的滑?？刂破髟O(shè)計
其中
那么，動力學方程（4）則化成：
為了對下文滑?？刂破鞯挠行缘尿炞C，設(shè)計相對狀態(tài)由ρ*來表示，實時偏差用e表示，那么e= ρ-ρ*，則所以：
2.1 確定切換函數(shù)
將切換函數(shù)設(shè)計成如下形式：
式中：ζ是3×3的正定對稱常值矩陣。
現(xiàn)在需要驗證上述切換面的的穩(wěn)定性，所以定義如下Lyapunov函數(shù)：
對式（10）求導，可得
根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理[9]，滑動模態(tài)漸近穩(wěn)定。
2.2 控制律推導
在解決了滑?？刂葡到y(tǒng)的滑動模態(tài)后，工作重點將轉(zhuǎn)移到控制律設(shè)計部分，利用滑動模態(tài)可達條件設(shè)計滑模變結(jié)構(gòu)控制。選取指數(shù)趨近律保證到達條件：
式中，λ、k是三階正定對角陣。
將式（7）、式（8）、式（9）、式（12）聯(lián)立，化簡可得
現(xiàn)在需要驗證上述控制律的穩(wěn)定性，所以定義如下Lyapunov函數(shù)：
對式（14）求導，可得
根據(jù)李雅普諾夫函數(shù)穩(wěn)定性定理，所設(shè)計的滑模控制器式（13），可以保證滑?？刂葡到y(tǒng)全局漸進穩(wěn)定。
即式（13）就是文中所設(shè)計的近圓軌道無擾動情形下航天器相對運動的滑模控制器。
3 仿真算例
考慮目標航天器運行軌道半徑為700 km，追蹤航天器D已經(jīng)運行至目標航天器附近保持相對靜止，與目標航天器的初始相對距離為[-800 m，300 m，-400 m]，任務(wù)目標為：實現(xiàn)兩航天器的完全交會，即期望相對距離為[0 m，0 m，0 m]。此外，我們選取下列相應的控制參數(shù)：
在上述初始情況及控制參數(shù)作用下，應用式（13）中的控制算法對追蹤航天器進行控制驅(qū)動，航天器相對距離的變化如圖2所示。
圖2 三軸相對距離
圖3 追蹤航天器三軸控制輸入加速度
可見，兩航天器在三軸的相對距離均收斂為0，能夠在大約600秒時實現(xiàn)最終的交會。在相對運動過程中，施加在追蹤航天器三軸上的加速度如圖3所示。
從圖3可見，y軸所需的控制加速度比較大，x軸和z軸所需控制加速度比較小。為了體現(xiàn)滑模控制的特點，圖4和圖5給出了滑模切換函數(shù)和其符號函數(shù)的變化曲線?？梢?，當相對距離收斂至0左右時，符號函數(shù)開始起作用，通過頻繁調(diào)整保證相對距離保持為0。當然，對于實際交會任務(wù)來說，航天器交會往往會通過對接等形式連成一個整體，追蹤航天器也不再需要后續(xù)的控制推力作用。仿真曲線僅充分展示出了滑?？刂频奶匦浴?/p>
圖4 滑模切換函數(shù)S變化曲線
圖5 符號函數(shù)變化曲線
通過以上仿真可見，提出的滑?？刂扑惴ㄓ行崿F(xiàn)了追蹤航天器與目標航天器的交會。值得指出的是，所提出的控制算法可以通過改變參數(shù)實現(xiàn)不同任務(wù)需求。比如在上面的仿真中，可以發(fā)現(xiàn)控制輸入加速度較大。如果追蹤航天器功率較小，控制輸入無法提供較大的推力，那么可通過減小參數(shù)來實現(xiàn)。如選取k為diag[0.004，0.006，0.004]，則三軸相對距離變化曲線和控制輸入加速度曲線分別如圖6和圖7所示。
通過將圖2、3與圖6、7相對比可見，采用新參數(shù)k情況下，追蹤航天器需要較小的控制輸入，但所需的交會時間相應延長。這種情況適用于載人航天器或小型航天器等合作航天器之間實現(xiàn)自主交會。相反，如要求以盡可能短的時間實現(xiàn)交會，比如非合作航天器間的攔截任務(wù)，則可在最大推力允許范圍內(nèi)增大參數(shù)k，以此縮短交會時間?？梢?，控制參數(shù)便于根據(jù)實際需要進行調(diào)節(jié)也是所提出控制算法的一項優(yōu)點。
圖6 三軸相對距離（新參數(shù)k）
圖7 追蹤航天器三軸輸入控制加速度（新參數(shù)k）
4 結(jié) 論
合理地設(shè)計出的近圓軌道情形理想狀態(tài)下的航天器相對運動滑模控制器，在兩航天器的完全交會下，驗證了控制器系統(tǒng)是可行有效的。
[1]Huber O，Acary V，Brogliato B.Lyapunov stability and performance analysis of the implicit discrete sliding mode control[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2016.
[2]Serna-Garcés，Sergio Ignacio，Gonzalez Montoya， et al.Sliding-mode control of a charger/discharger DC/DC converter for DC-Bus regulation in renewable power syst-ems[J].Energies，2016，9.
[3]Bartolini G，Levant A，Pisano A，et al.Adaptive second-order sliding mode control with uncertainty compensation[J].International Journal of Control，2016:1-19.
[4]Eom M，Chwa D.Adaptive integral sliding mode control for nuclear research reactor with system uncertainties and input perturbation[J].Electronics Letters，2016，52（4）:272-274.
[5]Elmokadem T，Zribi M，Youcef-Toumi K.Trajectory tracking sliding mode control of underactuated AUVs[J].Nonlinear Dynamics，2016，84（2）: 1079-1091.
[6]Incremona G P，Cucuzzella M，F(xiàn)errara A.Adaptive suboptimal second order sliding mode control for microgrids[J].International Journal of Control，2016:1-37.
[7]高會軍，楊學博，王常虹.一種有限推力航天器交會軌道的魯棒設(shè)計方法[J].空間控制技術(shù)與應用，2009，35（2）:3-6+23.
[8]李敏麗.基于滑模變結(jié)構(gòu)的航天器姿態(tài)控制方法研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學，2009.
[9]高為炳.變結(jié)構(gòu)控制的理論及設(shè)計方法[M].北京:科技出版社，1998.
[10]齊亮.基于滑模變結(jié)構(gòu)方法的永磁同步電機控制問題研究及應用[D].上海：華東理工大學，2013.
[11]劉魯華，孟云鶴，安雪瀅.航天器相對運動軌道動力學與控制[M].北京：中國宇航出版社，2013.
[12]楊樂平，朱彥偉，黃渙.航天器相對運動軌跡規(guī)劃與控制[M].北京：國防工業(yè)出版社，2010.
[13]高翔宇.航天器軌道交會魯棒和最優(yōu)控制設(shè)計[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學，2014.
[14]Lawden D F.Optimaltrajectoriesforspace navigation[M].London:Butterworths，1963.
[15]Clohessy W H，Wiltshire R S.Terminal guidance system for satellite rendezvous[J].Journal of the Aerospace Science，1960，27（9）:653-658.
The sliding mode control for spacecraft relative motion on circular orbit
CHAI Xin-tong，YANG Xue-bo
（The College of Information Science and Technology，Bohai University，Jinzhou 121013，China）
This paper determines a switching function and a control law，and according to the relative motion dynamics between spacecrafts in a near-circular orbit without disturbance，a sliding mode controller is designed to drive the deviation of the actual and expected state to reach or close to zero. Besides，the stability of the switching function and the control law is proved by using the Lyapunov function.Finally，the effectiveness of the sliding mode controller is verified by Matlab simulation.
sliding mode control；relative motion；spacecraft；space rendezvous
TN01
：A
：1674－6236（2017）01-0093-04
2016-04-22稿件編號：201604221
國家自然科學基金(61203122)；遼寧省自然科學基金(2013020023)
柴鑫彤（1990—），女，遼寧阜新人，碩士研究生。研究方向：航天器控制。
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（渤海大學 信息科學與技術(shù)學院，遼寧 錦州 121013）
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滑模控制；相對運動；航天器；空間交會
隨著第一套航天紀念鈔的發(fā)行，航天領(lǐng)域以及航天技術(shù)的發(fā)展已經(jīng)具有越來越重要的意義。中國的航天活動也愈來愈頻繁。在國家即將發(fā)射長征七號、天宮二號、神州十一號和將要實施嫦娥五號計劃，以及中國空間站即將投入使用的大背景下，航天器相對運動問題的研究更具有時代意義。
滑?？刂瞥霈F(xiàn)于上個世紀60年代，經(jīng)過世界各國各個年代領(lǐng)域新秀、資深專家學者的研究，目前各個分支領(lǐng)域已經(jīng)在兩個世紀的研究中逐漸相對獨立，并且這種設(shè)計方法已經(jīng)被各自領(lǐng)域人士重視及應用[1-7]?；？刂品椒ū旧?，可以根據(jù)自需選取適當?shù)幕Ｇ袚Q面[8]和控制律[9-10]，能夠快速對輸入的變換進行響應是自身的一大優(yōu)勢，且具有很好的魯棒性。所以，用滑?？刂品椒ㄑ芯亢教炱飨鄬\動問題意義重大。文中在此趨勢下，合理地設(shè)計了近圓軌道情形理想狀態(tài)下的航天器相對運動滑模控制器，在兩航天器的完全交會背景下，驗證了控制器系統(tǒng)是可行有效的。
1 航天器相對運動模型
設(shè)目標航天器的質(zhì)心A為坐標原點，x軸由地心指向目標航天器質(zhì)心；y軸在軌道平面內(nèi)，且指向運動方向為正；z軸沿軌道平面正法線方向；y軸、z軸構(gòu)成右手定則[11]。航天器和航天器D相對運動的坐標系如圖1所示。
圖1 航天器相對運動坐標系
令ρ表示追蹤航天器D相對于目標航天器A的位置矢量，即：
式中，ra表示目標航天器相對地球的位置矢量，rd表示追蹤航天器相對地球的位置矢量。
假設(shè)航天器A與目標航天器D的距離遠小于航天器與地心間的距離，對式（1）以地心為坐標原點的坐標系進行二次求導，得相對運動矢量方程為[12-13]：
式中，ra=|ra|和rd=|rd|分別表示目標和追蹤航天器的地心距；t為時間；μ為地球引力常數(shù)；u表示作用在蹤航天器D上推力產(chǎn)生的加速度。在圖1坐標系下：
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對式（10）求導，可得
根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理[9]，滑動模態(tài)漸近穩(wěn)定。
2.2 控制律推導
在解決了滑?？刂葡到y(tǒng)的滑動模態(tài)后，工作重點將轉(zhuǎn)移到控制律設(shè)計部分，利用滑動模態(tài)可達條件設(shè)計滑模變結(jié)構(gòu)控制。選取指數(shù)趨近律保證到達條件：
式中，λ、k是三階正定對角陣。
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現(xiàn)在需要驗證上述控制律的穩(wěn)定性，所以定義如下Lyapunov函數(shù)：
對式（14）求導，可得
根據(jù)李雅普諾夫函數(shù)穩(wěn)定性定理，所設(shè)計的滑模控制器式（13），可以保證滑?？刂葡到y(tǒng)全局漸進穩(wěn)定。
即式（13）就是文中所設(shè)計的近圓軌道無擾動情形下航天器相對運動的滑模控制器。
3 仿真算例
考慮目標航天器運行軌道半徑為700 km，追蹤航天器D已經(jīng)運行至目標航天器附近保持相對靜止，與目標航天器的初始相對距離為[-800 m，300 m，-400 m]，任務(wù)目標為：實現(xiàn)兩航天器的完全交會，即期望相對距離為[0 m，0 m，0 m]。此外，我們選取下列相應的控制參數(shù)：
在上述初始情況及控制參數(shù)作用下，應用式（13）中的控制算法對追蹤航天器進行控制驅(qū)動，航天器相對距離的變化如圖2所示。
圖2 三軸相對距離
圖3 追蹤航天器三軸控制輸入加速度
可見，兩航天器在三軸的相對距離均收斂為0，能夠在大約600秒時實現(xiàn)最終的交會。在相對運動過程中，施加在追蹤航天器三軸上的加速度如圖3所示。
從圖3可見，y軸所需的控制加速度比較大，x軸和z軸所需控制加速度比較小。為了體現(xiàn)滑模控制的特點，圖4和圖5給出了滑模切換函數(shù)和其符號函數(shù)的變化曲線?？梢?，當相對距離收斂至0左右時，符號函數(shù)開始起作用，通過頻繁調(diào)整保證相對距離保持為0。當然，對于實際交會任務(wù)來說，航天器交會往往會通過對接等形式連成一個整體，追蹤航天器也不再需要后續(xù)的控制推力作用。仿真曲線僅充分展示出了滑?？刂频奶匦浴?/p>
圖4 滑模切換函數(shù)S變化曲線
圖5 符號函數(shù)變化曲線
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通過將圖2、3與圖6、7相對比可見，采用新參數(shù)k情況下，追蹤航天器需要較小的控制輸入，但所需的交會時間相應延長。這種情況適用于載人航天器或小型航天器等合作航天器之間實現(xiàn)自主交會。相反，如要求以盡可能短的時間實現(xiàn)交會，比如非合作航天器間的攔截任務(wù)，則可在最大推力允許范圍內(nèi)增大參數(shù)k，以此縮短交會時間?？梢?，控制參數(shù)便于根據(jù)實際需要進行調(diào)節(jié)也是所提出控制算法的一項優(yōu)點。
圖6 三軸相對距離（新參數(shù)k）
圖7 追蹤航天器三軸輸入控制加速度（新參數(shù)k）
4 結(jié) 論
合理地設(shè)計出的近圓軌道情形理想狀態(tài)下的航天器相對運動滑模控制器，在兩航天器的完全交會下，驗證了控制器系統(tǒng)是可行有效的。
[1]Huber O，Acary V，Brogliato B.Lyapunov stability and performance analysis of the implicit discrete sliding mode control[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2016.
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[4]Eom M，Chwa D.Adaptive integral sliding mode control for nuclear research reactor with system uncertainties and input perturbation[J].Electronics Letters，2016，52（4）:272-274.
[5]Elmokadem T，Zribi M，Youcef-Toumi K.Trajectory tracking sliding mode control of underactuated AUVs[J].Nonlinear Dynamics，2016，84（2）: 1079-1091.
[6]Incremona G P，Cucuzzella M，F(xiàn)errara A.Adaptive suboptimal second order sliding mode control for microgrids[J].International Journal of Control，2016:1-37.
[7]高會軍，楊學博，王常虹.一種有限推力航天器交會軌道的魯棒設(shè)計方法[J].空間控制技術(shù)與應用，2009，35（2）:3-6+23.
[8]李敏麗.基于滑模變結(jié)構(gòu)的航天器姿態(tài)控制方法研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學，2009.
[9]高為炳.變結(jié)構(gòu)控制的理論及設(shè)計方法[M].北京:科技出版社，1998.
[10]齊亮.基于滑模變結(jié)構(gòu)方法的永磁同步電機控制問題研究及應用[D].上海：華東理工大學，2013.
[11]劉魯華，孟云鶴，安雪瀅.航天器相對運動軌道動力學與控制[M].北京：中國宇航出版社，2013.
[12]楊樂平，朱彥偉，黃渙.航天器相對運動軌跡規(guī)劃與控制[M].北京：國防工業(yè)出版社，2010.
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[14]Lawden D F.Optimaltrajectoriesforspace navigation[M].London:Butterworths，1963.
[15]Clohessy W H，Wiltshire R S.Terminal guidance system for satellite rendezvous[J].Journal of the Aerospace Science，1960，27（9）:653-658.
The sliding mode control for spacecraft relative motion on circular orbit
CHAI Xin-tong，YANG Xue-bo
（The College of Information Science and Technology，Bohai University，Jinzhou 121013，China）
This paper determines a switching function and a control law，and according to the relative motion dynamics between spacecrafts in a near-circular orbit without disturbance，a sliding mode controller is designed to drive the deviation of the actual and expected state to reach or close to zero. Besides，the stability of the switching function and the control law is proved by using the Lyapunov function.Finally，the effectiveness of the sliding mode controller is verified by Matlab simulation.
sliding mode control；relative motion；spacecraft；space rendezvous
TN01
：A
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