江蘇省淮陰中學(xué)新城校區(qū) 韓先麗

例談中考數(shù)學(xué)中最值問(wèn)題的解決策略

江蘇省淮陰中學(xué)新城校區(qū) 韓先麗

隨著新課標(biāo)的實(shí)施與推廣，近幾年全國(guó)各地的中考試卷中出現(xiàn)了許多與最值有關(guān)的數(shù)學(xué)題目。這類(lèi)問(wèn)題具有較強(qiáng)的開(kāi)放性和探索性，設(shè)計(jì)又新穎，能有效地考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、動(dòng)手操作能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)和創(chuàng)新精神，很受命題者的青睞。這類(lèi)問(wèn)題形式多樣，能考查學(xué)生與多方面知識(shí)的整合和運(yùn)用能力，已逐步成為中考試卷中的一個(gè)亮點(diǎn)。在此采擷幾例中考試題加以歸類(lèi)淺析，供同行探討。

一、與不等式相結(jié)合的最值問(wèn)題

例1 （南京中考）鐵路部門(mén)規(guī)定旅客免費(fèi)攜帶行李箱的長(zhǎng)、寬、高之和不超過(guò)160cm，某廠家生產(chǎn)符合該規(guī)定的行李箱，已知行李箱的高為30cm，長(zhǎng)與寬的比為3∶2，則該行李箱的長(zhǎng)的最大值為cm。

解：設(shè)長(zhǎng)為3 x cm，寬為2 x cm，由題意，得：5x+30≤160，

解得x≤26，故行李箱的長(zhǎng)的最大值為78cm。

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，找到不等關(guān)系，建立不等式。

二、轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解決的最值問(wèn)題

例2 （蘇州中考）如圖1，直線l與半徑為4的⊙O相切于點(diǎn)A，P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），過(guò)點(diǎn)P作PB⊥l，垂足為B，連接PA。設(shè)PA=x，PB=y，則x－y的最大值是 。

圖1

圖2

解：如圖2，作直徑AC，連接CP，∴∠CPA=90°，

∵AB是切線，∴CA⊥AB，∵PB⊥l，

∴AC∥PB，∴∠CAP=∠APB，

當(dāng)x=4時(shí)，x-y有最大值是2。

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)。平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵。

三、利用軸對(duì)稱(chēng)解決的最值問(wèn)題

例3 （宿遷中考）如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上移動(dòng)，則PE+PC的最小值是 。

圖3

圖4

解：如圖4，連接AE，AP，

∵點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)A，∴PE+PC=PE+AP，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得AE就是AP+PE的最小值。

∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E是BC邊的中點(diǎn)，∴BE=1，∴

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)和軸對(duì)稱(chēng)及勾股定理等知識(shí)。根據(jù)已知及兩點(diǎn)之間線段最短可得AE就是PE+PC的最小值是解題關(guān)鍵。

例4 （連云港中考改編）某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)線段上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行探究，如圖5，已知AB=8，P是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，分別以AP，BP為邊在同側(cè)作正方形APDC和正方形PBFE。若點(diǎn)M、N是線段AB上的兩點(diǎn)，且AM=BN=1，點(diǎn)G、H分別是邊CD、EF的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P從M到N的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，GH的中點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)及OM+OB的最小值。

圖5

如圖6，分別過(guò)點(diǎn)G、O、H作AB的垂線，垂足分別為點(diǎn)R、S、T，則四邊形GRTH為梯形。

∵點(diǎn)O為中點(diǎn)，

∴點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑在與AB距離為4的平行線上。

由題意知MN=6，點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)O為GH中點(diǎn)，

如圖7，作點(diǎn)M關(guān)于直線XY的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，連接BM′，與XY交于點(diǎn)O。

由軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可知，此時(shí)OM+OB=BM′最小。

圖6

圖7

點(diǎn)評(píng)：本題是中考?jí)狠S題，難度較大。解題難點(diǎn)在于分析動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，需要很好的空間想象能力和作圖分析能力。此外，本題還綜合考查了二次函數(shù)、整式運(yùn)算、四邊形、中位線、相似、軸對(duì)稱(chēng)與勾股定理等眾多知識(shí)點(diǎn)，是一道好題。

四、對(duì)教學(xué)的啟示

1.重視“四基”，提升思維品質(zhì)

2011年版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出了學(xué)生獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的“四基”，即基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。較之之前的課程要求，新增了基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，這就要求課堂教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生歸納并體會(huì)數(shù)學(xué)中常用的思想方法，如：分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、類(lèi)比等數(shù)學(xué)思想。為了體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，這就要求教師要從學(xué)生的角度去設(shè)計(jì)一些貼近生活，利于操作，學(xué)生感興趣并積極參與的活動(dòng)，并讓學(xué)生在活動(dòng)中獨(dú)立思考、主動(dòng)探索、合作交流，使學(xué)生能夠通過(guò)活動(dòng)，理解和掌握基本的知識(shí)和技能，體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

2.培養(yǎng)“四能”，善于反思創(chuàng)新

2011年版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出“體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系……增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力”，這就要求教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)中要有學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的平臺(tái)；教學(xué)探索環(huán)節(jié)中教師要退居二線，不可包辦、代辦，要突出學(xué)生的主體地位，引導(dǎo)學(xué)生要有自主思考，合作探究的數(shù)學(xué)活動(dòng)意識(shí)。從歷年中考立意來(lái)看，“四能”不僅要求學(xué)生會(huì)根據(jù)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法分析和解決提出的問(wèn)題，更要求學(xué)生有發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力，這是要求學(xué)生會(huì)知識(shí)遷移，是對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的要求。這些都需要我們?cè)诮窈蟮慕虒W(xué)中加以重視和培養(yǎng)。