張凱，熊家軍

(空軍預(yù)警學(xué)院 a. 研究生管理大隊; b. 四系，湖北 武漢 430019)

滑翔式高超聲速目標(biāo)可達區(qū)域計算方法*

張凱a，熊家軍b

(空軍預(yù)警學(xué)院 a. 研究生管理大隊; b. 四系，湖北 武漢 430019)

針對滑翔式高超聲速目標(biāo)能夠利用強大的橫向機動能力形成較大的可達區(qū)域的特點，著眼于系統(tǒng)闡述這類問題的解決方案，研究了幾種可達區(qū)域計算方法。首先建立了滑翔式高超聲速目標(biāo)的三自由度動力學(xué)模型，并給出再入過程必須滿足的相關(guān)約束。然后詳細論述了軌跡優(yōu)化、再入走廊規(guī)劃、常傾側(cè)角和近似橢圓擬合4種滑翔式高超聲速目標(biāo)可達區(qū)域計算方法，給出了幾種方法具體的實現(xiàn)流程，并對方法的不足進行改進。通過算例仿真，對幾種可達區(qū)域計算方法的優(yōu)缺點與應(yīng)用特點進行了比較分析。最后，以軌跡優(yōu)化方法為例，分析了可達區(qū)域動態(tài)變化情況，驗證方法的完備性和動態(tài)適應(yīng)性。

高超聲速飛行器；再入滑翔；可達區(qū)域；偽譜法；再入走廊；常值傾側(cè)角；橢圓近似

0 引言

鑒于高超聲速武器巨大的軍事價值，美軍在多個科技規(guī)劃文件中均把“高超聲速”列為未來改變游戲規(guī)則的技術(shù)方向[1]。X-51A與AHW的試驗成功標(biāo)志著美軍高超聲速飛行器相關(guān)技術(shù)的基本成熟，這對我國構(gòu)建戰(zhàn)略防御體系帶來了巨大挑戰(zhàn)。以HTV-2，AHW為代表的滑翔式高超聲速目標(biāo)因其高升阻比外形設(shè)計，相對于傳統(tǒng)的慣性目標(biāo)，此類飛行器具有較強的機動能力，能夠利用強大的橫向機動能力形成一個較大的打擊區(qū)域，因此落點預(yù)報的可能性與彈道導(dǎo)彈相比大大降低。但是，由于飛行器再入過程中飛行狀態(tài)跨度大、飛行環(huán)境惡劣、動力學(xué)特性復(fù)雜，必須滿足各種復(fù)雜的約束條件，故再入軌跡并非無章可循。因此，防御方在獲得空襲目標(biāo)信息后，如能快速預(yù)報目標(biāo)打擊范圍，這對盡早制定攔截打擊方案意義重大。

針對計算滑翔式高超聲速目標(biāo)覆蓋范圍這一問題，早期Ngo將最優(yōu)化方法應(yīng)用于飛行器控制部件失效條件下的可達區(qū)域分析中，得到了一些有參考意義的結(jié)果[2]；Burkhardt以X-38為研究對象，利用一種最優(yōu)化方法計算了飛行器可達區(qū)域，并展開了地面著陸場選擇[3]。國內(nèi)一些學(xué)者分別利用偽譜法對再入飛行器的可達區(qū)域進行了分析研究[4-7]。相對于利用優(yōu)化方法計算覆蓋范圍，Saraf等人另辟途徑，他們在阻力-能量(D-E)剖面中考慮了各種約束，研究了可達區(qū)域分析方法[8]。國內(nèi)學(xué)者也在該方法的基礎(chǔ)上改進了產(chǎn)生可達區(qū)域再入邊界的插值方式和終端約束處理方法，使得計算結(jié)果更加精確[9-10]。近些年這些討論再入覆蓋范圍的論文方興未艾，但大多是站在攻擊方角度討論這類問題，同時，對再入覆蓋問題均是基于單一方法的求解。本文著眼于系統(tǒng)闡述這類問題的解決方法，詳細介紹了幾類典型的再入可達區(qū)域計算方案，并對各自的優(yōu)缺點與應(yīng)用特點進行了比較分析，以期為滑翔式高超聲速目標(biāo)防御提供一定理論參考。

1 再入動力學(xué)建模

在半速度坐標(biāo)系中建立飛行器三自由度動力學(xué)方程[11]，不考慮地球旋轉(zhuǎn)，并令飛行器側(cè)滑角為0。

(1)

式中：r,v,λ,φ,θ,σ為狀態(tài)參數(shù)，分別為飛行器的地心距、速度、經(jīng)度、緯度、速度傾角、航向角；D為阻力加速度；L為升力加速度；υ為傾側(cè)角。

在再入過程中，考慮以下熱流、法向過載、動壓和平衡滑翔飛行約束條件：

(2)

(3)

(4)

(5)

2 可達區(qū)域計算方法

2.1 軌跡優(yōu)化方法

針對飛行器再入可達區(qū)域問題，通常的做法是通過參數(shù)化，將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為縱程不定，求橫程最大的單參數(shù)優(yōu)化問題。

偽譜法由于在計算效率上的巨大優(yōu)勢，在航天器軌跡優(yōu)化領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[12-13]。hp-自適應(yīng)偽譜法是一種融合了Radau偽譜法與hp-型有限元法優(yōu)點的最優(yōu)問題解決方法，一方面，其利用多項式在離散點(配點)上對狀態(tài)變量和控制變量進行全局逼近；另一方面，配點處必須嚴格滿足動力學(xué)方程中的路徑約束和初始、終端條件，從而將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)約束。同時，這種優(yōu)化方法采用雙層邏輯改善求解過程的效率——在迭代過程中自適應(yīng)地改變單元長度h和插值多項式階次p，相比于傳統(tǒng)的偽譜法，具有更高的收斂效率和計算精度[14]。因此，本文選擇利用hp-自適應(yīng)偽譜法作為求解優(yōu)化彈道的方法，其基本原理如圖1所示，軌跡優(yōu)化方法如下：

(1) 根據(jù)求解再入落點區(qū)域問題，其優(yōu)化指標(biāo)為不定縱程對應(yīng)的最大橫程。首先分別取優(yōu)化指標(biāo)為J=Lmax和J=Lmin，即計算落點區(qū)域的遠邊界和近邊界。然后引入權(quán)重系數(shù)ω：

Li=Lmin+ω(Lmax-Lmin).

(6)

(2) 然后在確定的縱程Li情況下，取優(yōu)化指標(biāo)為J=Rmax，計算確定縱程對應(yīng)的最大橫程，將所有航程終點連接形成的區(qū)域即為打擊可達區(qū)域。

圖1 hp-自適應(yīng)偽譜法原理圖Fig.1 Schematic diagram of hp-adaptive pseudospectral method

2.2 再入走廊規(guī)劃方法

工程上，通常使用再入走廊進行彈道設(shè)計，再入走廊規(guī)劃方法的基本思想就是基于再入走廊的可行區(qū)域，在滿足初始、終端約束的條件下，規(guī)劃飛行器再入剖面從而計算落點區(qū)域。再入走廊一般在高度-速度(h-v)剖面、阻力-能量(D-E)剖面、阻力加速度-速度(D-v)剖面以及高度-能量(h-E)剖面內(nèi)描述，不同剖面描述的物理意義根據(jù)相關(guān)公式可以互相轉(zhuǎn)化。

圖2 阻力加速度方案Fig.2 Resistance acceleration of reentry corridor method

如圖2所示，本文以阻力加速度-速度(D-v)再入剖面為例，介紹再入走廊剖面規(guī)劃方法的基本原理：

(1) 描述再入走廊。根據(jù)上文介紹的熱流、動壓、法向過載和平衡滑翔約束描述再入走廊D-v剖面。

(2) 改進再入走廊邊界。首先計算初始阻力加速度D(v0)和終端阻力加速度D(vf)，確定再入剖面的起點和終點。再入走廊上邊界為最小阻力邊界，下邊界為最大阻力邊界。但阻力邊界曲線存在不平滑的變化，可利用三階多項式擬合改進最大和最小航程剖面。

(3) 設(shè)計再入剖面。對介于最大和最小航程剖面之間的航程，通過對兩者D-v剖面進行線性插值，近似獲得相應(yīng)的再入剖面。設(shè)計一種非均勻線性插值阻力方法，避免等比例線性插值造成實際再入軌跡過于聚集或稀疏。

(7)

式中：Di(v)為第i條再入剖面對應(yīng)的阻力加速度曲線；Dmax(v)為修正的最大阻力剖面；Dmin(v)為修正的最小阻力剖面；n為設(shè)計的再入剖面?zhèn)€數(shù)。

(4) 在線跟蹤再入剖面。仿真時調(diào)整傾側(cè)角大小控制飛行器的阻力加速度等于所選擇的飛行剖面確定的阻力加速度，保持傾側(cè)角的符號獲得相應(yīng)方向的最大橫程，通過跟蹤不同再入剖面得到再入落點區(qū)域。

一般而言，為使軌跡盡快偏離再入徑向剖面，應(yīng)當(dāng)使傾側(cè)角符號為正或為負保證飛行器始終朝一個方向轉(zhuǎn)彎，然而一旦速度偏角超過了發(fā)射坐標(biāo)系的正北或者正南方向，會造成航程回旋。為此文獻[15]提出引入傾側(cè)角υ反向策略，當(dāng)速度方向與初始速度方向夾角大于設(shè)定值時改變傾側(cè)角符號，增大橫程。

2.3 常值傾側(cè)角方法

一般而言，傾側(cè)角為0時，飛行器航程最大，但橫向機動能力最弱；傾側(cè)角增大時，橫向機動能力隨之增強。因此，可以通過常傾側(cè)角條件下的動力學(xué)仿真，分析不同傾側(cè)角對應(yīng)軌跡的縱程和橫程，從而得到飛行器再入落點區(qū)域。在整個再入過程中，傾側(cè)角的大小是固定不變的，因此計算速度快且過程簡單。

當(dāng)航向角超過了初始速度方向時，同樣會造成航程回旋。為此，本文設(shè)計了傾側(cè)角置零策略，一旦速度偏角指向初始速度方向，將傾側(cè)角置零，此后飛行器將沿著垂直于初始速度的方向飛行，飛行器能充分利用空氣動力達到増加橫程的目的。

2.4 橢圓近似方法

橢圓近似方法的基本思想是利用飛行器再入落點區(qū)域近似為橢圓狀的特點，建立關(guān)于縱程和橫程近似符合橢圓分布的假設(shè)，通過優(yōu)化算法獲得最大、最小縱程及最大的橫程軌跡，從而確定再入覆蓋橢圓區(qū)域(圖3)。該方法的基本方案如下：

(1) 計算橢圓邊界點。采用優(yōu)化方法計算飛行器最大縱程Smax、最小縱程Smin和最大橫程Cmax對應(yīng)的經(jīng)緯度，其中O是再入點。

(2) 建立橢圓方程。以Cmax為短半軸，O’A為長半軸，O’為橢圓中心建立縱程與橫程近似橢圓方程：

(8)

過最小縱程位置點D做直線OA的垂線，垂線截斷的橢圓右側(cè)部分即為橢圓近似方法計算的再入落點區(qū)域。

圖3 可達區(qū)域近似橢圓Fig.3 Footprint of ellipse fitting

3 仿真分析

3.1 仿真參數(shù)設(shè)置

參考洛克希德·馬丁公司的CAV-H為仿真實例模型[16]，具體參數(shù)如下：

初始參數(shù)：飛行器質(zhì)量為1 500 kg，橫截面積為0.605 m2。高度為50 km，速度為5 500 m/s，經(jīng)緯度為(0°，0°)，速度傾角為0，航向角為-90°。

終端約束：取速度vf=1 500 m/s，高度為hf=20 km。

3.2 可達區(qū)域分析

圖4為利用GPOPS優(yōu)化軟件包計算的彈道優(yōu)化方法再入落點區(qū)域，GPOPS軟件是佛羅里達大學(xué)Rao團隊利用偽譜法分別開發(fā)了最優(yōu)控制問題求解軟件[17]，NASA在2015年上旬免費公開了該軟件的第2代產(chǎn)品(GPOPSⅡ)，其簡捷性和速度得到了大幅提升。根據(jù)圖4可知，再入軌跡無法實現(xiàn)零射程，同時，靠近再入點的軌跡發(fā)生回旋，這是因為再入過程中受到熱流、動壓約束影響，飛行器無法實現(xiàn)高度和速度迅速減小。

圖4 軌跡優(yōu)化方法可達區(qū)域Fig.4 Footprint of trajectory optimization method

圖5為再入走廊規(guī)劃方法計算結(jié)果，其中方法1不考慮傾側(cè)角反轉(zhuǎn)策略，方法2考慮傾側(cè)角反轉(zhuǎn)。由圖可知，方法2計算的落點區(qū)域比方法1略大，總體上2種方法計算結(jié)果基本相同。

圖5 再入走廊規(guī)劃方法可達區(qū)域Fig.5 Footprint of reentry corridor method

圖6為常傾側(cè)角方法計算結(jié)果，其中方法1不考慮傾側(cè)角置零策略，方法2為考慮傾側(cè)角置零策略。由圖可知，方法2計算結(jié)果明顯大于方法1，這是由于一旦速度方向為正北(南)，此時將傾側(cè)角置零后，飛行器能充分利用空氣動力達到増程的目的，從而增大橫向距離。該方法的主要缺點是，首先未考慮過程約束條件，圖7中傾側(cè)角取值范圍為[0,70]，當(dāng)常傾側(cè)角超過50°，再入狀態(tài)會超過再入走廊下邊界，即熱流、動壓約束不滿足；其次，未考慮終端約束，導(dǎo)致再入過程終端不滿足高度約束條件。

圖6 常值傾側(cè)角方法可達區(qū)域Fig.6 Footprint of constant bank angle method

圖7 常值傾側(cè)角方法高度-速度曲線Fig.7 Footprint of constant bank angle method constant bank angle

如圖8所示為4種可達范圍計算方法的計算結(jié)果對比，其中方法1為軌跡優(yōu)化方法，方法2為修正的再入走廊規(guī)劃方法，方法3為修正的常傾側(cè)角方法，方法4為橢圓近似方法。

由圖8可知，方法1與方法4結(jié)算結(jié)果基本一致，這是因為方法4的基本參數(shù)(長半軸和短半軸)均根據(jù)方法1中的hp-自適應(yīng)偽譜法計算得到。由于實際進行落點預(yù)測時，很難確切了解敵方再入飛行器的全部參數(shù)，因此，相對方法1，利用方法4可在保證一定精度的情況下可以實現(xiàn)快速預(yù)測可達區(qū)域。

圖8 可達區(qū)域?qū)Ρ葓DFig.8 Comparison between the four methods

方法2與方法3的落點區(qū)域范圍明顯小于方法1，4，這是因為方法2，3 均在各自的變化量取值范圍內(nèi)線性插值，并沒有對可行域內(nèi)的取值進行最優(yōu)化求解。其次，方法2，3的最小航程小于方法1，4，這是因為方法1，4考慮了航跡回旋的軌跡，方法2，3經(jīng)過修正后均未產(chǎn)生回旋軌跡。

結(jié)合表1中幾種方法的計算時間(Matlab仿真時間)可知，再入走廊規(guī)劃方法求解耗時較短，但求解的可達區(qū)域最小，此方法的優(yōu)勢是工程上一般采用該方法規(guī)劃再入軌跡。軌跡優(yōu)化方法耗時較長，但求解的可達區(qū)域最精確，能夠避免可達區(qū)域的遺漏。

表1 方法計算時間

為了進一步研究飛行器再入過程中可達區(qū)域動態(tài)變化情況，以軌跡優(yōu)化方法為例，對再入過程動態(tài)可達區(qū)域進行了仿真。圖9為再入過程中不同狀態(tài)節(jié)點對應(yīng)的可達區(qū)域，狀態(tài)節(jié)點參數(shù)如表2所示?？梢姡S著再入仿真過程的推進，可達區(qū)域不斷減小，這是因為速度減小導(dǎo)致機動能力降低；同時，實時可達區(qū)域均在前一個狀態(tài)節(jié)點覆蓋范圍內(nèi)，說明方法計算的可達區(qū)域具有動態(tài)適應(yīng)性。

表2 狀態(tài)節(jié)點參數(shù)

圖9 再入過程動態(tài)可達區(qū)域Fig.9 Dynamic footprint of reentry process

4 結(jié)束語

本文首先系統(tǒng)論述了現(xiàn)有的幾種滑翔式高超聲速目標(biāo)可達區(qū)域計算方法，同時，針對方法的不足提出了一些改進。通過對相關(guān)方法的仿真，分析了各自的優(yōu)缺點和應(yīng)用特點，并對再入過程中可達區(qū)域動態(tài)變化情況進行了研究。論文驗證了幾種方法計算的可達區(qū)域的完備性和動態(tài)適應(yīng)性，為滑翔式高超聲速目標(biāo)防御提供一定理論參考。

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Algorithm of Footprint Area for Gliding Hypersonic Target

ZHANG Kaia, XIONG Jia-junb

(Air Force Early Warning Academy, a. Graduation Management Department; b. No.4 Department, Hubei Wuhan 430019, China)

In view of the characteristics of the large footprint area formed by gliding hypersonic target, four algorithms are researched to describe the solutions of this problem systematically. Firstly, the three degree of freedom dynamics of glide hypersonic target is established, and multiple constraints of reentry process are given. Secondly, four footprint calculation algorithms (trajectory optimization method, reentry corridor planning method, constant bank angle method and ellipse fitting method) of gliding hypersonic target are discussed, the processes of algorithms are given in detail and the bugs are fixed. Then the advantages/disadvantages and characteristics of the algorithms are compared and analyzed by simulation. Finally, taking the trajectory optimization algorithm as an example, the dynamic variation of the footprint area is analyzed, and the completeness and dynamic adaptability of the algorithm are verified.

hypersonic vehicle; reentry glide; footprint area; pseudospectral method; reentry corridor; constant bank angle; ellipse fitting

2016-04-13；

2016-07-21 作者簡介：張凱(1990-)，男，湖北紅安人。博士生，主要從事預(yù)警情報分析。

10.3969/j.issn.1009-086x.2017.02.0010

V412.4；O242；TP391.9

A

1009-086X(2017)-02-0067-07

通信地址：430019 湖北省武漢市江岸區(qū)黃浦大街288號研究生管理大隊 E-mail：christophzhang@163.com