石季平

摘 要：針對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中信息傳遞的研究在生物、醫(yī)學(xué)以及人工智能方面具有重要的意義。通過對神經(jīng)元工作機理的簡化，我們建立了描述該問題的數(shù)學(xué)模型，并提出了激勵函數(shù)等相關(guān)概念?；趯嵗治?，我們發(fā)現(xiàn)了神經(jīng)元的排布拓撲以及胞體的激勵函數(shù)形式會極大地影響神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中信息傳遞的特性，比如信號持續(xù)時間、幅值等；并由此提出了多種降低目標神經(jīng)元興奮程度的方法。

關(guān)鍵詞：神經(jīng)元；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；信息傳遞；激勵函數(shù)

中圖分類號：Q42 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2017）07-0027-02

1 概述

隨著生命科學(xué)的發(fā)展，人們逐漸利用數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等手段去試圖揭開生命體中各個組織器官的工作奧妙。然而，作為最重要的器官的大腦，由于其高度的復(fù)雜性，人們對于它工作原理的認識還遠遠不夠。大腦巧妙的生物學(xué)構(gòu)造使得生物能夠在很短時間內(nèi)對特定的刺激做出判斷。雖然對人工智能的研究已開展多年，但在很多方面其還是難以達到人腦的工作效率。因此，對于神經(jīng)系統(tǒng)的深入理解和研究不僅在生物、醫(yī)學(xué)領(lǐng)域具有重要的意義，還極具工程實踐價值。目前為止，人們對神經(jīng)系統(tǒng)的構(gòu)造和工作機理已有一定的理解[1]。例如，人們發(fā)現(xiàn)組成神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本單位是神經(jīng)元，如圖1（a）所示，每個神經(jīng)元主要由胞體，樹突和軸突三個部分組成[2]。在神經(jīng)元工作的過程中，樹突主要負責(zé)接收激勵信息，并把信號發(fā)送到胞體；胞體對信息進行一定的處理后通過軸突傳遞到下一個目標神經(jīng)元。

基于上述基本原理，本文對神經(jīng)元中信息傳遞以及處理的過程進行了數(shù)學(xué)建模。利用該模型，我們進一步研究了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的工作特性，并發(fā)現(xiàn)了影響信息傳播的若干因素。

2 神經(jīng)元的工作原理建模

記輸入信號為xi（i=1，2…n）。如圖1（b）所示，我們將神經(jīng)元中的軸突、樹突和胞體的結(jié)構(gòu)分別進行簡化。其中，軸突可以等效為將xi信號進行輸入的有向鏈（紅色帶箭頭的線段）。樹突的作用可以由圖中藍色的連接權(quán)系數(shù)ωi代表，其意味著第i個有向鏈上信息的權(quán)重，生物學(xué)的意義是相鄰軸突-樹突之間作用的強弱。胞體主要有兩大功能（用綠色字符示意）：第一，將傳遞到胞體上的信號進行加法集成（Σ求和），并用閾值θ調(diào)整加法集成后的信號強度；第二，將上述過程中處理好的信號進行進一步的處理（f（*）函數(shù)），最終將信號釋放到下一個神經(jīng)元。

根據(jù)以上描述，我們可以給出信號在通過一個神經(jīng)元前后輸入輸出的關(guān)系式：當胞體完成其第一個功能后，我們有

（1）

式（1）其中s為進行了加法集成后超出閾值θ的信號強度。更進一步，最終從胞體輸出的信號y的強度可以表示為，其中f被稱為變換函數(shù)，或者激勵函數(shù)。不同的胞體的f的表達形式可能不同。常用的激勵函數(shù)f的形式可以有如下幾種[3]：

（2）

或者

（3）

如果設(shè)k=1，以及T=1，那么式（2）和（3）中的f（s）的變化規(guī)律分別如圖2（a）、（b）所示?？梢园l(fā)現(xiàn)如下兩點規(guī)律：第一，不同的激勵函數(shù)對于相同的輸入信號的處理結(jié)果是不同的，這就意味著，某些細胞可能對于信號更加敏感；第二，輸入信號和輸出信號的強度之間大致呈正相關(guān)關(guān)系。

此外，完整描述一段信號不僅需要強度量，還需要強度隨時間的變化規(guī)律。在下一小節(jié)中，通過引入信息傳遞速度的概念，我們可以給出輸出信號y在時間上的變化規(guī)律。

3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)信息傳遞實例分析

在本小節(jié)中，我們通過幾個具體事例來探索神經(jīng)元信息傳遞的奧秘。如圖2（a）、（b）所示，我們分別考慮神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有兩種不同拓撲的情況。圖2（a）中共有四個神經(jīng)元胞體，標號分別為1～4，其中1～3號胞體為4號胞體的輸入源，且它們排列在一個以4號胞體為中心、半徑為l的圓弧上。與圖2（a）不同的是，圖2（b）中1～3號胞體的排列在一個等腰三角形的底邊上，其中三角形頂角為120°，腰長為l，2號胞體在底邊中點的位置。

必須要注意的是，神經(jīng)元之間的信號傳遞是需要時間的。因此，我們引入信號傳遞速度v的概念。換言之，如果相鄰胞體之間的距離為l，那么信號傳遞所需的時間即為l/v。此外，我們還認為胞體處理信號的速度遠遠快于信號在有向鏈上的傳遞速度，即信號處理的時間可以忽略不計。

對于圖2（a）、（b）中的拓撲結(jié)構(gòu)，我們認為1～3號胞體在t=0時刻同時發(fā)出了一個如圖2（c）所示的激勵信號，信號的最大幅值為1，持續(xù)時間為0.66μs。取每條有向鏈上的權(quán)重ω=1，長度l為0.1 mm，傳輸速度v為100 m/s，4號胞體的閾值θ為1.5。

圖2（a）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)一；（b）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)二；（c）輸入信號x隨時間t的變化；（d）對應(yīng)于（a）圖結(jié)構(gòu)的輸出信號y，其中4號胞體的激勵函數(shù)由式（2）給出；（e）對應(yīng)于（b）圖結(jié)構(gòu)的輸出信號y，其中4號胞體的激勵函數(shù)由式（2）給出；（f）對應(yīng)于（a）圖結(jié)構(gòu)的輸出信號y，其中4號胞體的激勵函數(shù)由式（3）給出。

基于以上參數(shù)選擇，我們給出三組算例，其結(jié)果分別如圖2（d）、（e）和（f）所示。算例選用的拓撲結(jié)構(gòu)以及激勵函數(shù)的形式在圖例中給出，正文不再贅述?；谟嬎憬Y(jié)果，我們可以發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：

（1）輸入信號以及其他參數(shù)保持不變時，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的幾何拓撲會極大地影響輸出的響應(yīng)。對比圖2（d）和（e），我們發(fā)現(xiàn)在兩種網(wǎng)絡(luò)內(nèi)信號的持續(xù)時間以及幅值都完全不同。這是因為在圖2（a）結(jié)構(gòu)中，三個輸入信號同時達到4號胞體；而圖2（b）結(jié)構(gòu)中，2號胞體發(fā)出的信號相對于1、3號的信號提前0.5μs到達，導(dǎo)致信號的持續(xù)時間增長，但是平均幅值降低。（2）激勵函數(shù)的形式對于輸出有極大的影響。對比圖2（d）和（f），我們發(fā)現(xiàn)信號的持續(xù)時間相同但幅值差異很大。這是因為在相同的輸入信號下，激勵函數(shù)的形式會直接影響響應(yīng)的大小。

如果需要人為地影響甚至控制神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的信號傳遞，基于數(shù)學(xué)模型和計算結(jié)果，我們可以給出如下幾點經(jīng)驗。比如，從原理上，我們可以采用至少四種手段來降低目標神經(jīng)元的興奮程度：第一，通過外科手術(shù)改變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的幾何結(jié)構(gòu)或者神經(jīng)元之間的相互連接關(guān)系，但是這種做法可能具有很高風(fēng)險；第二，通過外界的干預(yù)，改變胞體的信號處理模式，即修改激勵函數(shù)f的形式；第三，控制胞體化學(xué)反應(yīng)，調(diào)高信號閾值θ，使其傳遞強度更低的信號；最后，我們還可以采用物理或者化學(xué)的方法降低軸突-樹突之間的連接權(quán)系數(shù)ω，切斷減弱胞體間的相互作用關(guān)系。這些建議可能對臨床醫(yī)學(xué)或者仿生學(xué)有一定的啟發(fā)意義。

4 結(jié)語

通過對神經(jīng)元的組成以及工作原理進行簡化，本文得到了信息在神經(jīng)元間傳遞的數(shù)學(xué)模型，并提出了描述該過程的一些重要變量，如閾值θ，連接權(quán)系數(shù)ω以及激勵函數(shù)f等。基于實例分析，我們發(fā)現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)對于信號傳遞具有重要影響，此外，改變胞體的激勵函數(shù)f也可以實現(xiàn)相似的效果。最后，根據(jù)數(shù)學(xué)模型，我們提出了一些改變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中信號傳遞的方法，比如調(diào)整網(wǎng)絡(luò)幾何、胞體工作機制等。

參考文獻

[1]吳慧玲.兩類神經(jīng)元模型的動力學(xué)分析[D].華南理工大學(xué)，2012.

[2]徐國麗.神經(jīng)元模型的動力學(xué)特性研究[D].蘭州交通大學(xué)，2013.

[3]胡瑞敏，徐正金.人工神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的智能神經(jīng)元模型[J].電子學(xué)報，1996（4）： 86-90.