楊小娟, 韓曉玲

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 甘肅 蘭州, 730070)

一類分數(shù)階非線性微分包含初值問題的可解性

楊小娟, 韓曉玲*

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 甘肅 蘭州, 730070)

微分包含; 分數(shù)階導(dǎo)數(shù); 可解性;Bohnenblust-Karlin不動點定理

JournalofZhejiangUniversity(ScienceEdition), 2017,44(3):287-291

0 引 言

微分包含是微分方程與集值分析的交叉學(xué)科,在力學(xué)、工程學(xué)以及優(yōu)化與控制理論中有著廣泛的應(yīng)用[1-2].在描述物理、力學(xué)、工程、微觀經(jīng)濟學(xué)等系統(tǒng)時一般都用確定的微分方程模型,但在實際生活及科學(xué)實踐中,確定的模型通常不適合描述某些動態(tài)系統(tǒng).例如,通常假定微分方程x′(t)=f(t,x(t))的右端為連續(xù)函數(shù),但實際中往往難以保證,若將f(t,x(t))嵌入到集值映射F(t,x(t))中,可將其轉(zhuǎn)化為研究微分包含x′(t)∈F(t,x(t)).如文獻[2]研究了一階微分包含周期邊值問題

的可解性.

分數(shù)階微分方程被廣泛應(yīng)用于解決各領(lǐng)域的工程問題,如光學(xué)、流變學(xué)、新材料力學(xué)系統(tǒng)等[3-5].此外,在生物學(xué)、最優(yōu)控制等領(lǐng)域亦通過建立微分包含模型對一些實際問題進行理論分析和研究.分數(shù)階微分包含越來越受國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注,并取得了一些很好的成果[6].文獻[7]介紹了一種新的局部分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的定義,稱為一致分數(shù)階導(dǎo)數(shù),較Riemann-Liouville和Caputo這2種分數(shù)階導(dǎo)數(shù)具有更好的性質(zhì).文獻[8]證明了一致分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的鏈式法則、Gronwall不等式以及Laplace變換.文獻[9]給出了分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的一些有意義的計算方法.文獻[10]通過定義一個tube解并運用Schauder不動點定理研究了分數(shù)階Cauchy問題

的可解性.

受以上研究的啟發(fā),在新的一致分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的定義下,運用集值映射的不動點定理研究了微分包含問題

(1)

的可解性，并通過定義問題(1)的上下解得到了該問題解的最佳逼近.

1 預(yù)備知識

記J=[a,b],C(J)為定義在J上的連續(xù)實值函數(shù)構(gòu)成的Banach空間,其范數(shù)為‖x‖∞=sup{|x(t)|t∈J}.設(shè)Ck(J)為k次連續(xù)可微實值函數(shù)構(gòu)成的Banach空間,其范數(shù)為‖x‖ck=max{‖x‖∞,…,‖x(k)‖∞}.設(shè)L1(J,R)為定義在J上滿足∫J|x(t)|dt<+∞可測函數(shù)構(gòu)成的Banach空間,其范數(shù)為‖x‖L1=∫J|x(t)|dt.設(shè)AC(X)表示X的絕對連續(xù)函數(shù)全體,CC(X)表示X的非空凸的緊子集全體,BCC(X)表示X的有界非空凸的緊子集全體.

設(shè)(X,|·|)是Banach空間,若對任意的x∈X,G(x)是凸(閉)值的,則集值映射G:X→2R是凸(閉)值的.

設(shè)對任意的x0∈X,G(x0)是X的非空閉子集,且對每個包含G(x0)的N?X,存在x0的開鄰域M使得G(M)?N,則稱G是上半連續(xù)的;設(shè)B?X為有界集,若G(B)是相對緊的,則稱G是全連續(xù)的;設(shè)集值映射G是非空緊的全連續(xù)映射,則G是上半連續(xù)的充要條件是G有閉圖像(即xn→x*,hn→h*,hn→G(xn)?h*→G(x*)).

若存在x∈X使得x∈G(x),則G有一個不動點.

以下是一致分數(shù)階導(dǎo)數(shù)和微分包含的一些相關(guān)結(jié)論,詳見文獻[6-9,11-15].

定義1(一致分數(shù)階導(dǎo)數(shù)) 設(shè)α∈(0,1]且f:[0,∞)→R,f的一致分數(shù)階導(dǎo)數(shù)可定義為

常用fα表示.如果Tα(f)存在,則定義

定義2(一致分數(shù)次積分) 設(shè)α∈(0,1]且f:[0,∞)→R，f在[a,t]上的α次分數(shù)積分可定義為

命題3 設(shè)r∈Cα([a,b],R),00}上有rα(t)<0.若r(a)≤0,則對任意t∈[a,b],有r(t)≤0.

定義3 集值映射F:J×R→2R若滿足：

(i)對任意的x∈R,有t→F(t,x)是可測的；

(ii)對幾乎處處的t∈J,有x→F(t,x)是上半連續(xù)的；

(iii)對任意的k>0,存在hk∈L1(J,R+),使得‖F(xiàn)(t,x)‖=sup{|v|:v∈F(t,x)}≤hk(t),其中|x|≤k,t∈J；

則其是L1-Carathéodary函數(shù).

引理2[12]設(shè)I是緊的實區(qū)間，且X是Banach空間,令F:I×X→CC(X).對任意的y∈X,(t,x)→F(t,x)關(guān)于t可測,且對幾乎處處的t∈I,(t,x)→F(t,x)關(guān)于x是上半連續(xù)的.對于每個不動點x∈C[J,R],定義SF,x={v∈L1(J,R):v(t)∈F(t,x(t)),t∈J}≠?,且設(shè)Γ:L1(I,X)→C(I,X)是線性連續(xù)映射,則算子?！鉙F:C(I,X)→CC(I,X),x→(Γ°SF)(x):=Γ(SF,x)是C(I,X)×C(I,X)的閉圖像算子.

引理3[16]若g∈L1(J,R),則函數(shù)x:J→R,

(2)

的解.

定義4 函數(shù)x∈AC(J,R)是式(1)的解,如果存在v∈F(t,x(t)),對任意的t∈J,使得xα(t)=v(t)且x(a)=x0.

2 主要結(jié)果及其證明

定義5 設(shè)φ∈AC(J,R),若存在v1∈L1(J,R)，滿足

則稱φ(t)是式(1)的下解.

定義6 設(shè)ψ∈AC(J,R)，若存在v2∈L1(J,R),滿足

則稱ψ(t)是式(1)的上解.

定理1 設(shè)F:J×R→CC(R)是L1-Carathéodary集值映射,若存在φ,ψ∈AC(J,R),分別是式(1)的下解與上解,其中φ≤ψ.令E={(t,x)∈J×R|φ(t)≤x(t)≤ψ(t)},則對任意的t∈J,式(1)至少有1個解x∈E滿足φ(t)≤x(t)≤ψ(t).

(3)

其中，γ:J×R→R定義為

只需證明算子T滿足引理1的假設(shè)條件,從而可得T有不動點即式(2)的解.

下面分兩部分證明：

第1部分:證明上述定義的算子T有不動點.

設(shè)0≤λ≤1,則對每一個t∈J,有

ii)對任意常數(shù)r>0,令Br={x∈C(J):‖x‖≤r},則Br為C(J)上的有界閉凸集.下證存在r>0,使得T(Br)?Br.

對任意的t∈J,有

|hr(t)|=

則‖hr‖≤r,即存在r>0,使得T(Br)?Br.

由i)～iii)知T是緊值映射.

iv)T有閉圖像.設(shè)xn→x*,hn∈T(xn),且hn→h*,下證h*∈T(x*).

由hn∈T(xn)可知，存在vn∈SF,xn,使得

需證存在v*∈SF,x*,使得對任意的t∈J,

因為xn→x*,hn→h*,且r連續(xù),則當n→∞時,

考慮線性連續(xù)算子Γ:L1(J,R)→C(J,R),

命題4 ?！鉙F是閉圖像算子,而且有

Γ(SF,xn).

因為yn→y*,由命題1知,對某些v*∈SF,x*,有

結(jié)合i)～iv),T滿足命題3的假設(shè),從而T有不動點，即式(3)的解.

第2部分:證明式(3)的任意解x(t)：φ(t)≤x(t)≤ψ(t).

hα(t0)=(φ(t0)-x(t0))α=φα(t0)-xα(t0)≤v1(t)-v(t)≤0，

且h(a)=φ(a)-x(a)≤x0-x0=0,即h(a)≤0,由命題3,任意t∈J,h(t)≤0,與h(t)>0矛盾,從而φ(t)≤x(t),t∈J.

同理可證x(t)≤ψ(t).

綜上可得,式(3)至少有1個解x∈ACα(J,R),使得對任意t∈J,有φ(t)≤x(t)≤ψ(t),而此時γ(t,x(t))=x(t),式(3)即為式(1),定理得證.

推論1(次線性增長條件) 假設(shè)F:J×R→BCC(R),(t,x)→F(t,x)關(guān)于t可測、關(guān)于x上半連續(xù),且存在函數(shù)a(t),b(t)∈L1(J,R+),μ∈[0,1],使得

‖F(xiàn)(t,x)‖≤a(t)|x|μ+b(t), (t,x)∈J×R,

則式(1)至少有1個解.

證明 在該假設(shè)條件下,取hk(t)=a(t)|x|μ+b(t),由定理1即可證得.

推論2(至多線性增長條件) 假設(shè)F:J×R→BCC(R),(t,x)→F(t,x)關(guān)于t可測、關(guān)于x上半連續(xù),且存在函數(shù)a(t),b(t)∈L1(J,R+),使得

‖F(xiàn)(t,x)‖≤a(t)|x|+b(t), (t,x)∈J×R，

則式(1)至少有1個解.

證明 在該假設(shè)條件下,取hk(t)=a(t)|x|+b(t),由定理1即可證得.

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ThesolvabilityofCauchyproblemfornonlinearfractionaldifferentialinclusions.

YANGXiaojuan,HANXiaoling

(College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou 730070, China)

differentialinclusions;fractionlderivatives;existenceofsolutions;Bohnenblust-Karlin’sfixedpointtheorem

2016-05-25.

國家自然科學(xué)基金資助項目(11561063).

楊小娟 (1992-), ORCID:http:∥orcid.org/0000-0002-7738-9021，女, 碩士研究生, 主要從事常微分方程邊值問題研究，E-mail:18394172453@163.com.

*通信作者， ORCID： http:∥orcid.org/0000-0002-0670-9657, E-mail: hanxiaoling9@163.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.03.007

O

A

1008-9497(2017)03-287-05