卞翔+方宗德

摘 要：為了提高拓?fù)鋬?yōu)化在實(shí)際工程應(yīng)用中的速度，將一種基于拓?fù)潇`敏度的拓?fù)鋬?yōu)化算法與免組裝有限元法結(jié)合，對(duì)汽車懸架控制臂進(jìn)行多工況拓?fù)鋬?yōu)化.該方法使用一致的體素單元?jiǎng)澐志W(wǎng)格，用壓縮共軛梯度法（DCG）加速有限元的求解，得到結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和應(yīng)變場(chǎng)，從而獲得拓?fù)潇`敏度場(chǎng)，用來控制結(jié)構(gòu)拓?fù)渥兓?通過添加多工況優(yōu)化以及加工約束功能，使該方法更符合工程應(yīng)用的要求.通過對(duì)比，該方法和商用軟件能夠獲得性能接近、形狀相似的優(yōu)化結(jié)構(gòu)，而整個(gè)優(yōu)化過程的速度有顯著提高.

關(guān)鍵詞：懸架控制臂；多工況拓?fù)鋬?yōu)化；免組裝有限元；體素化；壓縮共軛梯度法；拓?fù)潇`敏度

中圖分類號(hào)：U463.33 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Topology Optimization of Suspension Control Arm Based on Assembly-free Finite Element Method BIAN Xiang， FANG Zongde

（Department of Mechanical Engineering， Northwestern Polytechnic University， Xian 710072， China）

Abstract： A suspension control arm was optimized by topology optimization under multi-working condition. In order to improve the speed of topology optimization for practical engineering problems， a topology optimization method based on topological sensitivity was combined with an assembly-free finite element method. The structure was discretized via uniform voxels. A deflated conjugate gradient （DCG） method was used to accelerate the finite element analysis. After the finite element analysis， the stress and strain field can be used to generate the topological sensitivity field， and the topological sensitivity field can be used to control the change of topology. Multi-working condition optimization and manufacturing constraints were used to make the method more suitable for practical problem. The comparison shows that the method can result in the close performance and similar shape of optimized structure to the commercial software. Meanwhile， the speed of the entire optimization is increased significantly.

Key words：suspension control arm； topology optimization under multi-working condition； assembly-free finite element method； voxelization； deflated conjugate gradient； topological sensitivity

輕量化設(shè)計(jì)是汽車設(shè)計(jì)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，對(duì)于降低重量、提高性能、降低油耗等有重要作用.拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)在汽車結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計(jì)中運(yùn)用越來越多，拓?fù)鋬?yōu)化能在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的初始階段提供一個(gè)概念性設(shè)計(jì)，使結(jié)構(gòu)在布局上采用最優(yōu)方案，改變了以往的設(shè)計(jì)、校核、修改這樣一個(gè)不斷反復(fù)的開發(fā)流程，可以提高設(shè)計(jì)效率和質(zhì)量，縮短研發(fā)周期，降低成本.

近年來，拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)逐漸成熟，國內(nèi)外研究較多的有固體各向同性材料懲罰法（Solid Isotropic Material with Penalization，SIMP）[1]，進(jìn)化結(jié)構(gòu)優(yōu)化法（Evolutionary Structural Optimization，ESO）[2-3]，水平集法（Level-Set）[4-5]等.其中SIMP方法基于有限元法，給每個(gè)單元賦予偽密度，通過優(yōu)化各單元的偽密度來達(dá)到優(yōu)化目標(biāo)[6].由于其概念簡(jiǎn)單，算法容易實(shí)現(xiàn)，被推廣應(yīng)用于多材料、多工況、多物理場(chǎng)等多種實(shí)際問題中，成為主流的拓?fù)鋬?yōu)化方法之一[7].目前，常用的商用拓?fù)鋬?yōu)化軟件如 Hyperworks 和 ANSYS 都采用SIMP方法進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化.國內(nèi)有許多研究使用Hyperworks進(jìn)行汽車零部件的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，文獻(xiàn)[8-11]使用Hyperworks對(duì)轉(zhuǎn)向節(jié)、懸架控制臂、發(fā)動(dòng)機(jī)懸置支架、車架等汽車結(jié)構(gòu)進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì).

如今，拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)發(fā)展的挑戰(zhàn)之一是計(jì)算速度[12]，尤其是對(duì)于大型有限元模型，比如對(duì)于上百萬自由度的優(yōu)化問題需要數(shù)小時(shí)甚至數(shù)天來完成.文獻(xiàn)[12-14]提出了一種基于拓?fù)潇`敏度的拓?fù)鋬?yōu)化算法，對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化問題帕雷托最優(yōu)解的計(jì)算十分高效，該方法將拓?fù)潇`敏度作為水平集，用來控制孔洞的形成，得到的結(jié)果相比于SIMP方法更加清晰、明確，不需要網(wǎng)格過濾等技術(shù).但是這種方法的研究還處于初步階段，沒有商用軟件全面的功能，還不能滿足實(shí)際的工程應(yīng)用.

本文基于C++語言，將這種基于拓?fù)潇`敏度的拓?fù)鋬?yōu)化算法與一種免組裝（Assembly-free）有限元分析方法[15-16]相結(jié)合，并用壓縮共軛梯度法[17]進(jìn)一步加速拓?fù)鋬?yōu)化的速度，通過添加多工況優(yōu)化、加工約束等滿足實(shí)際工程應(yīng)用的功能，用于汽車零部件的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì).以懸架控制臂的優(yōu)化為例，通過與商用軟件Hyperworks對(duì)比，證明該方法的有效性.

1 免組裝有限元模型

1.1 懸架控制臂體素化模型

一些商用軟件需要花費(fèi)大量時(shí)間在網(wǎng)格劃分上，需要人工進(jìn)行簡(jiǎn)化幾何、拆解幾何和改變網(wǎng)格尺寸等操作，才能獲得滿足軟件要求的網(wǎng)格模型.

體素化[18]是一種簡(jiǎn)單的有限元網(wǎng)格離散方法，通過統(tǒng)一的六面體單元（體素）來劃分幾何模型.由于使用了形狀和尺寸一樣的單元，體素化網(wǎng)格具有穩(wěn)健性和內(nèi)存占用空間低的優(yōu)點(diǎn)[19]，能夠配合免組裝方法，提高有限元分析的計(jì)算速度.

體素化模型由于使用一致的網(wǎng)格，可以通過編程實(shí)現(xiàn)快速的自動(dòng)網(wǎng)格劃分，圖 1 （a）所示是懸架控制臂的幾何模型，圖1（b）為相應(yīng)的體素網(wǎng)格模型，單元數(shù)量為79 000，自由度為280 000，自動(dòng)網(wǎng)格劃分時(shí)間僅為4 s.

由于網(wǎng)格一致性的限制，體素化模型不能夠完全精確體現(xiàn)所有的幾何細(xì)節(jié).但是考慮到拓?fù)鋬?yōu)化是設(shè)計(jì)初期的概念設(shè)計(jì)階段，其主要目的是為后期設(shè)計(jì)提供參考，在多數(shù)情況下，尤其是對(duì)于諸如柔度、頻率等全局參數(shù)的優(yōu)化變量，一些幾何細(xì)節(jié)并不重要.對(duì)于本文考慮的懸架控制臂模型，3個(gè)連接端這幾個(gè)細(xì)節(jié)部分都屬非設(shè)計(jì)區(qū)域，細(xì)節(jié)的計(jì)算精度并不影響主體設(shè)計(jì)區(qū)域的拓?fù)鋬?yōu)化，所以體素化網(wǎng)格適用于本文對(duì)懸架控制臂的拓?fù)鋬?yōu)化.

1.2 免組裝的壓縮共軛梯度法

拓?fù)鋬?yōu)化中的迭代過程需要進(jìn)行多次有限元求解，本文將基于壓縮共軛梯度法的免組裝有限元算法引入到拓?fù)鋬?yōu)化過程中，可以提高每次有限元分析的速度，從而大幅縮短整個(gè)拓?fù)鋬?yōu)化過程的時(shí)間.

免組裝（Assembly-free）有限元法，即總剛矩陣免組裝的有限元法，最初是Hughes等[15]在1983年提出的，隨著并行算法的發(fā)展，這種方法也得到了改進(jìn)[17].免組裝有限元方法的基本概念是單元?jiǎng)偠染仃嚥挥媒M裝成總體剛度矩陣，而是在單元層面進(jìn)行稀疏矩陣向量乘法.換而言之是將“組裝然后相乘”的過程：

變?yōu)椤跋喑巳缓蠼M裝”：

式中：K為總體剛度矩陣；d為位移向量.

共軛梯度法Conjugate Gradient （CG）是求解大型稀疏線性方程的一種迭代算法，迭代過程中最占用計(jì)算時(shí)間的是矩陣向量乘法運(yùn)算Kd，其大部分的內(nèi)存占用來自存儲(chǔ)和提取剛度矩陣.如上節(jié)所述，由于結(jié)構(gòu)使用統(tǒng)一的單元進(jìn)行網(wǎng)格劃化，所有單元的形狀和尺寸是一樣的，所以單元?jiǎng)偠染仃囀且粯拥?，不需要組裝并存儲(chǔ)總體剛度矩陣K，而只需要儲(chǔ)存單個(gè)單元?jiǎng)偠染仃嘖e.這將大大減少內(nèi)存占用，提高矩陣向量乘法運(yùn)算的速度，從而提高迭代算法的計(jì)算速度.

壓縮共軛梯度法Deflated Conjugate Gradient （DCG）是一種加速的迭代算法[20].它將有限元網(wǎng)格的點(diǎn)劃分成少數(shù)的幾塊，把每塊網(wǎng)格當(dāng)作剛體處理，構(gòu)造出壓縮空間.在某塊里的一個(gè)點(diǎn)的位移表示為

式中：（u0，v0，w0， θx， θy， θz）T是此塊在6個(gè)自由度上的剛體運(yùn)動(dòng).（x，y，z）是該塊中一點(diǎn)相對(duì)此塊幾何中心的坐標(biāo).通過所有點(diǎn)的相對(duì)坐標(biāo)，構(gòu)造出壓縮矩陣W，于是有：

式中：d有3N個(gè)自由度（N是所有點(diǎn)個(gè)數(shù)）；λ是6G個(gè)與塊相關(guān)的自由度（G是分塊的個(gè)數(shù)）.可以使用壓縮空間矩陣W進(jìn)行共軛梯度運(yùn)算.（具體推導(dǎo)及理論分析可參考文獻(xiàn)[21]）.由于分塊的數(shù)量G遠(yuǎn)小于節(jié)點(diǎn)數(shù)量N，所以壓縮矩陣的尺度比剛度矩陣的小，在迭代過程中能夠提高矩陣向量乘法運(yùn)算的速度，從而對(duì)迭代過程起到加速作用.同時(shí)，這種壓縮共軛梯度算法也能使用Assembly-free方法，就像在式（2）中的Kd運(yùn)算不需要組裝總體剛度矩陣，總體壓縮矩陣W也不需要組裝，而是采用“相乘然后組裝”的方式：

這種免組裝的壓縮共軛梯度方法能夠高效地處理高達(dá)幾百萬自由度的大型有限元問題[17].

如圖 2所示，本文將懸架控制臂的網(wǎng)格模型分為200個(gè)組.使用免組裝的壓縮共軛梯度法求解靜力學(xué)問題，并得到位移和應(yīng)力場(chǎng).

2 多工況懸架控制臂拓?fù)鋬?yōu)化

2.1 拓?fù)潇`敏度控制的水平集優(yōu)化算法

不同于利用偽密度的SIMP方法，本文使用的拓?fù)鋬?yōu)化方法基于拓?fù)潇`敏度.拓?fù)潇`敏度是當(dāng)拓?fù)渖习l(fā)生極小的改變時(shí)，目標(biāo)量的變化率.這是由Eschenauer[22]最早研究的，隨后諸多學(xué)者[23-25]對(duì)其進(jìn)行了擴(kuò)展研究.

這里通過圖 3中的二維例子對(duì)拓?fù)潇`敏度進(jìn)行闡述，研究的目標(biāo)量是Q，假設(shè)結(jié)構(gòu)域某處p去除一個(gè)極小的半徑為r的小孔，結(jié)構(gòu)的變形將會(huì)發(fā)生改變，所關(guān)心的目標(biāo)量Q也會(huì)改變，拓?fù)潇`敏度TQ定義為[22]：

本文的目標(biāo)量是柔度J，從公式（6）可以推導(dǎo)出關(guān)于柔度拓?fù)潇`敏度[26]的解析表達(dá)式：

式中：TJ為關(guān)于柔度J的拓?fù)潇`敏度；p表示網(wǎng)格中的某點(diǎn)；σ為應(yīng)力張量；ε為應(yīng)變張量；v為泊松比.

設(shè)計(jì)域內(nèi)所有點(diǎn)的拓?fù)潇`敏度構(gòu)成一個(gè)靈敏度場(chǎng)，由定義可知，這個(gè)靈敏度場(chǎng)中具有相對(duì)較高值的區(qū)域表示這個(gè)部分對(duì)于目標(biāo)量Q相對(duì)重要.使用此拓?fù)潇`敏度場(chǎng)作為水平集，可以用來引入孔洞，確定新的結(jié)構(gòu)域.例如圖 4中，引入了一個(gè)任意閾值為τ=0.02的“切割”平面，通過式（8）可以確定圖 5所示的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Ωτ：

式中的閾值τ是通過當(dāng)前所需的體積比確定的.結(jié)構(gòu)域Ωτ是所有拓?fù)潇`敏度超過τ的點(diǎn)的集合.

然而直接得到的結(jié)構(gòu)域Ωτ并不一定是pareto最優(yōu)解[13]，需要反復(fù)進(jìn)行以下3步：1）對(duì)生成的結(jié)構(gòu)域進(jìn)行有限元分析；2）重新計(jì)算拓?fù)潇`敏度；3）根據(jù)當(dāng)前目標(biāo)體積分?jǐn)?shù)確定新的閾值τ，并生成新結(jié)構(gòu)域.通常這個(gè)過程需要3到4次迭代能夠收斂[12].收斂之后，可以繼續(xù)降低當(dāng)前目標(biāo)體積分?jǐn)?shù)，重復(fù)上述過程，直至得到最終設(shè)計(jì)要求的體積分?jǐn)?shù)f V0.總體的流程如圖 6所示，優(yōu)化算法的步驟概括為：

①從初始結(jié)構(gòu)Ω=Ω0開始，初始體積V=V0；

②對(duì)初始結(jié)構(gòu)Ω0進(jìn)行有限元分析，通過公式（7）計(jì)算拓?fù)潇`敏度；

③按給定的體積減少步長(zhǎng)ΔV，確定當(dāng)前目標(biāo)體積V=V-ΔV；

④按當(dāng)前目標(biāo)體積和拓?fù)潇`敏度場(chǎng)，確定水平集參數(shù)τ，使新結(jié)構(gòu)Ωτ的體積等于當(dāng)前目標(biāo)體積V；

⑤進(jìn)行迭代處理：對(duì)新結(jié)構(gòu)Ωτ進(jìn)行有限元分析、計(jì)算拓?fù)潇`敏度、得到新結(jié)構(gòu)……直到目標(biāo)函數(shù)J收斂；

⑥判斷當(dāng)前的體積V是否達(dá)到最終設(shè)計(jì)要求的體積fV0，如果沒有達(dá)到，繼續(xù)按照步長(zhǎng)ΔV降低目標(biāo)體積分?jǐn)?shù)，返回步驟②；

⑦當(dāng)前體積達(dá)到設(shè)計(jì)要求的體積分?jǐn)?shù)時(shí)，算法終止.

2.2 多工況優(yōu)化模型

多工況條件下懸架控制臂的拓?fù)鋬?yōu)化模型為

式中：J為綜合目標(biāo)函數(shù)；m為工況總數(shù)；Ji為第i個(gè)工況的柔度；ωi為第i個(gè)工況的權(quán)重；V為優(yōu)化后的體積；V0為結(jié)構(gòu)初始體積；f為體積約束的百分比.

根據(jù)各工況的權(quán)重系數(shù)，可以構(gòu)造一個(gè)新的多工況條件下的拓?fù)潇`敏度：

式中：Ti為第i個(gè)工況下的拓?fù)潇`敏度.

各工況的權(quán)重系數(shù)可以通過經(jīng)驗(yàn)法、層次分析法等確定.由于如何選擇權(quán)重系數(shù)并不是本文研究重點(diǎn)，本文重在使用相同的工況和權(quán)重系數(shù)設(shè)置與基于SIMP方法的商用軟件作對(duì)比.所以本文考慮表 1所示的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向和直線制動(dòng)兩種最基本的工況[27]，假設(shè)兩種工況的權(quán)重系數(shù)都為0.5.

對(duì)于本文考慮的麥弗遜懸架的下控制臂，在前襯套A和后襯套B通過鉸接副與車架相連，在外球銷點(diǎn)C通過球形副與轉(zhuǎn)向節(jié)相連.主要在加速、制動(dòng)時(shí)承受縱向力Fx，以及在轉(zhuǎn)向時(shí)承受側(cè)向力Fy.對(duì)于垂向力，下控制臂只是抵消前后橡膠襯套扭轉(zhuǎn)變形時(shí)的一些結(jié)構(gòu)反力，而垂向力主要由懸架彈簧來承受，控制臂承受的垂向力的數(shù)量級(jí)遠(yuǎn)小于縱向力及側(cè)向力，所以在分析下控制臂時(shí)通常不考慮垂向力Fz.分析麥弗遜懸架控制臂時(shí)通常固定前襯套X，Y，Z 3個(gè)方向平動(dòng)自由度，后襯套Y，Z方向平動(dòng)自由度，外球銷點(diǎn)Z方向平動(dòng)自由度.制動(dòng)、轉(zhuǎn)向時(shí)的縱向、側(cè)向力分為兩個(gè)工況施加到外球銷點(diǎn)上.

2.3 加工約束

通過拓?fù)鋬?yōu)化方法進(jìn)行性能最優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果常常會(huì)出現(xiàn)中空的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，不適合傳統(tǒng)加工方法.目前，大多數(shù)汽車零部件還是采用傳統(tǒng)的方法加工，所以此懸架控制臂的拓?fù)鋬?yōu)化中需要考慮加工制造約束.為了使控制臂結(jié)構(gòu)易于制造加工，在Z方向添加方向約束.具體方法就是對(duì)Z方向的各單元的拓?fù)潇`敏度進(jìn)行額外處理，使外側(cè)單元的拓?fù)潇`敏度不大于內(nèi)側(cè)單元的拓?fù)潇`敏度，這樣就能保證在拔模方向上不會(huì)出現(xiàn)中空的結(jié)構(gòu).值得注意的是，由于使用了體素單元?jiǎng)澐志W(wǎng)格，網(wǎng)格的排列十分工整，有利于編程實(shí)現(xiàn)加工制造約束.

3 優(yōu)化結(jié)果

使用本文方法基于C++語言開發(fā)的程序和Hyperworks分別進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，設(shè)置相同的材料參數(shù)，彈性模量210 GPa，泊松比0.3，使用前文所述的工況設(shè)置，網(wǎng)格模型自由度為280 000，目標(biāo)體積分?jǐn)?shù)為50%.優(yōu)化后的結(jié)果分別如圖 7 （a） （b）所示.圖 8給出了優(yōu)化過程中兩種工況下的柔度變化曲線，以及優(yōu)化過程中的一些拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和應(yīng)力云圖.

兩種方法的最優(yōu)拓?fù)渎杂胁煌艘恍┘?xì)小結(jié)構(gòu)的區(qū)別，主要的材料分布趨勢(shì)是近似的.根據(jù)最優(yōu)拓?fù)涮峁┑膮⒖迹瑢?duì)結(jié)果進(jìn)行幾何重構(gòu)后如圖9所示，性能對(duì)比如表2所示.

通過表 2中各工況的柔度、最大位移、最大應(yīng)力的對(duì)比可知，兩種結(jié)構(gòu)的性能接近，且本文方法優(yōu)化的結(jié)構(gòu)性能略優(yōu)于Hyperworks優(yōu)化的結(jié)果.而在計(jì)算時(shí)間上，兩種方法有很大不同，本文方法是Hyperworks的26 %，可見對(duì)于大自由度的模型，本文方法有明顯的速度優(yōu)勢(shì).這主要是由于DCG算法對(duì)有限元求解的加速作用.圖10表明了使用不同分組數(shù)的DCG算法的收斂性，分組數(shù)量的不同導(dǎo)致DCG運(yùn)算收斂所需的迭代次數(shù)不同.如圖所示，分成200組比未分組的CG運(yùn)算所需的迭代次數(shù)大幅降低，這意味著單次有限元分析所需的時(shí)間大幅降低，從而縮短了整個(gè)拓?fù)鋬?yōu)化過程的時(shí)間.不同分組數(shù)下相應(yīng)的拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)間如表3所示.

迭代次數(shù)

此外，對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，商用軟件需要人工進(jìn)行幾何分解、網(wǎng)格劃分、網(wǎng)格質(zhì)量檢查等步驟，直到滿足商用軟件的特定要求后才能開始拓?fù)鋬?yōu)化.而本文方法采用體素化網(wǎng)格實(shí)現(xiàn)自動(dòng)網(wǎng)格劃分，在拓?fù)鋬?yōu)化的前處理階段就可以節(jié)省大量的時(shí)間.

4 結(jié) 論

本文將一種基于拓?fù)潇`敏度的拓?fù)鋬?yōu)化算法與免組裝壓縮共軛梯度法結(jié)合，提高了大型三維拓?fù)鋬?yōu)化的速度，通過添加多工況優(yōu)化和加工約束功能，使其更適合實(shí)際工程應(yīng)用.通過懸架控制臂的多工況優(yōu)化，與基于SIMP方法的商用軟件對(duì)比，結(jié)果表明，該算法具有明顯的速度優(yōu)勢(shì)，且能獲得性能相近的結(jié)構(gòu).由于拓?fù)鋬?yōu)化是初始的概念設(shè)計(jì)，體素化網(wǎng)格的精度局限性對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果并不會(huì)產(chǎn)生很大影響，而速度優(yōu)勢(shì)可以在前處理階段以及拓?fù)鋬?yōu)化階段得到很好的發(fā)揮.在未來的研究中，可以拓展更全面的優(yōu)化功能，使該算法能更好地滿足實(shí)際工程應(yīng)用的要求.

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