李文英
應州里一中學初三數(shù)學組的邀請,筆者聽了一節(jié)習題課。課題名稱是:一元二次方程的根的定義及其應用。這一內(nèi)容主要是關(guān)于一元二次方程的根的概念,重點是韋達定理的應用。整堂課共設(shè)計了7道試題,分三個層次,第1、2、3題為基本要求試題,第4、5題為較高要求試題,第6、7題為拓展試題。課堂完成到前兩個層次。
韋達定理是教材中的選學內(nèi)容,一般學生基本可以接受。中考很多時候會涉及,所以學校現(xiàn)在都把這部分內(nèi)容作為必修了。本節(jié)課在教師的引導下,學生課堂反應積極,效果很不錯,前三道試題的正確率很高,應該算是一堂常規(guī)意義上的好課。不足之處是試題多,方法單一,教師對解題思路的引導不足,缺少方法和思想上的提升,導致學生在處理第4、5題的時候出錯比例很高。學生出錯的關(guān)鍵是找不到切入口,思維不縝密,甚至在老師講解之后,還是感覺像勉強接受。這促使筆者有了許多思考。
我們看看其中的第5題:
通過網(wǎng)上搜索,筆者發(fā)現(xiàn)這是山東德州2014年的中考第16題(前12道為選擇題,填空題5道,這是填空題的倒數(shù)第二個,命題人認為應該是較難試題)。搜索到網(wǎng)絡(luò)上的解答(原試題只提供填空題答案,很多網(wǎng)站的解析幾乎都是一樣的解答,可見網(wǎng)絡(luò)上基本都是拿別人的照搬了上傳):
執(zhí)教老師的試題中缺少實根的實字。雖然初中生看不出,但是作為老師,已經(jīng)受過大學數(shù)學的嚴格訓練,這個字的遺漏是不對的。因為沒有這個實字,答案就是兩個解了,也就不需要討論判別式,所以德州試題的題設(shè)嚴謹。在初中階段,實根中的實字不能漏掉,也不要給學生解釋,這是為高等數(shù)學留的尾巴,也是教師數(shù)學素養(yǎng)的體現(xiàn)。
既然課題是根的定義的應用,那么有些時候解題回到定義也是有意義的。比如這里,直接運用根的意義解題也很有意思:由x12+2kx1+k2-2k+1= 0,x22+2kx2+k2-2k+1=0,兩式相加,再x12+x22=4及x1+x2=-2k,很容易得到關(guān)于k的方程。我們在很多相關(guān)書籍里看到的這類試題都是像以上解答那樣借用乘法公式進行變式。其實直接利用根的意義進行變形也是很順暢的一種思路,希望其他老師解答的時候可以多試試各種可能的變形手法,拓展學生的思維。教材上,韋達定理是從求根公式得出。實際上,直接用根的意義,將ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0兩式相減,可得兩根之和;再將兩式相加,運算后可得兩根之積。這應該是更本質(zhì)的根與系數(shù)關(guān)系。如果是初中教學,當然這里應該加幾個字:所討論的一元二次方程存在兩個實根。
一堂課用基本相同的方法解決很多道試題,是加深學生印象的方法之一,也有很好的復習效果。同樣,用多種方法和想法解決一個典型問題,對發(fā)展學生的解題能力和思維能力也是很有實際意義的,教學中不能忽視。
其實這道試題作為填空題,出得有點兒狠!因為填空題只看結(jié)果給分,稍微錯一點兒,整道試題的分就沒了。本題中,解方程只解出一個解,正好符合要求,皆大歡喜??扇绻玫降氖悄莻€必須去掉的根,豈不是非常冤枉?而如果直接填寫兩個k值,失掉了整道試題的成績,豈不是更冤得像竇娥?命題老師把考試重心放在判別是不是存在實根這個點上,動機有點不純。如果真喜歡這道試題,是不是可以進行這樣的處理:首先,命制成一道大題,那就可以通過對過程的分析,對學生的解題步驟給予肯定,失分和得分就都有明確的判斷,考查學生的學習情況也有了落腳點。對好學生、中等學生、后進生也可以通過本題在相關(guān)知識和能力上予以區(qū)分。至于更理想的命制方式,個人認為可以作為兩問來出題:
方程x2+2kx+k2-2k+1=0有兩個實數(shù)根x1,x2,
1.求k的取值范圍;
2.若x1,x2滿足x12+x22=4,求k的值。
這樣命制試題,既可以考查學生對韋達定理的應用,也可以看出學生對有根的條件的把握,還可以考查學生的變形能力、計算能力、思維能力、綜合評判能力,可謂一題多得。
(作者單位:湘西土家族苗族自治州教科院)