王樹洪，邵振國

（福州大學(xué) 電氣工程與自動化學(xué)院，福建 福州 350116）

0 引言

分布式電源（DG）易受氣象影響，輸出功率具有隨機(jī)性和間歇性，因而配電網(wǎng)潮流具有明顯的不確定性特征。配電網(wǎng)規(guī)劃和調(diào)度需要分析研究不確定性潮流算法，當(dāng)前主要提出了模糊數(shù)學(xué)法［1-3］、概率潮流法［4-9］及區(qū)間分析法［10-13］。 由于工程中難以獲得不確定性參數(shù)的隸屬函數(shù)或概率密度，只能近似處理或人為設(shè)定，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)較大偏差。相對而言，獲取不確定性參數(shù)的區(qū)間值較為簡便、準(zhǔn)確。因此采用區(qū)間數(shù)形式描述分布式電源的不確定性并計(jì)算有源配電網(wǎng)的區(qū)間潮流，具有更好的工程應(yīng)用價(jià)值。

基于區(qū)間數(shù)計(jì)算法則的區(qū)間潮流結(jié)果存在超寬度問題［10-11］，降低了算法實(shí)用性。 文獻(xiàn)［14-16］因此將仿射數(shù)學(xué)運(yùn)用到區(qū)間潮流計(jì)算中，在一定程度上壓縮了解的范圍，計(jì)算結(jié)果更加精確。然而文獻(xiàn)［14］的迭代過程只是部分采用仿射，沒有完全發(fā)揮仿射的作用。文獻(xiàn)［15-16］完全采用仿射進(jìn)行迭代，卻只求出節(jié)點(diǎn)電壓的實(shí)部區(qū)間和虛部區(qū)間，沒能得到節(jié)點(diǎn)電壓的幅值區(qū)間和相角區(qū)間。

上述研究表明，仿射比區(qū)間運(yùn)算能得到更準(zhǔn)確的結(jié)果，但基于仿射迭代的區(qū)間潮流計(jì)算仍存在幾個問題：如果嚴(yán)格遵循仿射運(yùn)算法則，噪聲元數(shù)量會不斷增加，降低潮流計(jì)算速度；隨著噪聲元數(shù)目增加，如果迭代過程中各節(jié)點(diǎn)電壓沒有同時(shí)更新，如高斯-賽德爾迭代法和前推回代法，則需要記錄大量新增的噪聲元，給編程帶來困難；迭代得到的直接結(jié)果是節(jié)點(diǎn)電壓復(fù)仿射形式，而在工程運(yùn)用中更需要知道的是節(jié)點(diǎn)電壓的幅值區(qū)間和相角區(qū)間，如何實(shí)現(xiàn)前者向后者的準(zhǔn)確轉(zhuǎn)換，目前尚無這方面的研究。

鑒于此，本文采用復(fù)仿射描述分布式電源的不確定性，建立了復(fù)仿射迭代形式的Ybus高斯區(qū)間潮流方程，迭代過程中各節(jié)點(diǎn)電壓更新步調(diào)一致，編程簡便。迭代過程中合并同一非線性運(yùn)算產(chǎn)生的噪聲元，降低噪聲元數(shù)量。在收斂后構(gòu)建節(jié)點(diǎn)電壓的復(fù)仿射多邊形，提出電壓幅值區(qū)間值和相角區(qū)間值的計(jì)算方法。IEEE 33節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)算例結(jié)果表明，與基于區(qū)間數(shù)Ybus高斯法和蒙特卡羅模擬法相比，本文方法的迭代過程直觀簡便，節(jié)點(diǎn)電壓幅值區(qū)間值和相角區(qū)間值計(jì)算準(zhǔn)確，兼顧了區(qū)間潮流計(jì)算的效率和精度要求。

1 仿射數(shù)學(xué)及其運(yùn)算

在仿射算術(shù)中，仿射是由有限個噪聲元線性疊加而成的不確定量［17］，即有：

其中，εi為噪聲元，范圍為［-1，1］；xi為系數(shù)，代表了噪聲元εi所對應(yīng)的不確定量的大?。粁0為中心值；n為噪聲元個數(shù)。

1.1 實(shí)數(shù)域的仿射運(yùn)算

仿射運(yùn)算分為線性運(yùn)算和非線性運(yùn)算［18-19］，其中線性運(yùn)算包括加法、減法和數(shù)量乘法運(yùn)算，計(jì)算時(shí)不產(chǎn)生新的噪聲元。

其中，λ為任意實(shí)數(shù)。

非線性運(yùn)算主要包括乘法、除法、倒數(shù)、平方等運(yùn)算，計(jì)算時(shí)會產(chǎn)生新的噪聲元。

除法運(yùn)算可以分解為乘法運(yùn)算和倒數(shù)運(yùn)算，此后采用切比雪夫逼近近似倒數(shù)運(yùn)算，如式（4）所示。

其中，a、b分別為仿射所對應(yīng)區(qū)間數(shù)的下、上限。

平方運(yùn)算的計(jì)算公式如式（6）所示。

1.2 復(fù)數(shù)域的仿射運(yùn)算

復(fù)仿射中噪聲元的系數(shù)為復(fù)數(shù)，線性運(yùn)算法則和實(shí)仿射相同。本文結(jié)合文獻(xiàn)［20-21］的方法，將復(fù)仿射乘法定義為如式（7）所示。

其中，對任一個復(fù)數(shù) z=r+jx，函數(shù) f（·）定義為 f（z）=

復(fù)仿射除法可以分解為仿射的乘法、平方及倒數(shù)運(yùn)算。

仿射可以通過含有相同的噪聲元考慮不確定量之間的相互聯(lián)系，因此采用仿射形式計(jì)算能得到比采用區(qū)間數(shù)運(yùn)算更好的結(jié)果。區(qū)間潮流計(jì)算中需要進(jìn)行多次迭代，若用區(qū)間數(shù)運(yùn)算會使超寬度問題越來越嚴(yán)重，最終使解不可用。

復(fù)仿射運(yùn)算對不確定性潮流計(jì)算結(jié)果的影響有兩方面：一是對解的完備性的影響，也就是仿射潮流的運(yùn)算結(jié)果是否能夠完全包含實(shí)際的潮流變化范圍；二是對解的保守性的影響，也就是仿射潮流的運(yùn)算結(jié)果是否會遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于實(shí)際的潮流變化范圍，而使得計(jì)算結(jié)果不可用。以上復(fù)仿射運(yùn)算法則能夠保證解的完備性，而解的保守性通常采用蒙特卡羅潮流來檢驗(yàn)。

1.3 復(fù)仿射多邊形

命題1：如果x1、…、xn在復(fù)平面上互不平行，則復(fù)仿射的變動區(qū)域是復(fù)平面上關(guān)于x0中心對稱的凸2n邊形。

設(shè)則記在復(fù)平面上的變動區(qū)域?yàn)镾i。

如果Si-1在復(fù)平面上的位置已經(jīng)確定，那么Si可以由Si-1拓展得到。拓展方法是：以Si-1邊界為起點(diǎn)畫矢量 xiεi；εi取極值 1 或 -1，使得 xiεi位于 Si-1外部；在Si-1邊界上移動矢量xiεi，則其末端軌跡即為Si的邊界。

i=1時(shí)，在復(fù)平面上的變動范圍是以x0為中心的線段 A1B1。 因?yàn)樵肼曉?ε1∈［-1，1］，所以 A1B1的長度等于，角度由 x1決定，如圖1（a）所示。

i=2 時(shí)，有當(dāng) x2ε2沿線段 A1B1移動時(shí)，S2以線段A1B1為中心向兩側(cè)拓展。當(dāng)ε2取極值1或-1時(shí)，S2的邊界是平行四邊形A2B2C2D2，邊長A2D2、B2C2的角度由 x2決定，如圖1（b）所示。因此，當(dāng)i=2時(shí)，2在復(fù)平面上的變動范圍是以x0為中心對稱的凸四邊形。

同理，當(dāng)i=3時(shí)，S3沿四邊形A2B2C2D2的邊向外拓展為凸六邊形A3B3C3D3E3F3，如圖1（c）所示。

其中，邊長

反復(fù)拓展后，Sn為凸2n邊形，邊長分別為如圖1（d）所示。

在以上拓展過程中，如果xi與x1、…、xi-1中的某一個平行，則該次拓展后的Si邊數(shù)不會增加，仍然與Si-1的邊數(shù)相等。因此有以下真命題。

命題2：如果x1、…、xn在復(fù)平面上可分為互不平行的 M 組，則復(fù)仿射的變動區(qū)域是復(fù)平面上關(guān)于x0中心對稱的凸2M邊形。其2M條邊兩兩平行且等長，邊長是對應(yīng)分組中所有噪聲元系數(shù)模值之和的2倍。

命題2的推導(dǎo)過程和命題1是類似的。

由命題1和2可知，在迭代收斂后就可以由電壓復(fù)仿射構(gòu)建對應(yīng)的復(fù)仿射多邊形。

2 基于復(fù)仿射的Ybus高斯潮流迭代方法

目前求解區(qū)間潮流主要有Krawczyk-Moore區(qū)間迭代法［11，14］和前推回代迭代法［10，15-16］，前者需要求解區(qū)間雅可比矩陣，過程較為繁瑣，后者節(jié)點(diǎn)編號較為麻煩，編程不簡便。本文在復(fù)仿射形式下用Ybus高斯法［22］進(jìn)行迭代，過程直觀，編程簡便。

圖1 構(gòu)造復(fù)仿射多邊形Fig.1 Construction of complex affine polygon

2.1 Ybus高斯迭代

電網(wǎng)節(jié)點(diǎn)電壓方程的分塊矩陣形式如式（9）所示。

解得：

其中，U為節(jié)點(diǎn)電壓；I為節(jié)點(diǎn)注入電流；t為電網(wǎng)節(jié)點(diǎn)總數(shù)，節(jié)點(diǎn)t是平衡節(jié)點(diǎn)；Yot和Yto為節(jié)點(diǎn)t和其他節(jié)點(diǎn)之間的互導(dǎo)納構(gòu)成的分塊矩陣，互為轉(zhuǎn)置；Ytt為節(jié)點(diǎn)t的自導(dǎo)納；Y為整個電網(wǎng)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣除去Yot、Yto、Ytt后的分塊矩陣。

將式（11）的節(jié)點(diǎn)注入電流代入式（10），得到如式（12）所示的復(fù)仿射迭代計(jì)算式。

其中分別為節(jié)點(diǎn) i的注入電流、節(jié)點(diǎn)電壓、注入有功功率、注入無功功率、注入復(fù)功率；上標(biāo)（k）表示第k次迭代的結(jié)果；Yij為節(jié)點(diǎn)i、j之間的互導(dǎo)納。

受負(fù)荷波動及分布式電源出力的影響，配電網(wǎng)中各節(jié)點(diǎn)注入功率具有不確定性，因而節(jié)點(diǎn)i注入功率的復(fù)仿射形式為：

其中，0i為節(jié)點(diǎn)注入功率復(fù)仿射中心值；εi、γi分別為節(jié)點(diǎn)i注入有功功率波動和無功功率波動的噪聲元；若節(jié)點(diǎn)i注入功率恒定，則pi、qi都為0?？梢?，復(fù)仿射i所表示的不確定域是復(fù)平面上的一個矩形。

2.2 噪聲元合并

電壓的不確定性是由節(jié)點(diǎn)功率不確定引起的，所以電壓復(fù)仿射自然就含有功率仿射中的噪聲元，應(yīng)該采用與功率仿射相同的噪聲元來描述電壓仿射初始值。若節(jié)點(diǎn)數(shù)為t的網(wǎng)絡(luò)中有m個節(jié)點(diǎn)的注入功率是波動的，則電壓仿射初始值為：

其中，kl（l=1，2，…，m）為第 l個功率波動節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)編號。

復(fù)仿射迭代過程中的非線性運(yùn)算會產(chǎn)生新的噪聲元。一次潮流迭代中，式（12）每個迭代式右側(cè)的除法運(yùn)算轉(zhuǎn)換為2次實(shí)仿射平方運(yùn)算、1次實(shí)仿射倒數(shù)運(yùn)算及2次復(fù)仿射乘法運(yùn)算，各新增一個噪聲元。共有t-1個迭代式，那么迭代g次后每個電壓復(fù)仿射中含有的噪聲元數(shù)量N為：

式（15）表明噪聲元數(shù)量與節(jié)點(diǎn)數(shù)成正比，將極大地影響大型電網(wǎng)的計(jì)算速度。

在每次迭代計(jì)算后，本文將2次平方運(yùn)算所產(chǎn)生的2（t-1）個噪聲元合并為一對，倒數(shù)運(yùn)算所產(chǎn)生的t-1個噪聲元合并為一對，第1次乘法運(yùn)算產(chǎn)生的t-1個噪聲元合并為一對，第2次乘法運(yùn)算產(chǎn)生的t-1個噪聲元合并為一對。合并后的每對噪聲元系數(shù)分別為實(shí)數(shù)和虛數(shù)。則一次迭代結(jié)束后，電壓復(fù)仿射只會增加8個新的噪聲元。

迭代g次后電壓仿射中含有的噪聲元數(shù)量N為：

可見，在合并同類運(yùn)算噪聲元后，迭代過程中噪聲元數(shù)量大幅減少，將有效提高潮流計(jì)算效率。

噪聲元合并對計(jì)算結(jié)果的影響也體現(xiàn)在完備性和保守性兩方面。

由命題1，復(fù)仿射變動區(qū)域是復(fù)平面上的一個凸中心對稱多邊形，其形狀與噪聲元的數(shù)目和系數(shù)有關(guān)。因此噪聲元合并對計(jì)算結(jié)果的影響也就表現(xiàn)為對復(fù)仿射多邊形形狀的影響。如果g次迭代后，節(jié)點(diǎn)i的電壓復(fù)仿射在復(fù)平面上的變動區(qū)域?yàn)镾1，某個非線性運(yùn)算對其增加t-1個噪聲元后的變動區(qū)域?yàn)镾2，那么根據(jù)命題1中對復(fù)仿射多邊形的推導(dǎo)過程，顯然S2完全覆蓋了S1。把t-1個噪聲元合并為2個噪聲元，就是只對S1新增2個噪聲元得到覆蓋區(qū)域S3。如果合并后新增噪聲元的系數(shù)使得S3恰好完全覆蓋S2，那么這個合并過程只增加了第g次迭代解的保守性而沒有影響完備性。

在第g次迭代得到同類非線性運(yùn)算的一組噪聲元系數(shù)后，將這些噪聲元的系數(shù)分別取實(shí)部和虛部，取所有實(shí)部的絕對值之和作為一個噪聲元的系數(shù)，取所有虛部的絕對值之和乘以虛數(shù)單位作為另一個噪聲元的系數(shù)，可以保證合并過程不會破壞解的完備性。

此外，為了保證合并過程不會影響下一次迭代解的完備性，在矩陣與仿射列向量的乘法運(yùn)算中，首先按仿射數(shù)量乘法和仿射加法法則計(jì)算t-1個噪聲元的系數(shù)，此后保留結(jié)果的實(shí)部和虛部符號不變，將仿射加法改為按系數(shù)模值相加，用新的結(jié)果替換原數(shù)值，從而保證運(yùn)算結(jié)果的復(fù)仿射多邊形拓展到更寬的區(qū)域，以避免噪聲元合并影響下一代迭代解的完備性。

2.3 算法流程

采用合并噪聲元后的復(fù)仿射潮流迭代算法如下。

步驟1：輸入網(wǎng)絡(luò)參數(shù)和波動分布式電源參數(shù)。

步驟2：按式（14）設(shè)置節(jié)點(diǎn)電壓復(fù)仿射初始值。

步驟3：按式（12）進(jìn)行潮流迭代計(jì)算。

步驟4：判斷是否滿足收斂條件，若不滿足收斂條件，則返回步驟3。

步驟5：構(gòu)造電壓復(fù)仿射多邊形，由復(fù)仿射多邊形求得節(jié)點(diǎn)電壓幅值區(qū)間值和相角區(qū)間值。

當(dāng)?shù)Y(jié)果滿足如式（17）所示的收斂條件時(shí)停止迭代過程。

其中，Δ為一個很小的正數(shù)，取為分別為第k次迭代后節(jié)點(diǎn)i電壓的實(shí)部下限、實(shí)部上限、虛部下限、虛部上限。

3 電壓復(fù)仿射到區(qū)間數(shù)的轉(zhuǎn)換

以上潮流迭代收斂后，得到的結(jié)果是節(jié)點(diǎn)電壓復(fù)仿射，需要轉(zhuǎn)換為電壓幅值區(qū)間值和相角區(qū)間值。

在復(fù)平面上，復(fù)仿射的變動區(qū)域是凸多邊形，因此復(fù)仿射幅值最大、相角最大、相角最小所對應(yīng)的點(diǎn)一定是凸多邊形的頂點(diǎn)。如圖2所示分別表示電壓復(fù)仿射的幅值下限和上限，分別表示的相角下限和上限，u0為電壓復(fù)仿射中心值。

U所對應(yīng)的點(diǎn)不一定是距離原點(diǎn)最近的凸多邊形頂點(diǎn)，也有可能位于距離原點(diǎn)最近的一條邊上。如圖3所示，圖中點(diǎn)A即為最小幅值所對應(yīng)的點(diǎn)，U等于線段AO的長度。

在畫出復(fù)仿射多邊形以后，就可以如圖2、圖3計(jì)算節(jié)點(diǎn)電壓的幅值區(qū)間值和相角區(qū)間值。

圖2 電壓復(fù)仿射多邊形示意圖Fig.2 Schematic diagram of voltage complex affine polygon

圖3 求取相切情況下的幅值最小值Fig.3 Minimum amplitude in tangent condition

4 算例分析

以圖4所示的IEEE 33節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例對比本文方法（記為CAA-Ybus）、基于Ybus高斯迭代和區(qū)間算術(shù)的方法（記為RR-Ybus）、蒙特卡羅模擬法（抽樣次數(shù)為104次）的計(jì)算結(jié)果。網(wǎng)絡(luò)參數(shù)見文獻(xiàn)［23］，并在節(jié)點(diǎn)21、24、17、32接入分布式電源，分布式電源參數(shù)如表1所示。分布式電源處理為PQ節(jié)點(diǎn)，功率因數(shù)為0.95。平衡節(jié)點(diǎn)電壓為1 p.u.。

圖4 含分布式電源的IEEE 33節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)Fig.4 IEEE 33-bus system with DGs

表1 分布式電源的波動參數(shù)Table 1 Fluctuation parameters of DGs

采用蒙特卡羅潮流算法檢驗(yàn)CAA-Ybus法的解的完備性。

以節(jié)點(diǎn)1為例，圖5中多邊形是CAA-Ybus法計(jì)算得到的電壓復(fù)仿射多邊形，數(shù)據(jù)點(diǎn)是蒙特卡羅法的模擬計(jì)算結(jié)果，圖中電壓相量實(shí)部、虛部均為標(biāo)幺值，后同。

圖5 節(jié)點(diǎn)1電壓復(fù)仿射和蒙特卡羅計(jì)算結(jié)果Fig.5 Node-1 voltages calculated by complex affine and Monte-Carlo

圖5中多邊形完全包含了數(shù)據(jù)點(diǎn)，并且十分貼近數(shù)據(jù)點(diǎn)域，說明CAA-Ybus法計(jì)算結(jié)果具備完備性和準(zhǔn)確性。由于電壓復(fù)仿射中大部分噪聲元的系數(shù)非常小，所以圖中多邊形近似為四邊形，局部放大可以發(fā)現(xiàn)是多邊數(shù)的圖形。

仍以節(jié)點(diǎn)1電壓計(jì)算結(jié)果為例，圖6中分別是合并和不合并噪聲元所對應(yīng)的電壓復(fù)仿射多邊形。不合并噪聲元時(shí)，復(fù)仿射多邊形相對圓滑柔和；合并噪聲元時(shí)，復(fù)仿射多邊形相對棱角分明。但從總體來看，合并過程沒有影響解的完備性，最后得到的節(jié)點(diǎn)電壓幅值區(qū)間和相角區(qū)間也是極為接近的。

圖6 合并噪聲元對結(jié)果的影響（節(jié)點(diǎn)1電壓復(fù)仿射）Fig.6 Influence of noise element merging on results(complex affine of Node-1 voltage)

此后從CAA-Ybus的復(fù)仿射計(jì)算節(jié)點(diǎn)電壓幅值區(qū)間值和相角區(qū)間值，并與RR-Ybus法、蒙特卡羅法的結(jié)果對比，如圖7、圖8所示，圖7中電壓幅值區(qū)間為標(biāo)幺值。

圖7 3種方法的節(jié)點(diǎn)電壓幅值區(qū)間Fig.7 Voltage amplitude intervals calculated by three methods

圖8 3種方法的節(jié)點(diǎn)電壓相角區(qū)間Fig.8 Voltage phase-angle intervals calculated by three methods

從圖7、圖8可以看出，RR-Ybus法的結(jié)果區(qū)間值超出蒙特卡羅法結(jié)果較大，因而過于保守。相比之下，本文方法的結(jié)果區(qū)間值都剛好包含蒙特卡羅方法的區(qū)間值，而比RR-Ybus方法得到的區(qū)間值要窄很多，因而更為準(zhǔn)確。

5 結(jié)論

由于不能忽略分布式電源出力的不確定性，配電網(wǎng)的調(diào)度運(yùn)行中需要首先求解不確定性潮流，從而解決分布式電源并網(wǎng)的優(yōu)化運(yùn)行問題。采用復(fù)仿射形式的區(qū)間潮流算法具有參數(shù)獲取簡便、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)，但計(jì)算速度受噪聲元數(shù)量影響很大，且計(jì)算結(jié)果為復(fù)仿射形式，難以轉(zhuǎn)換為區(qū)間值。

本文提出了復(fù)仿射迭代形式的Ybus高斯區(qū)間潮流算法，通過合并同一運(yùn)算產(chǎn)生的噪聲元提高區(qū)間潮流計(jì)算速度，通過構(gòu)建復(fù)仿射多邊形以便更準(zhǔn)確地計(jì)算電壓幅值區(qū)間值和相角區(qū)間值。與此前方法相比，本文方法很大程度上克服了區(qū)間潮流的保守性問題，得到的區(qū)間值更接近真實(shí)結(jié)果。IEEE 33節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的結(jié)果對比驗(yàn)證了本文方法的有效性和準(zhǔn)確性。

本文方法的優(yōu)勢首先在于復(fù)仿射運(yùn)算的應(yīng)用，其次是噪聲元的合并，再次是電壓復(fù)仿射到區(qū)間值的求解方法。這3個元素也可以應(yīng)用到其他不確定性潮流算法中，本文采用Ybus高斯迭代是因?yàn)槠渚幊虒?shí)現(xiàn)過程更簡單方便。

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