朱志鍵，王 杰

（上海交通大學(xué) 電氣工程系，上海 200240）

0 引言

傳統(tǒng)的靜態(tài)經(jīng)濟(jì)調(diào)度ED（Economic Dispatch）不計(jì)各時(shí)間斷面的相互影響，可用等耗量微增率求解，其求解過(guò)程快速有效、簡(jiǎn)單易行。ED曾在電力工業(yè)的調(diào)度中具有舉足輕重的地位。隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展以及電力系統(tǒng)的急劇增大，只考慮發(fā)電機(jī)組出力約束的ED已不能滿足電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定的要求。在ED基礎(chǔ)上計(jì)及各時(shí)間斷面相互影響的動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)調(diào)度 DED（Dynamic Economic Dispatch）由此產(chǎn)生。DED考慮了機(jī)組出力爬坡速率［1-2］，其調(diào)度策略更符合實(shí)際但難度也更大。近年來(lái)隨著環(huán)境污染和大氣污染的進(jìn)一步加重，世界各國(guó)都制定了與節(jié)能減排相關(guān)的法律法規(guī)。傳統(tǒng)上，以煤和石油為主的一次能源在轉(zhuǎn)化為電能的過(guò)程中會(huì)釋放出大量的污染氣體和溫室氣體。長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，尋求清潔能源是解決環(huán)境問(wèn)題和全球能源危機(jī)的唯一途徑，但現(xiàn)階段化石能源在全球能源結(jié)構(gòu)中仍有較大比重，短期內(nèi)很難實(shí)現(xiàn)，因此兼顧常規(guī)火電廠污染氣體排放的環(huán)境經(jīng)濟(jì)調(diào)度EED（Economic Emission Dispatch）應(yīng)運(yùn)而生。

電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)環(huán)境經(jīng)濟(jì)調(diào)度［3］（DEED）包括 DED和EED。DED計(jì)及常規(guī)火電機(jī)組的爬坡速率，而既考慮經(jīng)濟(jì)又考慮環(huán)境的EED以總調(diào)度時(shí)段內(nèi)污染氣體排放總量最少和總調(diào)度時(shí)段內(nèi)常規(guī)火電機(jī)組發(fā)電成本最少為目標(biāo)，因此DEED是一具有非線性、強(qiáng)約束及多峰值的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。一般地，DEED的2個(gè)目標(biāo)函數(shù)相互競(jìng)爭(zhēng)。所謂競(jìng)爭(zhēng)是指一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的減小必然導(dǎo)致另一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的增大。目前，國(guó)內(nèi)外的學(xué)者對(duì)DEED的研究主要集中在多目標(biāo)函數(shù)的求解算法上。文獻(xiàn)［4-6］基于簡(jiǎn)化求解的思路，分別采用權(quán)重法、模糊滿意度法和價(jià)格懲罰因子將DEED的多目標(biāo)求解轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)函數(shù)的求解。雖然每次求解都可求得結(jié)果，但每次運(yùn)算只可求得一個(gè)解，每次求解結(jié)果均不同，且無(wú)法得到全局最優(yōu)解。此外，所求結(jié)果非常依賴于人為設(shè)定參數(shù)，且人為設(shè)定參數(shù)的細(xì)小變化會(huì)對(duì)求解結(jié)果產(chǎn)生很大的影響。鑒于簡(jiǎn)化思路的缺陷，很多學(xué)者不再避實(shí)就虛，而直接用人工智能算法求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題?，F(xiàn)有文獻(xiàn)大致可分為2類(lèi)，分別是基于粒子群優(yōu)化PSO（Particle Swarm Optimization）的求解算法和基于進(jìn)化算法EA（Evolutionary Algorithms）的求解算法。文獻(xiàn)［7-10］分別將動(dòng)態(tài)網(wǎng)格歸檔技術(shù)、動(dòng)態(tài)鄰居策略、快速非支配排序操作及粒子群分割策略應(yīng)用于PSO算法中，改進(jìn)PSO算法均可獲得優(yōu)于常規(guī)PSO算法的動(dòng)態(tài)優(yōu)化結(jié)果。文獻(xiàn)［11］提出一種模糊集群PSO算法，采用外部集合存儲(chǔ)非占優(yōu)粒子，并用小生境技術(shù)來(lái)保證粒子群的多樣性和自適應(yīng)變異操作來(lái)避免粒子群陷于局部最優(yōu)?；贓A的求解算法有很多。文獻(xiàn)［3，13］和［14］分別采用改進(jìn)的差分進(jìn)化算法（MDEA）和強(qiáng)度帕累托進(jìn)化算法（SPEA）求解多目標(biāo)DEED模型。Deb等提出NSGA-Ⅱ（Nondominated Sorting Genetic Algorithm-Ⅱ）［15-16］后，NSGA-Ⅱ獲得了大量應(yīng)用［17-20］。文獻(xiàn)［18-19］首次把 NSGA-Ⅱ引入到電力系統(tǒng)DEED中。較之普通優(yōu)化算法，NSGA-Ⅱ既能夠提高計(jì)算速度、得到更優(yōu)結(jié)果，又可以獲得Pareto最優(yōu)解集，利于決策者做出決策。文獻(xiàn)［12］把NSGA-Ⅱ的Pareto占優(yōu)策略和擁擠距離CD（Crowding Distance）排序操作首次引入到PSO算法中，提高了算法的全局搜索能力，獲得較NSGA-Ⅱ更優(yōu)的Pareto解集。文獻(xiàn)［20-21］在文獻(xiàn)［18］的基礎(chǔ)上分別采用引入自適應(yīng)擁擠距離的MNSGA-Ⅱ（Modified Non-dominated Sorting Genetic Algorithm-Ⅱ）及引入動(dòng)態(tài)擁擠距離和可控精英主義的MNSGA-Ⅱ來(lái)求解DEED問(wèn)題。

雖然上述算法取得了一定的研究成果，但總體存在以下問(wèn)題：目標(biāo)函數(shù)和約束條件不完備，目標(biāo)函數(shù)中不計(jì)閥點(diǎn)效應(yīng)引起的成本，約束條件中等式約束不計(jì)網(wǎng)損，有些文獻(xiàn)甚至僅計(jì)算單時(shí)段EED，與實(shí)際情況相差甚遠(yuǎn)；NSGA-Ⅱ可以完全保證種群的精英主義，但不可避免地會(huì)犧牲種群多樣性，即易陷于局部最優(yōu)；Pareto最優(yōu)解集中個(gè)體密集，分布不均勻。本文以經(jīng)濟(jì)成本和環(huán)境成本最小為目標(biāo)，建立了電力系統(tǒng)多目標(biāo)DEED的一般模型。其中，優(yōu)化目標(biāo)中計(jì)及了常規(guī)火電機(jī)組閥點(diǎn)效應(yīng)引起的能耗成本，等式約束條件中計(jì)及了網(wǎng)損。為了在保證精英主義的前提下保證種群的多樣性，針對(duì)所建模型非線性、不可微和多峰值的特點(diǎn)，本文采用一種具有可控精英主義的選擇操作的MNSGA-Ⅱ進(jìn)行求解。針對(duì)模型復(fù)雜約束的啟發(fā)式操作中所遇到的進(jìn)化受阻問(wèn)題作了深入分析，并采用基于前向搜索的改進(jìn)啟發(fā)式操作成功解決此難題。利用新型成員函數(shù)來(lái)表征Pareto最優(yōu)解集中個(gè)體的優(yōu)劣性，選擇出最佳折中解。仿真結(jié)果表明，該算法具有良好的全局搜索能力，Pareto最優(yōu)解集分布也更加均勻，可為決策者提供更多更優(yōu)選擇。

1 電力系統(tǒng)DEED建模

發(fā)電成本最小和環(huán)境成本最小作為DEED的2個(gè)目標(biāo)函數(shù)是相互競(jìng)爭(zhēng)的。所謂競(jìng)爭(zhēng)是指一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的減小必然導(dǎo)致另一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的增大。具有等式和不等式約束的雙目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型如下。

其中，g（x）和 h（x）分別為等式約束和不等式約束。

1.1 目標(biāo)函數(shù)

a.機(jī)組發(fā)電成本函數(shù)。

機(jī)組發(fā)電成本最小是指在滿足負(fù)載和運(yùn)行約束的前提下，合理地分配各發(fā)電機(jī)組的出力以使整個(gè)調(diào)度期間內(nèi)發(fā)電總成本最小。汽輪機(jī)的進(jìn)氣閥突然開(kāi)啟時(shí)出現(xiàn)的拔絲現(xiàn)象會(huì)在機(jī)組耗量曲線上疊加一個(gè)脈動(dòng)效應(yīng)，即閥點(diǎn)效應(yīng)。因此，計(jì)及閥點(diǎn)效應(yīng)的DED目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式為：

其中，F(xiàn)i（Pit）為發(fā)電機(jī)組 i在 t時(shí)段的發(fā)電成本；Ei（Pit）為發(fā)電機(jī)組i在t時(shí)段由閥點(diǎn)效應(yīng)引起的能耗成本；H為總的常規(guī)火電機(jī)組臺(tái)數(shù)；T為調(diào)度周期內(nèi)總的時(shí)段數(shù)；ai、bi和 ci為燃料費(fèi)用系數(shù)；Pit為發(fā)電機(jī)組 i在t時(shí)段的有功出力；di、ei為機(jī)組i的閥點(diǎn)效應(yīng)系數(shù)；Pmini為機(jī)組i的最小出力。

b.污染氣體排放量函數(shù)。

燃燒化石燃料的機(jī)組排放的污染氣體主要有SOx、NOx和COx。本文不單獨(dú)對(duì)某一種氣體設(shè)置排污特性，而選擇所有污染氣體的綜合排污特性作為所有污染氣體的等效?？傉{(diào)度時(shí)段內(nèi)污染氣體排放總量最少是在滿足負(fù)載和運(yùn)行約束的前提下，合理地分配各發(fā)電機(jī)組的出力以使整個(gè)調(diào)度期間內(nèi)污染氣體排放總量最小。因此，綜合排污特性［3，5，12］可表示為：

其中，αi、βi、γi、ηi和 δi為機(jī)組 i的排放系數(shù)。

1.2 約束條件

a.系統(tǒng)功率平衡約束。

其中，PDt和PLt分別為t時(shí)段的負(fù)載預(yù)測(cè)值和網(wǎng)損。系統(tǒng)網(wǎng)損的精確值一般通過(guò)求解系統(tǒng)潮流方程后求得，但一般采用式（7）所示的簡(jiǎn)化B系數(shù)法來(lái)計(jì)算。

其中，Bij為網(wǎng)損系數(shù)矩陣B的第i行第j列分量。

b.發(fā)電機(jī)組出力約束。

c.發(fā)電機(jī)組爬坡速率約束。

其中，Pi（t-1）為 t-1 時(shí)段發(fā)電機(jī)組 i的有功出力；DRi、URi分別為發(fā)電機(jī)組i的出力降速、出力增速。

2 模型求解

NSGA-Ⅱ是目前最優(yōu)秀的多目標(biāo)優(yōu)化算法之一。該算法基于非支配快速排序算法FNSA（Fast Nondominated Sorting Approach）和擁擠距離進(jìn)行選擇操作，克服了NSGA的高計(jì)算復(fù)雜度、缺少精英主義及需要人為定義共享函數(shù)參數(shù)的缺點(diǎn)［16］，在一定程度上保證了種群的多樣性和精英主義，提高了計(jì)算效率。

文獻(xiàn)［8，17-18］中的 NSGA-Ⅱ先用 FNSA 對(duì)聯(lián)合種群Ra（大小為 2N，其中父代種群 Pa，大小為 N；子代種群 Qa，大小為 N）進(jìn)行排序，獲得排序｛F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，…｝，然后以式（10）計(jì)算 Ra中個(gè)體的擁擠距離，最后在Ra中根據(jù)FNSA和擁擠距離選擇大小為N的下一代種群Pa+1。由FNSA可知排序靠前的集合占優(yōu)后面的集合，因此F1是聯(lián)合種群Ra中的最優(yōu)解集，優(yōu)先選擇F1中的個(gè)體便可把Ra中最好的個(gè)體直接復(fù)制到下一代。借此，精英主義和收斂性得到了保證。具體選擇操作過(guò)程是：如果非占優(yōu)集F1中個(gè)體數(shù)目大于N，選擇F1中擁擠距離值較大的前N個(gè)個(gè)體作為下一代種群Pa+1；如果F1中個(gè)體數(shù)目小于N，把F1中的所有個(gè)體直接復(fù)制到下一代種群Pa+1中，繼續(xù)向下一個(gè)排序搜索，直到Pa+1中個(gè)體數(shù)目為N。

其中，k為目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù)；dCDi為個(gè)體i的擁擠距離；和分別為經(jīng)過(guò)排序后的個(gè)體i+1和i-1所對(duì)應(yīng)的第n個(gè)目標(biāo)函數(shù)的值。

2.1 MNSGA-Ⅱ

以上操作是NSGA-Ⅱ的核心過(guò)程。盡管基于FNSA的選擇操作保證了種群的精英主義，增強(qiáng)了種群收斂到Pareto最優(yōu)解集的可能性，卻無(wú)法避免會(huì)存在以下情況：基于FNSA的選擇操作會(huì)導(dǎo)致Pa+1中的個(gè)體過(guò)于集中，特別是當(dāng)F1中的個(gè)體數(shù)目小于N時(shí)F1中的精英個(gè)體將全部復(fù)制到下一代，即在完全保證精英主義的情況下無(wú)法保證子代種群的多樣性。種群的多樣性對(duì)于種群避免早熟非常重要，它能夠避免種群陷于局部最優(yōu)解。在種群的進(jìn)化中最重要的是保持種群的多樣性能夠收斂到一個(gè)最優(yōu)的Pareto集合。為了在保證精英主義的前提下保證種群的多樣性，本文采用一種可控精英主義的選擇操作把非占優(yōu)最優(yōu)集F1和后續(xù)非占優(yōu)集｛F2，F(xiàn)3，…｝分開(kāi)處理。針對(duì)非占優(yōu)最優(yōu)集F1的最優(yōu)性，用Nm來(lái)表示允許F1復(fù)制到Pa+1中的個(gè)數(shù)，其中m為F1中允許復(fù)制到Pa+1中的個(gè)數(shù)與Pa+1種群大小N的比值。因此非占優(yōu)最優(yōu)集F1最終遺傳到Pa+1的個(gè)體數(shù)RT1為：

其中，num（F1）為非占優(yōu)最優(yōu)集F1中的個(gè)體數(shù)目。后續(xù)非占優(yōu)集對(duì)Pa+1中剩余的N-RT1個(gè)空位以等比數(shù)列進(jìn)行填補(bǔ)，操作過(guò)程如式（12）所示。

其中，Ni為允許非占優(yōu)集Fi復(fù)制到Pa+1中的個(gè)數(shù)；NOR為Ra中排序的個(gè)數(shù)；nr=NOR-1；gr為等比數(shù)列的公比；RTi為Fi最終復(fù)制到Pa+1的個(gè)體個(gè)數(shù)；OFi為Fi的溢出，表示Fi中個(gè)體數(shù)目的不足由Fi+1來(lái)彌補(bǔ)，直至最后排序?yàn)镹OR的非占優(yōu)集。理論上隨著序數(shù)i的增大，在Fi中所取個(gè)體數(shù)會(huì)越來(lái)越少，而借此可以提高種群的多樣性。通常既可通過(guò)最后排序的溢出OFNOR又可直接計(jì)算（下文中均用 sum（RTi）表示）來(lái)判斷Pa+1中個(gè)體的數(shù)量是否為N。

當(dāng)OFNOR＞0時(shí)，表示Pa+1中個(gè)體數(shù)量為N-OFNOR，意味著從除F1之外的后續(xù)非占優(yōu)集合中所取個(gè)體數(shù)目太少。文獻(xiàn)［19］直接從已經(jīng)獲得的Pa+1中隨機(jī)選擇OFNOR個(gè)個(gè)體復(fù)制加入Pa+1以保證Pa+1中個(gè)體數(shù)目為N，特別地，當(dāng)OFNOR較大時(shí)，種群相同個(gè)體較多，易陷入局部最優(yōu)。因此為防止子代種群Pa+1中出現(xiàn)個(gè)體數(shù)目不足N的情況，在初期選擇參數(shù)時(shí)，應(yīng)使m和gr都較大以在保證精英主義的前提下保證種群的多樣性。為此，本文設(shè)計(jì)了一種逆序地增加Pa+1中個(gè)體數(shù)目的方法如式（13）所示，即先從最大排序非占優(yōu)集增加允許復(fù)制的個(gè)數(shù)，然后判斷更新后的 sum（RTi）與 N 的大小關(guān)系，若 sum（RTi）＜N，那么繼續(xù)增加前一排序集合FNOR-1的允許復(fù)制個(gè)數(shù)，直至排序?yàn)?的集合（不對(duì)F1進(jìn)行此操作）。若從NOR排序到第2排序調(diào)整一輪后Pa+1中個(gè)體數(shù)仍不足N，則再次實(shí)施以上操作直至種群數(shù)目大于等于N。以上操作的關(guān)鍵步驟是要不斷判斷sum（RTi）與N的大小關(guān)系。

其中，i=NOR，NOR-1，…，2；lgain為允許增大的程度。當(dāng)OFNOR=0時(shí)，鑒于RTi的取值為不小于括號(hào)內(nèi)數(shù)值的整數(shù)，即意味著Pa+1中個(gè)體數(shù)量大于等于N。此時(shí)需要在Pa+1中刪除sum（RTi）-N個(gè)個(gè)體，具體是從Pa+1中所包含的最大排序非占優(yōu)集FNOR中具有最小擁擠距離值的個(gè)體開(kāi)始刪除。若Pa+1不再含有FNOR的任何個(gè)體且sum（RTi）仍大于N，則繼續(xù)以相同規(guī)則刪除Pa+1中所包含的FNOR-1集合中的個(gè)體，直到Pa+1中個(gè)體數(shù)為N。

2.2 算法流程

MNSGA-Ⅱ的算法流程框圖如圖1所示。

詳細(xì)算法流程如下。

a.初始化。生成一個(gè)種群大小為N且滿足約束條件的隨機(jī)種群Pa，a=0，其中a是代數(shù)。

b.Pa的FNSA和擁擠距離操作。用FNSA對(duì)初始種群進(jìn)行非支配排序。排序的結(jié)果是形成一系列非占優(yōu)集合，其中非占優(yōu)最優(yōu)集用F1表示，1為其排序號(hào)，緊接著為F2，依此類(lèi)推；分別計(jì)算每個(gè)非占優(yōu)集中所包含個(gè)體的擁擠距離，然后對(duì)每個(gè)集合中的個(gè)體以擁擠距離降序分別排序。

c.競(jìng)選 TS（Tournament-Selection）。在種群 Pa中隨機(jī)選擇2個(gè)個(gè)體，通過(guò)比較排序號(hào)和擁擠距離選擇較優(yōu)個(gè)體放入交配池［16］。

d.交叉（Crossover）和變異（Mutation）。交叉操作采用分散交叉SC（Scattered-Crossover），是指隨機(jī)產(chǎn)生一與父代相同大小的二進(jìn)制向量，向量中元素為1時(shí)從第一個(gè)父代選擇對(duì)應(yīng)的元素，元素為0時(shí)從第二個(gè)父代中選擇相對(duì)應(yīng)的元素；交叉概率為pc。變異操作采用標(biāo)準(zhǔn)變異UM（Uniform-Mutation），變異概率為pm。通過(guò)交叉和變異操作產(chǎn)生一個(gè)大小為N的子代種群Qa。

e.聯(lián)合父代種群和子代種群。產(chǎn)生聯(lián)合種群Ra=Pa∪Qa，其種群大小為 2N。

f.可控精英主義的選擇操作。獲得非占優(yōu)最優(yōu)集F1和后續(xù)非占優(yōu)集｛F2，F(xiàn)3，…｝。以可控精英主義對(duì)排序后的非占優(yōu)集合進(jìn)行選擇操作，分別從Fi中選擇RTi個(gè)個(gè)體，然后判斷子代個(gè)體總數(shù)是否為N。不足的部分采用一種逆序地增加個(gè)體數(shù)目的方法；多余的個(gè)體從Pa+1中所包含的非占優(yōu)集FNOR中具有最小擁擠距離值的個(gè)體開(kāi)始刪除。若Pa+1不再含有FNOR的任何個(gè)體，則繼續(xù)從Pa+1中所包含的FNOR-1集合按相同規(guī)則刪除，直到Pa+1中個(gè)體數(shù)為N。

g.終止條件。一般地，可以采用固定大小的種群代數(shù)或者解集質(zhì)量不再明顯提高作為算法的終止條件。本文采用固定大小的種群代數(shù)Np作為終止條件。終止條件滿足時(shí)，進(jìn)入下一步，否則算法把步驟f所得個(gè)體作為父代返回步驟c循環(huán)操作。

h.終止。獲得Pareto最優(yōu)解集及相關(guān)參數(shù)與圖形。

圖1 MNSGA-Ⅱ的計(jì)算流程圖Fig.1 Flowchart of MNSGA-Ⅱ

2.3 最佳折中解

基于MNSGA-Ⅱ所獲得的Pareto最優(yōu)解集為決策制定者提供了一系列的選擇。從所有選擇中選出一個(gè)作為最佳折中解對(duì)決策制定者大有裨益。一般地，決策制定者具有個(gè)人偏好，為了避免決策者個(gè)人判斷的不嚴(yán)密性，文獻(xiàn)［11，14］采用中立的成員函數(shù)來(lái)表示最優(yōu)解集中個(gè)體的優(yōu)劣性。本文采用如式（14）所示的新型無(wú)偏見(jiàn)的成員函數(shù)來(lái)表征Pareto最優(yōu)解集中每個(gè)個(gè)體的優(yōu)劣。

其中，和分別為Pareto最優(yōu)解集所對(duì)應(yīng)的第n個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最小和最大值；為Pareto最優(yōu)解集中第i個(gè)解所對(duì)應(yīng)的第n個(gè)目標(biāo)函數(shù)的值；k為目標(biāo)函數(shù)的個(gè)數(shù)；len為Pareto最優(yōu)解集中解的個(gè)數(shù)；μi為Pareto中的第i個(gè)解的優(yōu)劣，其值越小表明所代表的解越優(yōu)，即為最佳折中解。

3 復(fù)雜約束條件的啟發(fā)式操作

DEED是一個(gè)非線性、強(qiáng)約束及多峰值的多目標(biāo)動(dòng)態(tài)優(yōu)化問(wèn)題，其強(qiáng)約束性和非線性特性使得DEED的求解變得相當(dāng)困難。一般的通用算法效率低下且結(jié)果并不優(yōu)良，因此高效快速求解非線性動(dòng)態(tài)優(yōu)化問(wèn)題最核心的關(guān)鍵點(diǎn)是尋求相關(guān)方法處理約束條件。在本文的約束條件中，不等式約束式（8）、（9）處理起來(lái)比較簡(jiǎn)便，只需要令相關(guān)違反約束的變量變?yōu)檫吔缰导纯伞Ｓ?jì)及網(wǎng)損的等式約束處理起來(lái)相對(duì)比較困難。本文采用啟發(fā)式的迭代方法逐時(shí)段地對(duì)不可行解進(jìn)行修正。具體過(guò)程如下。

（1）對(duì)時(shí)段 t（t=1，2，…，T），計(jì)算等式約束違反值。

設(shè)置違反值的閾值 ε，如果 abs（δt）＞ε，轉(zhuǎn)到步驟（2），否則轉(zhuǎn)到步驟（4）。

（2）按照每臺(tái)機(jī)組的上升/下降空間均勻分配約束違反值。

其中，為 Pv，t調(diào)整后的輸出，Pv，t和 Pt都為向量，分別表示t時(shí)段機(jī)組調(diào)整后的出力和機(jī)組t時(shí)段出力后所能增大/減小的最大/最小出力。

（3）判斷是否滿足不等式約束條件，若不滿足，則按照不等式約束條件處理；否則返回步驟（1）。

（4）終止復(fù)雜約束的啟發(fā)式操作。

若直接以步驟（3）來(lái)處理不等式約束式（9），則在實(shí)際運(yùn)行中會(huì)存在種群進(jìn)化到某一代時(shí)停滯不前不再進(jìn)化，即進(jìn)化受阻。原因在于Pv，t和上一個(gè)時(shí)段的Pv，t-1之間存在爬坡速率限制，即需要考慮時(shí)間斷面的相互影響，而在迭代的過(guò)程中，會(huì)存在當(dāng)Pv，t中所有個(gè)體全部增大/減小到Pv，t-1的最大/最小極限出力 Pt-1時(shí)，δt依舊大于 /小于 0 的情況，即 Pv，t-1中的某些機(jī)組出力已經(jīng)接近極限值Pt-1，以致t-1時(shí)段的正負(fù)旋轉(zhuǎn)備用不能滿足t時(shí)段的調(diào)度。出現(xiàn)這種情況的根本原因在于：NSGA-Ⅱ的很多過(guò)程均是隨機(jī)操作的；復(fù)雜約束的啟發(fā)式處理先確定靠前時(shí)段的機(jī)組出力。為此，本文提出一種前向搜索操作（forward-search operator），通過(guò)此操作可以增加t-1時(shí)段的正負(fù)旋轉(zhuǎn)備用，以順利渡越t時(shí)段的調(diào)度。具體過(guò)程如下，該過(guò)程在步驟（2）與步驟（3）之間執(zhí)行。

a.記錄時(shí)段號(hào)t，通過(guò)式（18）可判斷是否出現(xiàn)進(jìn)化受阻，若式（18）成立轉(zhuǎn)到步驟b；否則轉(zhuǎn)到步驟（3）。

b.計(jì)算變量 rri，變量 rri用以描述 Pv，t-1中每臺(tái)機(jī)組出力的總上升/下降空間相對(duì)于機(jī)組爬坡速率的比值。

搜索 Pv，t-1中 rri＜k1（k1一般取為 0.4～0.6）的機(jī)組，分別進(jìn)行如下操作。

搜索 Pv，t-1中 rri＞k2（k2一般取為 0.7～0.9）的機(jī)組，對(duì)這些機(jī)組按照上升/下降空間均勻分配所有rri＜k1的機(jī)組在進(jìn)行式（20）操作時(shí)所減小/增大的總量。借此以保證在 sum（Pv，t-1）不變的情況下，增大 t-1時(shí)段的正負(fù)旋轉(zhuǎn)備用。此時(shí)判斷式（18）是否成立，若成立，則繼續(xù)返回步驟b，直至不成立；否則轉(zhuǎn)到步驟c。

c.使 t=t-1，對(duì)按步驟（3）操作。

4 算例分析

4.1 系統(tǒng)描述及參數(shù)設(shè)置

本文采用10機(jī)電力系統(tǒng)［18］算例驗(yàn)證本文算法的有效性，并與NSGA-Ⅱ的結(jié)果進(jìn)行比較。模型綜合考慮了常規(guī)火電機(jī)組的閥點(diǎn)效應(yīng)和系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)損耗。機(jī)組參數(shù)和負(fù)荷數(shù)據(jù)見(jiàn)文獻(xiàn)［18］，調(diào)度時(shí)長(zhǎng)為24 h，即24個(gè)時(shí)段。MNSGA-Ⅱ的參數(shù)設(shè)置如下：種群大小為100，交叉概率pc為0.8，變異概率pm為0.01，m取值為0.7，gr取值為0.75，最大迭代次數(shù)為20000，ε 為 10-5，k1為 0.6，k2為 0.8，lgain為 0.1。為了驗(yàn)證所提MNSGA-Ⅱ的更優(yōu)全局搜索能力，將本文所得結(jié)果與文獻(xiàn)［18］和［21］進(jìn)行比較。仿真試驗(yàn)均在AMD速龍2雙核245處理器（2.90 GHz）、3.25 G內(nèi)存32位Win7操作系統(tǒng)上采用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)。

4.2 結(jié)果分析

表1中的數(shù)據(jù)是對(duì)f1和f2分別優(yōu)化的結(jié)果。為了與本文所提出的MNSGA-Ⅱ?qū)Ρ?，?jì)算權(quán)重ω=0.5時(shí) ωf1+（1-ω）f2的優(yōu)化結(jié)果［18］。其中，RGA 表示文獻(xiàn)［18］所采用的處理算法，MRGA表示采用基于前向搜索的改進(jìn)啟發(fā)式操作的RGA。從表中數(shù)據(jù)可知，采用本文所提的MRGA擴(kuò)展了算法的搜索空間，并且能搜索到更優(yōu)結(jié)果。

圖2是 NSGA-Ⅱ和 MNSGA-Ⅱ所求得的 Pareto最優(yōu)解集的對(duì)比圖。從圖中可以看出，與NSGA-Ⅱ所獲得的Pareto最優(yōu)解集相比，本文所提的MNSGA-Ⅱ所求得的Pareto最優(yōu)解集在目標(biāo)空間中的范圍更廣且分布更均勻，可為決策者提供更多更優(yōu)選擇。文獻(xiàn)［18］NSGA-Ⅱ所獲結(jié)果分布密集且僅為局部最優(yōu)的原因正在于其僅僅完全保證了種群的精英主義，而沒(méi)有考慮種群的多樣性對(duì)于避免種群陷于局部最優(yōu)的重大意義。通過(guò)可控精英主義改進(jìn)后，能夠在保證種群精英主義的前提下保證種群的多樣性，進(jìn)而避免種群陷于局部最優(yōu)。由圖2知，文獻(xiàn)［21］采用基于可控精英主義的MNSGA-Ⅱ所獲得的Pareto最優(yōu)解集占優(yōu)文獻(xiàn)［18］所獲得的Pareto最優(yōu)解集。采用本文所提的基于改進(jìn)可控精英主義的MNSGA-Ⅱ所獲得的Pareto最優(yōu)解集占優(yōu)文獻(xiàn)［18］和［21］所獲得的Pareto最優(yōu)解集?；谇跋蛩阉鞯膹?fù)雜約束的啟發(fā)式處理，也能不斷調(diào)整個(gè)體參數(shù)，跳出不可行解以更好地滿足復(fù)雜約束，在一定程度上也擴(kuò)大了種群的搜索范圍，增加了種群的多樣性?？梢?jiàn)，理論分析和實(shí)際結(jié)果相符。

圖2 Pareto最優(yōu)解集比較Fig.2 Comparison of Pareto optimal set

表2中的個(gè)體代表通過(guò)新型成員函數(shù)所獲得的最佳折中解。由表2數(shù)據(jù)可知，所有非支配個(gè)體在所有時(shí)段均滿足不等式約束和計(jì)及網(wǎng)損的功率平衡約束，并沒(méi)有犧牲解集的精確性來(lái)?yè)Q取算法的效率。除此以外，在計(jì)及網(wǎng)損情況下，機(jī)組總出力大于電力負(fù)荷需求，其差額為網(wǎng)絡(luò)損耗；而網(wǎng)損在某些時(shí)段甚至?xí)笥跈C(jī)組中的最小出力。由此可見(jiàn)，不計(jì)網(wǎng)損的調(diào)度將會(huì)帶來(lái)很大誤差，而隨著電力系統(tǒng)的不斷擴(kuò)大，網(wǎng)損對(duì)調(diào)度的影響勢(shì)必會(huì)越來(lái)越大。盡管網(wǎng)損的計(jì)及會(huì)使功率平衡表達(dá)式從線性等式約束變?yōu)榉蔷€性等式約束，會(huì)給DEED的求解帶來(lái)很多困難，但不計(jì)網(wǎng)損的大電網(wǎng)的調(diào)度雖然簡(jiǎn)便，卻會(huì)引起功率的不平衡，進(jìn)而引起頻率的變化，甚至?xí)痣娏κ鹿?。因此?jì)及網(wǎng)損的DED對(duì)于整個(gè)電力系統(tǒng)的安全穩(wěn)定非常重要，而本文所提出的基于前向搜索的復(fù)雜約束的啟發(fā)式處理能夠很好地解決這一難題。根據(jù)表2中的總運(yùn)行費(fèi)用和總排污量可知，最佳折中解并不占優(yōu)NSGA-Ⅱ的解。造成此種情況的原因在于MNSGA-Ⅱ的Pareto最優(yōu)解集比通常的NSGA-Ⅱ占有更廣闊的范圍。即最佳折中解可能會(huì)取到圖2所示的非支配區(qū)域。因此，除開(kāi)圖2中的非支配區(qū)域總可以取得支配 NSGA-Ⅱ和 MNSGA-Ⅱ［21］的解。表3中的個(gè)體是本文所用改進(jìn)算法所獲得Pareto最優(yōu)解的第62個(gè)解。由表1和表3可知，采用權(quán)重法每次只能獲得一個(gè)可行解，而采用本文所述的MNSGA-Ⅱ能夠獲得Pareto最優(yōu)解，且總存在優(yōu)于權(quán)重法優(yōu)化結(jié)果的個(gè)體。因此，本文所采用的MNSGA-Ⅱ不僅可以拓展搜索區(qū)域，還可以獲得更優(yōu)解。

為了研究各機(jī)組耗能特性與排放量的關(guān)系，圖3和圖4分別表示表3中機(jī)組1—5和機(jī)組6—10的能耗特性與排放量的關(guān)系。由圖3和圖4中各曲線可知，能耗較低時(shí)排放量都較小，而隨著能耗的增大，排放量都會(huì)隨著機(jī)組能耗的增大而增大，不同的是排放量隨著能耗的增大而增大的速率不同。

表2 最佳折中解Table 2 Optimal compromise solutions

5 結(jié)論

本文以經(jīng)濟(jì)成本最小和環(huán)境成本最小為目標(biāo)，建立了電力系統(tǒng)多目標(biāo)DEED的一般模型。其中，優(yōu)化目標(biāo)中計(jì)及了常規(guī)火電機(jī)組閥點(diǎn)效應(yīng)引起的能耗成本，等式約束條件中計(jì)及了網(wǎng)損，2個(gè)目標(biāo)函數(shù)相互競(jìng)爭(zhēng)。盡管所建模型比較完備，但其求解極其困難。針對(duì)所建模型非線性、不可微和多峰值的特點(diǎn)，本文采用一種具有可控精英主義的選擇操作的MNSGA-Ⅱ進(jìn)行求解。針對(duì)模型復(fù)雜約束的啟發(fā)式操作中所遇到的進(jìn)化受阻問(wèn)題做了深入分析，并首次采用基于前向搜索的改進(jìn)啟發(fā)式操作成功解決此難題。利用新的成員函數(shù)來(lái)表征Pareto最優(yōu)解集中個(gè)體的優(yōu)劣性，選擇出最佳折中解。通過(guò)比較，算例結(jié)果驗(yàn)證了MNSGA-Ⅱ具有更優(yōu)的全局搜索能力，同時(shí)也說(shuō)明了計(jì)及網(wǎng)損的大電網(wǎng)的調(diào)度對(duì)于電力系統(tǒng)安全穩(wěn)定的重要意義。隨著新能源在電力系統(tǒng)中的比重越來(lái)越大以及能源互聯(lián)網(wǎng)越來(lái)越深入的研究，計(jì)及可再生能源入網(wǎng)的DEED必然成為新時(shí)期新階段需要重點(diǎn)研究的工作。

表3 Pareto最優(yōu)解集的第62個(gè)解Table 3 62nd solution of Pareto optimal set

圖3 各機(jī)組能耗與排放量的關(guān)系Fig.3 Relationship between energy consumption and emission for Unit 1-5

圖4 各機(jī)組能耗與排放量的關(guān)系Fig.4 Relationship between energy consumption and emission for Unit 6-10

［1］MOHAMMADI-IVATLOO B，RABIEE A，EHSAN M.Time-varying acceleration coefficients IPSO forsolving dynamic economic dispatch with non-smooth cost function［J］.Energy Conversion and Management，2012（56）：175-183.

［2］WANG Y，ZHOU J，LU Y，et al.Chaotic self-adaptive particle swarm optimization algorithm fordynamiceconomicdispatch problem with valve-point effects［J］.Expert Systems with Applications，2011，38（11）：14231-14237.

［3］江興穩(wěn)，周建中，王浩，等.電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)環(huán)境經(jīng)濟(jì)調(diào)度建模與求解［J］.電網(wǎng)技術(shù)，2013，37（2）：385-391.JIANG Xingwen，ZHOU Jianzhong，WANG Hao，et al.Modeling and solving for dynamic economic emission dispatch of power system［J］.Power System Technology，2013，37（2）：385-391.

［4］BASU M.Particle swarm optimization based goal-attainment method for dynamic economic emission dispatch［J］.Electric Power Components and Systems，2006，34（9）：1015-1025.

［5］BASU M.Dynamic economic emission dispatch using evolutionary programming and fuzzy satisfying method［J］.International Journal of Emerging Electric Power Systems，2007，8（4）：1-15.

［6］PANDIT N，TRIPATHIA，TAPASWIS，etal.Static/dynamic environmental economic dispatch employing chaotic micro bacterial foraging algorithm［C］∥Swarm，Evolutionary，and Memetic Computing-Second International Conference.Berlin，Germany：Springer，2011：585-592.

［7］COELLO C A，LECHUGA M S.MOPSO：a proposal for multiple objective particle swarm optimization［C］∥Proceedings of the 2002 Congress on Evolutionary Computation，2002.CEC’02.Piscataway，New Jersey，USA：IEEE，2002：1051-1056.

［8］HU X，EBERHART R.Multiobjective optimization using dynamic neighborhood particle swarm optimization［C］∥Proceedings of the World on Congress on Computational Intelligence.Piscataway，New Jersey，USA：IEEE，2002：1677-1681.

［9］LI X.A non-dominated sorting particle swarm optimizer for multiobjective optimization［J］.Lecture Notes in Computer Science，2003，2723：37-48.

［10］ALVAREA-BENITEZ J E，EVERSON R M，F(xiàn)IELDSEND J E.A MOPSO algorithm based exclusively on pareto dominance concepts［C］∥Evolutionary Multi-Criterion Optimization.Berlin，Germany：Springer，2005：459-473.

［11］AGRAWAL S，PANIGRAHI K B，TIWARI M K.Multiobjective particle swarm algorithm with fuzzy clustering for electrical power dispatch［J］.IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2008，12（5）：529-541.

［12］劉剛，彭春華，相龍陽(yáng).采用改進(jìn)型多目標(biāo)粒子群算法的電力系統(tǒng)環(huán)境經(jīng)濟(jì)調(diào)度［J］.電網(wǎng)技術(shù)，2011，35（7）：139-144.LIU Gang，PENG Chunhua，XIANG Longyang.Economic environmental dispatch using improved multi-objective particle swarm optimization［J］.Power System Technology，2011，35（7）：139-144.

［13］盧有麟，周建中，覃暉，等.差分進(jìn)化算法在電力系統(tǒng)環(huán)境經(jīng)濟(jì)調(diào)度中的應(yīng)用［J］.華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，38（8）：121-124.LU Youlin，ZHOU Jianzhong，QIN Hui，etal.Application of differential evolution algorithm to environmental/economic dispatch of power systems［J］.Journal of Huazhong University of Science and Technology（Natural Science Edition），2010，38（8）：121-124.

［14］ABIDO M A.Environmental/economic power dispatch using multi-objective evolutionary algorithms［J］.IEEE Transactions on Power Systems，2003，18（4）：1529-1537.

［15］SRINIVAS N，DEB K.Multi-objective function optimization using non-dominated sorting genetic algorithms［J］.Evolutionary Computation，1995，2（3）：221-248.

［16］DEB K，PRATAP A，AGARWAl S，et al.A fast and elitist multi-objective genetic algorithm：NSGA-Ⅱ［J］.IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2002，6（2）：182-197.

［17］RAMESH S，KANNAN S，BASKAR S.Application of modified NSGA-Ⅱ algorithm to multi-objective reactive power planning［J］.Applied Soft Computing，2012，12（2）：741-753.

［18］BASU M.Dynamic economic emission dispatch using nondominated sorting genetic algorithm-Ⅱ［J］.Int J of Electrical Power&Energy Systems，2008，30（2）：140-149.

［19］BASU M.Fuel constrained economic emission dispatch using nondominated sorting genetic algorithm-Ⅱ［J］.Energy，2014，78（4）：649-664.

［20］PURKAYASTHA B，SINHA N.Optimal combined economic and emission load dispatch using modified NSGA-Ⅱwith adaptive crowding distance［J］.International Journal of Information Technology and Knowledge Management，2010，2（2）：553-559.

［21］DHANALAKSHMIS，KANNAN S，MAHADEVAN K，etal.Application of modified NSGA-Ⅱalgorithm to combined economic and emission dispatch problem［J］.International Journal of Electrical Power&Energy Systems，2011，33（4）：992-1002.