王 輝，黃美發(fā),2，鄭素娟，楊盛宇，李超元

(1.桂林電子科技大學 機電工程學院，廣西 桂林 541004；2.廣西制造系統(tǒng)與先進制造技術重點實驗室，廣西 桂林 541004)

基于公差原則的裝配公差統(tǒng)計分析*

王 輝1，黃美發(fā)1,2，鄭素娟1，楊盛宇1，李超元1

(1.桂林電子科技大學 機電工程學院，廣西 桂林 541004；2.廣西制造系統(tǒng)與先進制造技術重點實驗室，廣西 桂林 541004)

為了提高機械產(chǎn)品的互換性，減少制造成本，公差原則在零件設計時有著廣泛的應用，但是在現(xiàn)有的裝配公差統(tǒng)計分析方法中卻較少考慮零件的公差原則。為解決此問題，基于雅克比旋量理論建立了考慮公差原則的三維裝配公差模型，并結(jié)合蒙特卡洛法對裝配體進行統(tǒng)計公差分析，期間在用旋量區(qū)間表示特征變動時并考慮了旋量間的約束關系，使公差分析結(jié)果更加符合實際情況。最后以簡易頂尖尾座裝配體為實例，對比了零件應用不同公差原則時的公差分析結(jié)果，驗證了所述方法的有效性。

公差原則；雅可比旋量模型；公差分析；蒙特卡洛

0 引言

與物理樣機相比，數(shù)字樣機可大幅度提高產(chǎn)品開發(fā)的速度和質(zhì)量，而數(shù)字樣機技術還存在著諸多的問題[1]。例如在對產(chǎn)品進行三維裝配公差分析時不能很好的處理尺寸公差與形位公差的關系，即公差原則。而在實際幾何產(chǎn)品設計中，為了更好滿足產(chǎn)品的功能要求，其零件往往會有公差原則的要求，零件的公差原則要求會對最終的裝配結(jié)果產(chǎn)生影響[2]。因此在三維裝配公差分析中考慮公差原則對產(chǎn)品數(shù)字樣機的制造有著重要的意義。

現(xiàn)階段主要的三維裝配公差分析模型有：利用歐式空間中的凸集描繪圓柱、平面、軸線等各種特征在公差限制下的特征變動范圍的T-Map模型[3]；利用環(huán)路約束方程的一階泰勒級數(shù)線性展開式代替非線性方程，并結(jié)合矩陣運算方法進行公差分析的矢量環(huán)模型[4]；以及在齊次坐標變換理論的基礎上，Laperriere L 等提出利用雅可比矩陣結(jié)合SDT公差模型進公差分析的雅可比旋量公差模型[5]等。但是，目前的三維裝配公差分析模型中卻較少考慮公差原則[6]，故不能很好的對有公差原則要求的裝配體進行公差分析。

本文在雅克比旋量模型的基礎上，對有公差原則要求的裝配體進行三維公差建模，并結(jié)合蒙特卡洛法對其進行公差統(tǒng)計分析，最后分析零件選用不同公差原則時對裝配功能的影響。

1 雅克比旋量模型

雅可比旋量模型是一種結(jié)合雅可比矩陣與SDT理論的三維公差數(shù)學模型，主要用于裝配體的公差分析[7]。雅可比旋量模型，采用雅可比矩陣表示各個特征FEi產(chǎn)生的變動對裝配功能要求FR的影響關系，利用SDT模型表示各個FEi的公差。并在SDT模型中，結(jié)合區(qū)算法來表達各個旋量參數(shù)的變動范圍[8]。雅可比旋量模型結(jié)合雅可比矩陣與SDT理論的優(yōu)點，主要用于表達較為復雜的非線性裝配關系。如式(1)所示，為雅可比旋量模型的表達式。

(1)

其中：

(2)

1.1 雅克比矩陣的構(gòu)建

雅可比矩陣主要用于表達特征之間的誤差傳遞關系，并利用矩陣乘積來表示特征間的誤差累積[9]。在公差數(shù)學建模理論中，雅可比矩陣主要用于表示零件功能元素FE(FunctionalElements)，由于加工誤差或裝配誤差產(chǎn)生的微小變動，對裝配功能要求FR的影響關系，雅克比矩陣的表達式為：

(3)

(4)

1.2 基于SDT理論的公差建模

以數(shù)學定義的公差模型是公差分析和公差綜合的基礎，在SDT公差模型中，將零件實際表面的誤差認為是公稱表面的一種微小的剛性變動，并用理想表面來代替實際零件表面[10]，如圖1所示,其中,Oi-xiyizi表示特征所在的局部坐標系。SDT模型將實際表面看作是一理想的表面，而將實際表面產(chǎn)生的變動則看作是局部坐標系的變動。SDT模型主要用于研究特征表面在位置和方向上的變動。

圖1 SDT原理

(5)式中：p表示控制位置旋量，ε表示控制方向旋量；u、v、w分別表示沿局部坐標系Xi、Yi、Zi軸的平動量；α、β、γ分別表示繞局部坐標系Xi、Yi、Zi軸的轉(zhuǎn)動量。

圖2 最大實體要求應用于軸線同軸度公差

最終得到最大實體要求同軸度公差的數(shù)學模型為[6]：

(6)

式中：

(7)

其中,da表示實際尺寸，dmax、dmin分別為軸的最大和最小極限尺寸，式(6)、式(7)也就是旋量參數(shù)約束方程和旋量參數(shù)變動方程。

2 裝配體公差統(tǒng)計分析

2.1 基于蒙特卡洛的公差分析

裝配體公差分析是保證產(chǎn)品功能質(zhì)量的重要途徑，目前采用的公差分析方法主要包括：極值法、統(tǒng)計法、蒙特卡洛法等。相對于利用極值法進行的公差分析而言，統(tǒng)計公差分析法符合生產(chǎn)實際，節(jié)約生產(chǎn)成本。近年來，結(jié)合蒙特卡洛模擬法的裝配體公差統(tǒng)計分析，已經(jīng)得到了廣泛的研究[12]。接下來本文將結(jié)合蒙特卡洛法，進一步研究裝配體的公差統(tǒng)計分析。

本文基于式(1)所示的雅可比旋量模型，并結(jié)合蒙特卡洛模擬法，研究了裝配體的公差統(tǒng)計分析。該方法利用雅可比旋量模型來表達零件誤差(尺寸公差、位置公差)、裝配誤差在裝配體中的累積，并根據(jù)已知的公差及其分布特性，采用蒙特卡洛法來模擬裝配體關鍵特征(影響裝配功能要求的特征)的變動以及零件的裝配；最后根據(jù)模擬裝配結(jié)果，分析FR的分布特性。

(8)

利用蒙特卡洛法，進行裝配體公差統(tǒng)計分析的基本思想為：首先，利用蒙特卡洛法將關鍵特征的模擬問題，轉(zhuǎn)化為根據(jù)特征旋量參數(shù)的分布規(guī)律及區(qū)間對參數(shù)進行隨機取值的問題；再將得到的各個旋量參數(shù)的隨機值，代入式(8)所示的公差分析模型中，計算FR的旋量參數(shù)值；最后重復該過程，得到一定數(shù)量的FR并對其進行統(tǒng)計分析，從而得到FR中各個參數(shù)所對應的公差分析結(jié)果。利用蒙特卡洛法進行裝配體公差統(tǒng)計分析的基本流程，如圖3所示。

圖3 公差統(tǒng)計分析的流程圖

基于蒙特卡洛法的裝配體公差統(tǒng)計分析的具體步驟如下：

(1)求解旋量參數(shù)的分布規(guī)律及其區(qū)間

依據(jù)特征所指定的公差，確定各個旋量參數(shù)的變動范圍及約束關系；并根據(jù)實際加工情況，確定特征各個旋量參數(shù)的分布規(guī)律。

(2)產(chǎn)生隨機數(shù)模擬關鍵特征

根據(jù)特征各個旋量參數(shù)的分布規(guī)律及區(qū)間，隨機生成各個旋量參數(shù)值模擬各個關鍵特征FEi，生成各個FEi的子樣本。

(3)模擬關鍵特征的裝配

將隨機產(chǎn)生的各個關鍵特征FEi的子樣本，代入式(8)中，進行關鍵特征的模擬裝配，求出FR的單個子樣本。

(4)FR的統(tǒng)計分析

不斷循環(huán)步驟(2)、(3)，重復m次(模擬次數(shù)m越大則求解精度越高，但當m到達一定程度時，采用增大模擬次數(shù)的方法來提高模擬精度的效果并不顯著)。求出FR的m個子樣本，并對子樣本進行統(tǒng)計分析，求出FR的平均值、極限值等。

2.2 裝配體關鍵特征的旋量表示

雅可比旋量模型利用SDT模型中旋量區(qū)間內(nèi)的隨機取值來模擬裝配體關鍵特征的變動，并運用雅可比矩陣來研究各個關鍵特征的模擬裝配，以實現(xiàn)裝配體的公差分析。所以說是利用雅可比旋量模型進行公差統(tǒng)計分析的基礎。在實際生產(chǎn)過程中，由于加工條件、加工環(huán)境等綜合因數(shù)的影響，使得各個特征的旋量參數(shù)呈現(xiàn)一定的分布規(guī)律[12]，但旋量參數(shù)的實際分布情況難以檢測。因此，本文主要討論，當各個旋量參數(shù)都服從正態(tài)分布，且相互獨立的情況下的公差統(tǒng)計分析。

Ghie 等[11]提出的雅可比旋量模型的統(tǒng)計算法，在旋量變動模擬特征的過程中忽略了旋量之間的約束關系。本文把統(tǒng)計學中減少樣本空間的思想引入到雅可比旋量模型的統(tǒng)計算法中，考慮了旋量之間的約束關系，使計算結(jié)果更加符合實際情況。本文將通過一個實例介紹該方法。

圖4 頂尖零件圖

用旋量表示圖4所示零件上的特征(坐標系所在的圓柱)時， ①先把數(shù)據(jù)帶入數(shù)學模型中(上文2.2小結(jié)已給出)，得到式(9)沒有考慮旋量約束的參數(shù)變動區(qū)間和式(10)參數(shù)約束方程。②利用Matlab軟件在旋量和尺寸公差區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生符合正態(tài)分布的n組隨機數(shù)，并分別把這n組隨機數(shù)分別帶入到式(10)中。若滿足式(10)，則保留這一組數(shù)值，若不滿足，則剔除。③重復步驟②，若滿足的組數(shù)為k，直到k/n≥99.73%(合格率應符合3δ原則[1])。④對滿足條件的旋量數(shù)值進行統(tǒng)計，最后得到篩選數(shù)據(jù)后的旋量取值區(qū)間。不考慮旋量約束時的模擬特征合格率為98.22%，經(jīng)過上述方法考慮旋量約束后的模擬特征合格率為99.93%，其最終得到旋量區(qū)間為式(11)所示。

(9)

(10)

式中，19.991≤da≤20。

(11)

3 實例驗證

本文以簡易頂尖尾座裝配體為實例，進行裝配體公差分析。如圖5所示，該裝配體由三個零件裝配而成。其中，O0-xyz表示全局坐標系。頂尖尾座裝配體對頂尖頂端沿Z方向的平動w，是產(chǎn)品的裝配功能要求，要求裝配體的FR0=±0.05mm(全局坐標系下Z方向的變動)。頂尖零件在公差原則選擇上有三種設計方案，零件如圖5a、圖5b有最大、最小實體要求和圖5c獨立原則要求。下面利用上文所述方法，對零件應用不同公差原則時的裝配體分別進行統(tǒng)計公差分析。該裝配體公差值如表1所示。

圖5 頂尖尾座裝配圖

公差t1t2t3t4t5t6t7公差值0.01h5(0-0.009)0.01±0.01H6(+0.0130)±0.020.01

(12)

圖6 機床尾座裝配尺寸鏈傳遞圖

然后利用本文2.3小節(jié)所提方法用旋量區(qū)間表示FE1,FE3,FE4,FE5這些關鍵特征，由于平面間的裝配默認是完全貼合故小位移旋量為零，而孔軸配合時，只要不是過盈配合，就需要考慮配合的小位移旋量[12]。最后在旋量區(qū)間內(nèi)按正態(tài)分布隨機取值并帶入到雅可比旋量模型中，取值次數(shù)N=2000。求得FR各個旋量參數(shù)的均值和方差后計算出置信水平為99.73%時參數(shù)的取值范圍。

利用Matlab軟件計算最終得到頂尖零件在不同公差原則時的裝配體公差分析結(jié)果，如下表2所示。并建立了裝配功能方向變動的分布圖，如圖7所示，圖中橫坐標表示FR(w)的變動值，縱坐表示公差分析結(jié)果落在某一區(qū)間的個數(shù)。

表2 不同公差原則時公差分析結(jié)果

圖7 不同公差原則時FR變動分布圖

結(jié)果表明，在這三種公差原則下的公差分析結(jié)果均小于裝配功能要求FR0=±0.05mm，故需要適當擴大零件的公差值以達到節(jié)約成本的目的。當選擇最大實體要求時，公差此時能擴到最大，故成本最低。

4 結(jié)論

本文在以數(shù)學定義的公差模型和三維尺寸鏈的基礎上，建立了功能要求和功能要素之間的三維公差數(shù)學模型，然后用統(tǒng)計法對裝配體進行公差分析，具體工作如下。

(1)建立了考慮公差原則的雅克比旋量模型，用旋量區(qū)間表示變動特征時，引入了統(tǒng)計學中減少樣本空間的思想考慮了旋量之間的約束關系。

(2)采用蒙特卡洛法并結(jié)合雅克比旋量模型對裝配體進行公差統(tǒng)計分析，并給出了具體步驟。

(3)最后利用頂尖尾座裝配體為實例，驗證方法的有效性，并對比了零件應用不同公差原則時的裝配公差分析結(jié)果，為公差原則的選用提供了理論依據(jù)。

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(編輯 李秀敏)

Assembly Tolerance Statistical Analysis Based on Tolerancing Principle

WANG Hui1, HUANG Mei-fa1, 2, ZHENG Su-juan1, YANG Sheng-yu1，LI Chao-yuan1

(1.School of Mechanical and Electrical Engineering, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004,China;2.Guangxi key Laboratory of Manufacturing System and Manufacturing Technology, Guilin 541004,China)

In order to improve the compatibility of mechanical products, reduce the manufacturing cost, tolerance principle can be applied in the component design, but in the existing statistical tolerance analysis method is less considered in tolerance principle of parts. In order to solve this problem, 3D assembly tolerance model is established considering tolerancing principle based on jacobian-torsor theory, and the statistical tolerance analysis was carried out on the assembly combined with the monte-carlo method, in the meantime, considering the constraint relationship between the screw when the screw interval is shown feature variations, make the tolerance analysis results more in line with the actual situation. Finally，a machine tailstock was taken as an example, compared the tolerance analysis results in different tolerance principle, and efficiency of the proposed method was verified.

tolerancing principle; jacobian-torsor model; tolerance analysis; monte-carlo

1001-2265(2017)05-0024-05

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.05.007

2016-08-31

國家自然科學基金資助項目(51365009)；廣西制造系統(tǒng)與先進制造技術重點實驗室主任課題(13-051-09-009Z)；桂林電子科技大學研究生教育創(chuàng)新計劃資助項目(YJCXS201501)

王輝(1990—)，男，山東聊城人，桂林電子科技大學碩士研究生，研究方向為計算機輔助公差設計，(E-mail)409057149@qq.com；黃美發(fā)(1962—)，男，廣西蒙山人，桂林電子科技大學教授，博士，博士生導師，研究方向為機電系統(tǒng)精度設計和智能測量方法。

TH162;TG506

A