摘要自Mironenko教授創(chuàng)建反射函數(shù)理論以來，人們采用該理論定義了微分系統(tǒng)間的新的等價(jià)關(guān)系，由此建立了復(fù)雜微分系統(tǒng)與簡(jiǎn)單微分系統(tǒng)、非自治微分系統(tǒng)與自治微分系統(tǒng)的等價(jià)性，應(yīng)用它將復(fù)雜系統(tǒng)的幾何性態(tài)的研究可轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單或自治系統(tǒng)的幾何性態(tài)的研究.經(jīng)過專家們的共同研究取得了若干極具理論和應(yīng)用價(jià)值的好成果.關(guān)鍵詞反射函數(shù)；等價(jià)性；幾何性態(tài)；反射積分

中圖分類號(hào)017512

文獻(xiàn)標(biāo)志碼A

0引言

眾所周知，研究客觀世界中一些物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，可歸結(jié)為研究微分系統(tǒng)

x′=X（t，x），t∈R，x=（x1，x2，…，xn）T∈Rn（1）

解的定性性態(tài).在一般情況下，微分系統(tǒng)（1）為不可積系統(tǒng)，而實(shí)際問題需要我們?nèi)パ芯科浣獾男詰B(tài)，那只能直接根據(jù)函數(shù)X（t，x）本身來研究.當(dāng)系統(tǒng)（1）為自治系統(tǒng)，特別為多項(xiàng)式系統(tǒng)時(shí)，其解的定性和穩(wěn)定性態(tài)的研究已經(jīng)取得了豐富的成果[15].對(duì)于一般時(shí)變微分系統(tǒng)，其周期解的存在性、個(gè)數(shù)及穩(wěn)定性是一個(gè)很重要的問題.Poincaré 曾說過：“這些周期解的重大意義在于，它是唯一缺口，通過它我們方可步入那些被認(rèn)為不可達(dá)到的領(lǐng)域.” 當(dāng)（1）為2ω周期系統(tǒng)時(shí)，在研究其周期解的性態(tài)的過程中，Poincaré 映射起著很大的作用[68].若φ（t；τ，x）為（1）過（t，τ）的解，則周期系統(tǒng)（1）的Poincaré 映射T可定義為T（x）=φ（τ+2ω；τ，x），τ∈R.由此看來，似乎給我們這樣一種錯(cuò)覺，好像也只有在系統(tǒng)（1）的通解表達(dá)式已知的情況下，方可找到其Poincaré 映射，其實(shí)不然.為了尋找Poincaré 映射，我們可以借助適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，它不是處處等于系統(tǒng)（1）的通解φ（t；τ，x），而僅僅是在超平面t=τ和t=τ+2ω上相等.若這樣的函數(shù)能找出，那同時(shí)系統(tǒng)（1）的Poincaré 映射就找到了.Mironenko在文獻(xiàn)[78]中建立了一個(gè)被稱為反射函數(shù)的函數(shù)，人們可以借此來建立周期系統(tǒng)的Poincaré 映射，這給研究周期系統(tǒng)解的性態(tài)開辟了一條新的道路.應(yīng)用反射函數(shù)理論研究微分系統(tǒng)解的性態(tài)，目前國(guó)內(nèi)外已有許多專家在此方面做了深入研究并取得了豐富的結(jié)果.Mironenko[78]創(chuàng)建了反射函數(shù)理論，并應(yīng)用反射函數(shù)理論研究了微分系統(tǒng)的等價(jià)性、奇偶性及系統(tǒng)解的一些幾何性態(tài)，建立了微分系統(tǒng)的各種等價(jià)關(guān)系，研究了微分系統(tǒng)積分流型及嵌入系統(tǒng)解的性態(tài)[917]；Verecovich[1819]研究了非自治二次微分系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的等價(jià)性；Alisevich[2021]研究了微分系統(tǒng)具有三角型、線性等特殊類型的反射函數(shù)的充要條件；Musafirov[2223]研究了線性微分系統(tǒng)的相關(guān)性質(zhì)，給出微分系統(tǒng)具有指數(shù)形式反射函數(shù)的充要條件；Maiorovskya[2425]研究了微分系統(tǒng)解的有界性以及具有線性反射函數(shù)的二次微分系統(tǒng)；Varenikova[26]研究了非自治二維微分系統(tǒng)與其相應(yīng)的線性近似方程組的等價(jià)性問題，并給出系統(tǒng)邊值問題的解的定性性態(tài)；Belskii[2728]研究了多項(xiàng)式方程和二次多項(xiàng)式微分系

1反射函數(shù)的定義及性質(zhì)[78]

考慮微分系統(tǒng)（1），假設(shè)Xt，x有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，其Cauchy問題的解為φt；τ，x，Ix為解φt；0，x的存在區(qū)間.記Ix={t|-t∈Ix}；D={（t，x）|x∈Rn，t∈Ix∩Ix}.

定義1稱可微函數(shù)F（t，x）=φ（-t；t，x），（t，x）∈D

或者Ft，x=φ-t，tx=φ（-t；0，φ0；t，x）為微分系統(tǒng)（1）的反射函數(shù).

反射函數(shù)具有下列性質(zhì)：

1） 對(duì)微分系統(tǒng)（1）的任一解xt，t∈I，t0∈I有 Ft，xt≡x-t；

2）對(duì)任一反射函數(shù)F有恒等式F-t；Ft，x≡F0，x≡x；

3）可微函數(shù)F：D→Rn為微分系統(tǒng)（1）的反射函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，它為偏微分方程

Ft+FxXt，x+X-t，F(xiàn)=0，

F（0，x）≡x（2）

的解.

引理1（基本引理）若Xt+2ω，x=Xt，x，則微分系統(tǒng)（1）的Poincaré 映射Tx可以定義為Tx=F-ω，x=φω；-ω，x，從而系統(tǒng)（1）的解φt；-ω，x為2ω周期解，當(dāng)且僅當(dāng)x為方程F-ω，x=x 的解.

2等價(jià)性及相關(guān)結(jié)論

定義2[78]若微分系統(tǒng)

=Yt，x（3）

與微分系統(tǒng)（1）具有相同的反射函數(shù)，則稱它們是等價(jià)的.具有相同反射函數(shù)的微分系統(tǒng)稱為同一等價(jià)類.

定理1[78] 微分系統(tǒng)（3）等價(jià)于（1），當(dāng)且僅當(dāng)，（3）可表示為

=Y（t，x）=Xt，x+F-1xRt，x-R-t，F(xiàn)，（4）

這里F為（1）的反射函數(shù)，R為任意連續(xù)可微函數(shù)，且保證（4）的右端關(guān)于x連續(xù)可微.

定理2[78]若微分系統(tǒng)（1）為2ω周期系統(tǒng)，且它與微分系統(tǒng)（3）等價(jià)，它們的解在-ω，ω上存在，則系統(tǒng)（1）的2ω周期解與系統(tǒng)（3）滿足x-ω=xω的解一一對(duì)應(yīng).

推論1[78]若微分系統(tǒng)（1）為2ω周期系統(tǒng)，它與（3）等價(jià)，且它們的解在-ω，ω上存在，則系統(tǒng)（1）的2ω周期解φt；-ω，x與（3）的2ω周期解ψt；-ω，x相對(duì)應(yīng).

定理3[78]若微分系統(tǒng)（1）與某一自治系統(tǒng)等價(jià)，則該自治系統(tǒng)為=X0，x.

定義3[78]稱微分系統(tǒng)

=-（Fx+E）-1Ft（5）

為以F（t，x）為反射函數(shù)的最簡(jiǎn)單系統(tǒng).

由定理2知，任何以F（t，x）為反射函數(shù)的微分系統(tǒng)均可表示為

=-（Fx+E）-1Ft+F-1xR（t，x）-R（-t，F(xiàn)（t，x））.（6）

注1要研究以F（t，x）為反射函數(shù)的微分系統(tǒng)等價(jià)類中的微分系統(tǒng)解的性態(tài)，只需研究該類中最簡(jiǎn)單系統(tǒng)解的定性性態(tài).由此我們可以用自治系統(tǒng)解的性態(tài)去研究非自治系統(tǒng)解的定性性態(tài)，用簡(jiǎn)單微分系統(tǒng)去研究復(fù)雜系統(tǒng)解的性態(tài).

問題1如何判定任意兩個(gè)系統(tǒng)等價(jià)？

一般情況下，通過求解偏微分方程（2）以獲得反射函數(shù)F（t，x）的表達(dá)式是非常困難的.但是Mironenko[78]、Alisevich[2021]、Musafirov[2223]、Zhou[2933]等還是做了很大努力，研究了微分系統(tǒng)具有線性、三角型、對(duì)稱型等各種特殊類型的反射函數(shù)的充分條件，并應(yīng)用他們研究了若干非自治微分系統(tǒng)解的定性性態(tài).

問題2若（1）的反射函數(shù)未知，又如何來判定（1）（3）等價(jià)？

Mironenko傾注了若干精力，寫了4篇文章[1316]回答了這個(gè)問題.筆者等[3941]對(duì)他們的結(jié)果進(jìn)行了推廣.

定義4[39]稱滿足方程

Δt+ΔxX=XxΔ（7）

的非零解向量函數(shù)Δt，x為微分系統(tǒng)（1）的反射積分.

定理4[14]若向量函數(shù)Δt，x為（1）的反射積分，則微分系統(tǒng)（1）等價(jià)于微分系統(tǒng)

=Xt，x+αtΔt，x，（8）

其中αt為任意連續(xù)可微的純量奇函數(shù).

推論2[14]設(shè)Δkt，x為（1）的反射積分，則微分系統(tǒng)（1）等價(jià)于微分系統(tǒng)

=Xt，x+∑∞k=1αk（t）Δk（t，x），

其中αktk=1，2，…為任意連續(xù)可微的純量奇函數(shù)，且上述微分系統(tǒng)的右端收斂于一個(gè)連續(xù)可微函數(shù).

注2由定理4看出，要寫出與（1）等價(jià)的微分系統(tǒng)，只需要求出其反射積分即可.

Belskii[2728]研究了與Riccati方程、Abel方程及一般多項(xiàng)式方程的反射積分和等價(jià)性.Zhou等[3341]研究了幾類微分系統(tǒng)間的等價(jià)性關(guān)系，并應(yīng)用所得結(jié)果研究了這類系統(tǒng)周期解的定性性態(tài).

3反射積分的結(jié)構(gòu)

在求反射積分之前，我們先得搞清楚它具有什么樣的結(jié)構(gòu)形式.

定理5[27]若Δ（t，x）=∑mi=0ri（t）xi為多項(xiàng)式微分方程x′=∑ni=0ai（t）xi的反射積分，則m=n.

定理6[39]設(shè)ui（t，x）（i=1，2，…，n）為（1）的n個(gè)獨(dú)立首次積分，則向量函數(shù)Δt，x為（1） 的反射積分的充要條件是，存在連續(xù)可微的向量函數(shù)α（U）（U=（u1，u2，…，un））使得Δ=U-1xα（U）.

特別地，對(duì)于一維（n=1）的微分方程，我們有下面結(jié)論：

定理7[39]若函數(shù)Δt，x為微分方程（n=1）的反射積分，則μ=1Δ為（1） 的積分因子，且u=∫xx01Δ（t，x）dx-∫tt0X（t，x0）Δ（t，x0）dt為（1）的首次積分.

定理8[39]若函數(shù)Δ1t，x為（1）（n=1）的反射積分，則函數(shù)Δ2（t，x）也是（1） 的反射積分的充要條件是存在連續(xù)可微函數(shù)φ使得Δ2（t，x）=Δ1（t，x）φ（u），其中u=u（t，x）為（1）的首次積分.

注3定理7和定理8告訴了我們一個(gè)微分方程的任意兩個(gè)反射積分之間的關(guān)系，及反射積分與首次積分及積分因子之間的關(guān)系，這意味著求反射積分，不但對(duì)研究微分系統(tǒng)的等價(jià)性至關(guān)重要，同時(shí)對(duì)研究微分系統(tǒng)的可積性也具積極意義.

例1微分方程

dxdt=x2cos t2+2xsin t+x2sin2t（9）

具有兩個(gè)反射積分：

Δ1=（1+xsin t）21+（1+xsin t）2，

Δ2=（1+xsin t）（2+xsin t）1+（1+xsin t）2x，

則由定理7和定理8知，μ1=1Δ1，μ2=1Δ2為（9）的兩個(gè)積分因子，u=Δ2Δ1=2+xsin t1+xsin tx為微分方程（9）的首次積分.

筆者在文獻(xiàn) [39]中將Mironenko的定理6進(jìn)行了深入推廣，得到了（1）的更廣泛的等價(jià)微分系統(tǒng)類，及等價(jià)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式，并且得到了與自治系統(tǒng)等價(jià)的自治系統(tǒng)類，在后面將會(huì)看到，這個(gè)結(jié)論在研究Poincaré中心焦點(diǎn)問題中有著很有意義的應(yīng)用.

定理9微分系統(tǒng)（3）等價(jià)于（1），當(dāng)且僅當(dāng)，（3）可表示為

=Xt，x+∑nk=1αk（t，U）Δk（t，x），

其中向量函數(shù)Δkt，x（k=1，2，…，n）為（1）的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的反射積分，U（t，x）=C為（1）的通積分，且detUx≠0，α（t，U）為連續(xù)可微的純量函數(shù)且α（t，U）+α（-t，U）=0.

注4這個(gè)定理完全地告訴我們與（1）等價(jià)的微分系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式，及這些反射積分Δkt，x之間的關(guān)系.

推論3一階微分方程（3）等價(jià)于（1）（n=1），當(dāng)且僅當(dāng)，（3）可表示為

=Xt，x+α（t，u）Δ（t，x），

其中函數(shù)Δt，x為微分方程（1）（n=1）的反射積分，且u=∫xx01Δ（t，x）dx-∫tt0X（t，x0）Δ（t，x0）dt為（1）的首次積分，α（t，u）為連續(xù)可微的純量函數(shù)且α（t，u）+α（-t，u）=0.

注5這個(gè)推論不但回答了與一個(gè)一階微分方程等價(jià)的方程的結(jié)構(gòu)形式，同時(shí)還揭示了反射積分與首次積分之間的關(guān)系.

例2由推論3可得，與微分方程（9）等價(jià)的微分方程均可表示為

dxdt=x2cos t2+2xsin t+x2sin2t+α（t，u）（1+xsin t）21+（1+xsin t）2.（10）

取α=λu2sin t，方程（10）變?yōu)?/p>

dxdt=x2cos t2+2xsin t+x2sin2t+λsin t（2+xsin t）21+（1+xsin t）2x2，

該方程的通積分為

（1+xsin t）-（c+λcos t）（2+xsin t）x=0，

其中c為任意常數(shù).

4等價(jià)性的應(yīng)用

在微分系統(tǒng)定性理論的研究過程中，中心焦點(diǎn)的判定是一個(gè)極為重要的研究課題.焦點(diǎn)量的階數(shù)決定了在微小擾動(dòng)下奇點(diǎn)鄰域內(nèi)極限環(huán)的個(gè)數(shù)，中心焦點(diǎn)的判別也與研究Hilbert第16問題密切相關(guān).經(jīng)過國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)工作者的不懈努力，二次多項(xiàng)式系統(tǒng)以及一些特殊三次系統(tǒng)的中心焦點(diǎn)問題被解決[4243].雖然，對(duì)于平面n次多項(xiàng)式系統(tǒng)，根據(jù)Hilbert有限基定理，其中心焦點(diǎn)的判定必定可以在有限步內(nèi)解決，但是隨著階數(shù)的增加，焦點(diǎn)量的計(jì)算也就更為復(fù)雜，一般的三次微分系統(tǒng)焦點(diǎn)量的計(jì)算至今尚未完全解決.目前國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)家大多通過將三次系統(tǒng)特殊化來研究某些特殊三次系統(tǒng)中心焦點(diǎn)，并取得一些重要的結(jié)論[23，5].

我們知道微分系統(tǒng)

x′=-y+∑nk=2Pk（x，y）=P（x，y），y′=x+∑nk=2Qk（x，y）=Q（x，y），（11）

其中

Pk（x，y）=∑i+j=kaijxiyj，

Qk（x，y）=∑i+j=kbijxiyj，aij，bij為常數(shù).

在極坐標(biāo)x=rcos θ，y=rsin θ下該系統(tǒng)（11）化為

drdt=∑nk=2Ak（θ）rk，dθdt=1+∑n-1k=1Bk（θ）rk，（12）

其中

Ak（θ）=cos θPk（cos θ，sin θ）+sin θQk（cos θ，sin θ），

Bk（θ）=cos θQk（cos θ，sin θ）-sin θPk（cos θ，sin θ）.

由（12）得

drdθ=∑nk=2Ak（θ）rk1+∑n-1k=1Bk（θ）rk=R（θ，r）.（13）

由文獻(xiàn)[4243]知，微分系統(tǒng)（11）以（0，0）為中心，當(dāng)且僅當(dāng)，方程（13）以r=0為中心，即，方程（13）在r=0附近全是周期解.我們知道研究（13）是否以r=0為中心，已有若干方法可實(shí)施，例如經(jīng)典的有Poincaré后繼函數(shù)法、Lyapunov形式冪級(jí)數(shù)法、不變代數(shù)曲線法等[13，5.4243].筆者在文獻(xiàn) [35]中首次介紹了如何應(yīng)用反射函數(shù)法研究中心焦點(diǎn)問題，并闡述了這個(gè)新方法與傳統(tǒng)方法的優(yōu)勢(shì)；在文獻(xiàn)[41]中應(yīng)用這個(gè)方法給出了具有一般形式的三次微分系統(tǒng)的中心條件.根據(jù)定理2，與微分方程（13）等價(jià)的2π周期方程的周期解的個(gè)數(shù)及穩(wěn)定性態(tài)相同.

設(shè)方程（13）以r=0為中心.

1）若我們能求出（13）的反射函數(shù)F（θ，r），則與（13）等價(jià)的微分方程均可表示為

drdθ=R（θ，r）+F-1r（θ，r）G（θ，r）-G（-θ，F(xiàn)（θ，r）），（14）

其中G（θ，r）為任意連續(xù)可微函數(shù).若方程（14）為2π周期方程，且r=0為其解，則方程（14）也以r=0為中心.

2）若我們能求出（13）的一個(gè)反射積分Δ（θ，r），則與（13）等價(jià)的微分方程均可表示為

drdθ=R（θ，r）+α（，u）Δ（θ，r），（15）

其中α（θ，u）+α（-θ，u）=0，且保證（15）的解存在唯一.

u=u（θ，r）=∫（θ，r）（θ0，r0）1Δ（θ，r）dr-R（θ，r）Δ（θ，r）dθ

為（13）的首次積分.若方程（15）為2π周期方程，且r=0為其解，則它也以r=0為中心.

由x=rcos θ，y=rsin θ，從（14）、（15）分別推得相對(duì)應(yīng)的微分系統(tǒng)：

x′=P（x，y）+cos θ（F-1rG（θ，r）-G（-θ，F(xiàn)（θ，r））），

y′=Q（x，y）+sin θ（F-1rG（θ，r）-G（-θ，F(xiàn)（θ，r））），（14）

x′=P（x，y）+cos θα（θ，u（θ，r））Δ（θ，r），y′=Q（x，y）+sin θα（θ，u（θ，r））Δ（θ，r）（15）

以（0，0）為中心，這里θ=arctanyx，r=x2+y2.

由此看出，從一個(gè)系統(tǒng)（11）的中心性質(zhì)，通過等價(jià)性，我們知道了無(wú)窮個(gè)等價(jià)系統(tǒng)（14）和（15）也以（0，0）為中心，而且這些系統(tǒng)也不一定是多項(xiàng)式微分系統(tǒng)，這顯示應(yīng)用反射函數(shù)的等價(jià)性來研究中心問題具有有別于其他傳統(tǒng)方法更有利的優(yōu)越性.

例3微分方程

drdθ=r2cos θ2+2rsin θ+r2sin2θ（16）

具有反射函數(shù)F（θ，r）=r1+rsin θ，F(xiàn)（-π，r）≡r，則由引理1，該方程以r=0為中心，

則相對(duì)應(yīng)的三次微分系統(tǒng)

x′=-y+12x2-y2-12y3，

y′=x+32xy+12xy2.（16）

以（0，0）為中心.

又由定理1和推論3和例1知，與（16）等價(jià)的微分方程可表示為

drdθ=r2cos θ2+2rsin θ+r2sin2θ+（1+rsin θ）2G（θ，r）-

G（-θ，r1+rsin θ），（17）

或

drdθ=r2cos θ2+2rsin θ+r2sin2θ+α（θ，u）（1+rsin θ）21+（1+rsin θ）2 ，（18）

這里u=2+rsin θ1+rsin θr.

取G=r2k-1（1+rsin θ）（1+（1+rsin θ）2）k，k≥1，

式（17）變?yōu)?/p>

drdθ=（r2cos θ（1+（1+rsin θ）2）k-1+

r2k-1（1+rsin θ-（1+rsin θ）2））/

（1+（1+rsin θ）2）k，（17）

則與此相對(duì)應(yīng)的平面系統(tǒng)

x′=-y+12x2-y2-12y31+y+12y2k-1-12kxy（x2+y2）k-1（1+y），

y′=x+32xy+12xy21+y+12y2k-1-12ky2（x2+y2）k-1（1+y）（17）”

以（0，0）為中心.取k=1得三次系統(tǒng)

x′=-y+12x2-12xy-y2-12xy2-12y3，y′=x+32xy-12y2+12xy2-12y3（19）

也以（0，0）為中心.

取α=λu2sin θ，相對(duì)應(yīng)方程（18）的四次平面微分系統(tǒng)

x′=-y+12x2-y2-12y3+12xy（2+y）2，y′=x+32xy+12xy2+12y2（2+y）2（18）

也以（0，0）為中心.

由例3可看出，一旦知道一個(gè)系統(tǒng)以（0，0）為中心，同時(shí)我們就知道了與此等價(jià)的無(wú)窮個(gè)微分系統(tǒng)以（0，0）為中心.這充分說明研究?jī)蓚€(gè)微分系統(tǒng)的等價(jià)性的重要性.由前述可知，要研究與（1）等價(jià)的微分系統(tǒng)類，關(guān)鍵是求出反射函數(shù)或反射積分，而且研究反射積分與研究微分系統(tǒng)的可積性密切相關(guān)，目前這方面的工作還不太多，希望有興趣的同行來研究這些問題.

參考文獻(xiàn)

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