李創(chuàng)第 丁昊 葛新廣

摘 要：為建立粘彈性耗能結(jié)構(gòu)整體系統(tǒng)的精確模態(tài)分解反應(yīng)譜設(shè)計(jì)法，對(duì)單自由度一般線性粘彈性阻尼器耗能減震系統(tǒng)隨機(jī)地震響應(yīng)進(jìn)行系統(tǒng)研究.在進(jìn)行時(shí)域非擴(kuò)階精確建?；A(chǔ)上，應(yīng)用傳遞函數(shù)法，得到結(jié)構(gòu)整體系統(tǒng)時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)精確解；然后，運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)振子分解法，將基于Kanai-Tajimi的響應(yīng)方差精確分解為一階和二階標(biāo)準(zhǔn)振子響應(yīng)方差的線性組合，并用算例驗(yàn)證了本文方法的正確性，從而建立了耗能結(jié)構(gòu)整體系統(tǒng)基于Kanni- Tajimi激勵(lì)響應(yīng)特性分析的一整套方法.

關(guān)鍵詞：傳遞函數(shù)法；標(biāo)準(zhǔn)振子分解法；隨機(jī)響應(yīng)；精確解；粘彈性耗能結(jié)構(gòu)整體系統(tǒng)

中圖分類號(hào)：TU311.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引言

粘彈性阻尼器已廣泛用于各種土木結(jié)構(gòu)的抗震抗風(fēng)耗能減振[1-4].橡膠基礎(chǔ)隔震支座本質(zhì)上也是一種粘彈性阻尼器[5-6].粘彈性減震控制的實(shí)用設(shè)計(jì)理論及其在規(guī)范中的應(yīng)用已被列為我國(guó)土木結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制領(lǐng)域近期需要深入研究的關(guān)鍵科學(xué)問題之一[7].

我國(guó)目前分析水平地震作用的方法主要有底部剪力法和振型分解反應(yīng)譜法.對(duì)于高度不超過40 m，以剪切變形為主且質(zhì)量和剛度沿高度分布比較均勻的結(jié)構(gòu)，以及近似于單質(zhì)點(diǎn)體系的結(jié)構(gòu)，可采用底部剪力法計(jì)算.除上述結(jié)構(gòu)以外的建筑結(jié)構(gòu)，宜采用“振型分解反應(yīng)譜法”.后者是利用單自由度體系的加速度設(shè)計(jì)反應(yīng)譜和振型分解的原理，求解各階振型對(duì)應(yīng)的等效地震作用，然后按照一定的組合原則對(duì)各階振型的地震作用效應(yīng)進(jìn)行組合，從而得到多自由度體系的地震作用效應(yīng).目前隨著新型隔震技術(shù)的快速發(fā)展及各種粘彈性阻尼器的大量使用，使此類頻率依賴結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出大阻尼比和強(qiáng)非經(jīng)典阻尼分布的特點(diǎn)，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性隨之改變，已失去嚴(yán)格的振型概念，振型分解法隨之失效，傳統(tǒng)方法已不能對(duì)結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行解耦.

粘彈性阻尼耗能結(jié)構(gòu)的現(xiàn)有解析法為擴(kuò)階精確法和非擴(kuò)階近似法.擴(kuò)階精確法的不足在于擴(kuò)階方程組的變量個(gè)數(shù)劇增，計(jì)算效率低和物理意義不明確等；該法主要用于易擴(kuò)階近似模型，如廣義Maxwell[8-11]模型等，其他模型應(yīng)用時(shí)使用方法將受到限制；此外該法尚未涉及對(duì)耗能結(jié)構(gòu)安全有重大影響的阻尼器受力的響應(yīng).非擴(kuò)階近似法有模態(tài)應(yīng)變能法[12]、隨機(jī)平均法[13]和強(qiáng)行振型分解法[14]，由于它們均采用較多近似假設(shè)，其精度及適用范圍有待提高.

國(guó)內(nèi)學(xué)者基于模態(tài)應(yīng)變能法提出了強(qiáng)行振型解耦法，建立了基于小阻尼比條件下的振型分解反應(yīng)譜設(shè)計(jì)法，并寫入現(xiàn)行抗震規(guī)范.由于該法在解耦時(shí)強(qiáng)行忽略非對(duì)角元素的耦聯(lián)作用，因此在求解地震作用時(shí)會(huì)存在一定的誤差；此外該法僅在小阻尼比的情況下具有較好的精度，而對(duì)前述頻率結(jié)構(gòu)進(jìn)行解耦時(shí)會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，不利于進(jìn)行有效的抗震設(shè)計(jì).此外，阻尼器的受力性能對(duì)耗能結(jié)構(gòu)安全有重大影響，國(guó)內(nèi)外土木工程領(lǐng)域已明確提出要提高此類保護(hù)系統(tǒng)的（如阻尼器等）安全等級(jí)及建立相關(guān)實(shí)用設(shè)計(jì)方法[7].而我國(guó)現(xiàn)行抗震規(guī)范尚未建立耗能結(jié)構(gòu)保護(hù)系統(tǒng)基于規(guī)范反應(yīng)譜[15-18]的抗震設(shè)計(jì)方法，因此建立單自由度粘彈性耗能整體系統(tǒng)的精確模態(tài)分解反應(yīng)譜設(shè)計(jì)法（包括阻尼器等）就顯得尤為必要.

傳遞函數(shù)法的原理是通過對(duì)變頻的微分積分混合型運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行拉普拉斯變換，將原時(shí)變結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換為定常結(jié)構(gòu)，在拉氏域內(nèi)對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行解耦，降低了積分微分混合型方程的求解難度，且求解過程簡(jiǎn)單，使得計(jì)算效率相比傳統(tǒng)方法顯著提高，但該方法尚未見應(yīng)用于粘彈性阻尼器頻率相關(guān)（即依賴于頻率）系統(tǒng).本文用傳遞函數(shù)法獲得此類結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)精確解，并應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)振子分解法得到了其在Kanai-Tajimi譜[19-21]下的響應(yīng)方差，由于基于標(biāo)準(zhǔn)振子分解的方差響應(yīng)可直接應(yīng)用于抗震規(guī)范的設(shè)計(jì)取值分析，從而構(gòu)建了此類耗能減震系統(tǒng)基于Kanni- Tajimi激勵(lì)響應(yīng)特性分析的一整套方法.

1 結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程

1.1 阻尼器本構(gòu)方程

對(duì)于一般線性粘彈性阻尼器PQ（t），其本構(gòu)方程為：

PQ（t）=Q（t-？子）（？子）d？子=kQxQ（t）+P（t）

P（t）=hQ（t-？子）Q（？子）d？子（1）

式中：PQ（t）——阻尼器的受力；xQ（t）——阻尼器的相對(duì)位移；Q（t）——阻尼器的松弛模量函數(shù)；kQ——阻尼器的平衡剛度，且滿足kQ=Q（+∞）；hQ（t）——阻尼器的松弛函數(shù)，且滿足hQ（t）=Q（t）-Q（+∞）.

對(duì)于一般線性粘彈性阻尼器PQ（t），它的Q（s）可表示為[4]：

Q（s）=（2）

式中：Q（s）為hQ（t）的拉氏變換；qn（s）和qn-1（s）分別為s的n次和（n-1）次多項(xiàng)式函數(shù).

1.2 結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程

單自由度結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖1所示，結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程為：

m+c+kx+PQ（t）=f（t）（3）

式中：m，c，k分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度；x——結(jié)構(gòu)位移； f（t）——作用于結(jié)構(gòu)的任意外部激勵(lì)，特別地，對(duì)于地震動(dòng)激勵(lì)，f（t）=-mg（t），其中g(shù)（t）為地震地面加速度.

結(jié)構(gòu)整體方程式（1）—式（3）可化簡(jiǎn)為：

+2？孜0 ？棕0 +x+hQ（t-？子）（？子）d？子=（4）

式中：

=； 2？孜0 ？棕0=（5）

2 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)特征值和傳遞函數(shù)

2.1 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)特征值

設(shè)結(jié)構(gòu)的初始條件為：

x（0）=x0；（0）=0（6）

對(duì)式（1）和式（4）取拉氏變換，可得：

Dx（s）（s）=（s）；（s）=Hx（s）（s）（7）

DP（s）（s）=（s）-DP（s）Q（s）x0；（s）=HP（s）（s）-Q（s）x0（8）

式中：（s），（s），Q（s）分別為P（t），x（t），hQ（t）的拉氏變換；Dx（s）和Hx（s）分別為結(jié)構(gòu)位移x（t）的動(dòng)剛和傳遞函數(shù)；DP（s）和HP（s）分別為阻尼力的（s）動(dòng)剛和傳遞函數(shù)；（s）是等效力函數(shù)；它們的表達(dá)式為：

Dx（s）=（s）=s2+2？孜0？棕0s+sQ（s）+（9）

DP（s）=（s）= （10）

（s）=（s）+Q（s）+2？孜0？棕0+s x0+0（11）

式中：（s）為f（t）的拉氏變換.

結(jié)構(gòu)特征值sj及其對(duì)應(yīng)模態(tài)uj滿足的方程為：

Dx（sj）=0；Dx（sj）uj=0（12）

阻尼器特征值？姿j及其對(duì)應(yīng)模態(tài)vj滿足的方程為：

DP（？姿j）=0；DP（sj）vj=0 （13）

將式（2）代入式（12）和式（13），則結(jié)構(gòu)和阻尼器特征值方程分別化為：

m（+2？孜0 ？棕0 sj+）qn（sj）+sqn-1（sj）=0 （14）

m（+2？孜0 ？棕0 ？姿j+）qn（？姿j）+sqn-1（？姿j）=0 （15）

式（14）和式（15）表明：結(jié)構(gòu)和阻尼器的N個(gè)（N=2×1+n）特征值完全相同，即：sj=？姿j（j=1，…，N）；由于結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定的，所以在N個(gè)特征值中，將有2×1個(gè)負(fù)實(shí)部共軛特征值和n個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)特征值.

2.2 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)傳遞函數(shù)

2.2.1 結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)

由于結(jié)構(gòu)特征值sj（j=1，…，N）是結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)Hx（s）的極值點(diǎn)，因此結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)Hx（s）可表示為：

Hx（s）===（16）

式中：？濁j為待求常數(shù).

由式（16），可將結(jié)構(gòu)模態(tài)ui表示為：

ui==？濁iui， i=1，…，N（17）

？濁j==， j=1，…，N（18）

由式（9）可得：

=2sj+2？孜0？棕0+Q（sj）+sj（19）

式（16）、式（18）和式（19）表明：結(jié)構(gòu)位移傳遞函數(shù)可用結(jié)構(gòu)特征值sj解析表示，與結(jié)構(gòu)模態(tài)uj無關(guān)，故不失一般性，可取結(jié)構(gòu)模態(tài)uj=1（j=1，…，N）.

同理，可求得sHx（s）的解析式為：

sHx（s）== （20）

2.2.2 阻尼器傳遞函數(shù)

同理，阻尼器傳遞函數(shù)HP（s）可表示為：

HP（s）=== （21）

由式（10），并考慮關(guān)系式（12）和式（18），可得：

？滋j===sj？濁jhQ（sj）， j=1，…，N （22）

總之，從式（16）、式（20）和式（21）可以看出：結(jié)構(gòu)系統(tǒng)傳遞函數(shù)均可用結(jié)構(gòu)特征值sj解析表示，且結(jié)構(gòu)模態(tài)uj=1（j=1，…，N）.

3 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)精確解

3.1 結(jié)構(gòu)響應(yīng)精確解

由式（7）、式（11）和式（16），有：

x（s）=Hx（s）（s）=？濁j++x0（23）

對(duì)式（23）取拉氏逆變換，得：

x（t）=？濁jef（？子）+hQ（？子）x0d？子+e0+（2？孜0 ？棕0+sj）x0+x0 ？啄（t） （24）

式中：？啄（t）為Dirac delta函數(shù).

對(duì)于t>0，結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)可進(jìn)一步表示為：

x（t）=？濁jef（？子）d？子+aj（t）（25）

式中：aj（t）表示由初始條件產(chǎn)生的響應(yīng)，

aj（t）=ehQ（？子）x0d？子+e0+（2？孜0 ？棕+sj）x0（26）

顯然，對(duì)于零初始條件，aj（t）=0（j=1，…，N）.

同理，對(duì)于t>0，由式（8）、式（11）和式（20），結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)為：

（t）=sj？濁jef（？子）d？子+aj（t）（27）

3.2 阻尼器受力瞬態(tài)響應(yīng)精確解

同理，對(duì)于t>0，由式（8）、式（11）和式（21），阻尼力響應(yīng)為：

P（t）=sj？濁jQ（sj）ef（？子）d？子+aj（t）-x0hQ（t）（28）

對(duì)于t>0，由式（1）、式（24）和式（28），阻尼器響應(yīng)為：

PQ（t）=kQ x+P（t）=？濁jkQ+sjQ（sj）ef（？子）d？子+aj（t）-x0 hQ（t）（29）

3.3 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)地震響應(yīng)

特別地，對(duì)于地震動(dòng)激勵(lì)，f（t）=-mg，在零初始條件下，由式（25）、式（27）～式（29），耗能減震系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)位移、速度以及阻尼器受力等系統(tǒng)響應(yīng)量S（t）均可以統(tǒng)一表示為：

S（t）=？籽jbj（t）（30）

式中：？籽j為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)響應(yīng)S（t）對(duì)應(yīng)已得的響應(yīng)系數(shù)，例如，對(duì)于結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)S（t），？籽j=sj？濁j；yj（t）為標(biāo)準(zhǔn)一階系統(tǒng)對(duì)地震激勵(lì)的響應(yīng)，bj（t）=-eg（？子）d？子， j=1，…，N.

3.4 小結(jié)

1） 由式（14）和式（15）看出，經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)得出了結(jié)構(gòu)特征方程與阻尼器特征方程具有相同的特征值sj；

2） 由式（16）、式（20）和式（21）看出，結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)與阻尼器傳遞函數(shù)均可以用特征值sj及對(duì)應(yīng)的響應(yīng)系數(shù)？籽j進(jìn)行解析表示；

3） 由式（25）、式（27）和式（29）看出，應(yīng)用拉氏逆變換，可以分別求出結(jié)構(gòu)位移、速度和阻尼器受力的時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)精確解；

4） 由式（30）看出，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)響應(yīng)S（t）完全類似于多自由度振型疊加法解耦形式，并且各特征值對(duì)應(yīng)的各模態(tài)均可以取為1，具有明確的物理意義；

5） 除求解特征值sj及對(duì)應(yīng)系數(shù)？籽j外，其他計(jì)算過程均為嚴(yán)格的解析表達(dá)式，并且系統(tǒng)響應(yīng)的計(jì)算分析可以完全歸結(jié)于對(duì)特征值和對(duì)應(yīng)模態(tài)的分析；

6） 在拉氏域內(nèi)對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行解耦，降低了積分微分混合型方程的求解難度，且求解過程簡(jiǎn)單，使得計(jì)算效率相比傳統(tǒng)方法顯著提高.

4 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)平穩(wěn)響應(yīng)解析解

4.1 基于Kanni-Tajimi激勵(lì)譜地震激勵(lì)模型

設(shè)零均值為平穩(wěn)隨機(jī)過程激勵(lì)g（t）的相關(guān)函數(shù)C（？子）和譜密度函數(shù)S（？棕）為：

C（？子）=Eg（t）g（t+？子）=？滓2e（cos？茁？子+？滋sin？茁？子）（31）

S（？棕）=（32）

式中：E[·]表示取數(shù)學(xué)期望；？子和？棕分別為g（t）的時(shí)差和頻率變量；？滓2，？琢，？茁，？滋分別為g（t）的方差、相關(guān)因子、卓越頻率因子和正弦函數(shù)參與因子.

當(dāng)？滓2=；？琢=？孜g？棕g；？茁=？棕g；？滋=·時(shí)，有：

S（？棕）=s0（33）

式（33）即為結(jié)構(gòu)地震工程分析中常用的Kanni- Tajimi激勵(lì)譜模型[25]，其中：s0是一反應(yīng)地震動(dòng)強(qiáng)弱程度的譜常數(shù)；？棕g和？孜g分別是地震地面特征頻率和阻尼比.

4.2 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)響應(yīng)方差解析式

4.2.1 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)響應(yīng)方差的標(biāo)準(zhǔn)振子分解

由于結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定的，所以在N個(gè)特征值中，將有2×1個(gè)負(fù)實(shí)部共軛特征值和n個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)特征值.令實(shí)特征值（j=1，…，n）和復(fù)特征值（j=1，2）及它們對(duì)應(yīng)的響應(yīng)系數(shù)如下：

=-？琢j，（？琢j>0）；=ej （j=1，…，n）（34）

==-？孜1？棕1+i？棕1； ==a1+ib1（35）

式中，“—”表示取復(fù)共軛；？棕1和？孜1分別表示結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)的頻率和阻尼器比，它們可以從復(fù)特征值中得到：

？棕1=s；？孜1=-（36）

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)響應(yīng)方差可表示為：

ES（t1）S（t2）=？籽j ？籽kEg（t1）g（t2）e d？子1d？子2=

？籽j ？籽kS（？棕）Eg（t1）g（t2）e d？子1d？子2d？棕=

？籽j ？籽kS（？棕）d？棕（37）

式中：S（？棕）為地震激勵(lì)g（t）的功率譜.

對(duì)于平穩(wěn)響應(yīng)，可令t1→∞，t2→∞，t1-t2→？子，則有：

ES2（t）=？籽j ？籽kS（？棕）d？棕（38）

根據(jù)式（34）—式（35），則有：

=++=+2（z1+i？棕a1）H2（？棕）（39）

式中：z1=a1？孜1？棕1-b1？棕1，H2（？棕）為標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性函數(shù)，且有H2（？棕）=？棕-？棕2+2i？孜1？棕1？棕.

同理可得：

=-+=+2（z1-i？棕a1）2（？棕）（40）

式中：2（？棕）=？棕-？棕2-2i？孜l ？棕l ？棕.

由式（39）和式（40），可得：

？籽j ？籽k=

+2（z1-i？棕a1）2（？棕）+（z1-i？棕a1）H2（？棕）+

4（z+？棕2a）H2（？棕）=T1+T2+T3（41）

將T1和T2按標(biāo)準(zhǔn)二階和標(biāo)準(zhǔn)一階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性函數(shù)的模平方H2j（？棕），H1j（？棕）進(jìn)行恒等分解得：

T1=eH1j（？棕）+（？琢jH1j（？棕）+？琢kH1k（？棕））（42）

T2=4ekQ1rH1（？棕）+V1rH2（？棕）+W1r？棕2H2（？棕）（43）

式中：Q1r，V1r，W1r為代表參數(shù)多項(xiàng)式的常量，H1j（？棕）為標(biāo)準(zhǔn)一階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性函數(shù)性函數(shù)，且有H1j（？棕）=.

由式（41）—式（43），可得結(jié)構(gòu)系統(tǒng)響應(yīng)方差基于標(biāo)準(zhǔn)振子分解解析表達(dá)式為：

ES2（t）=eI1j +2（？琢jI1j+？琢kI1k）+4ekQ1kI1k+

4ek（V1kI21+W1kI22）+4（z+aI22）=D1+D2+D3+D4（44）

式中，I1j （？琢j）為一階系列標(biāo)準(zhǔn)振子的位移響應(yīng)方差；I21（？棕j，？孜j）和I22（？棕j，？孜j）分別為二階系列標(biāo)準(zhǔn)振子的位移與速度響應(yīng)方差；它們的表達(dá)式為：

I1j （？琢j）=H1j（？棕）S（？棕）d？棕（45）

I21（？棕1，？孜1）=H2（？棕）S（？棕）d？棕（46）

I22（？棕1，？孜1）=？棕2H2（？棕）S（？棕）d？棕（47）

式（44）的理論意義為：對(duì)任意的隨機(jī)地震動(dòng)激勵(lì)g（t），耗能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)響應(yīng)方差均嚴(yán)格滿足以結(jié)構(gòu)負(fù)實(shí)特征值與共軛復(fù)特征值參數(shù)為基礎(chǔ)的一、二階標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)方程的一、二階標(biāo)準(zhǔn)振子的響應(yīng)方差的線性組合；D1+D2表示所有負(fù)實(shí)數(shù)特征根s（j=1，…，n）產(chǎn)生的總響應(yīng)，用一階振子的響應(yīng)表示；D3+D4表示一對(duì)共軛復(fù)特征根s和s產(chǎn)生的總響應(yīng)，用二階振子的響應(yīng)表示.

4.2.2 基于抗震規(guī)范的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)響應(yīng)設(shè)計(jì)值

對(duì)耗能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)整體響應(yīng)S（t）的設(shè)計(jì)值取值，即是求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)的最大值Smax（t），設(shè)計(jì)值通常表示為響應(yīng)S（t）的標(biāo)準(zhǔn)差？滓s和峰值系數(shù)Cf的乘積，即：

S（t）=CES2（t）=CD1+CD2+CD3+CD4（48）

式（48）說明若得到了各階標(biāo)準(zhǔn)振子在地震動(dòng)激勵(lì)g（t）作用下的耗能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)整體響應(yīng)方差，將其線性組合乘以峰值系數(shù)的平方便可得響應(yīng)設(shè)計(jì)值的平方.令R1j（？琢j）=CI1j（？琢j），R21（？棕1，？孜1）=CI21（？棕1，？孜1），R22（？棕1，？孜1）=

CI22（？棕1，？孜1），則在式（44）中，分別用R1j（？琢j），R21（？棕1，？孜1），R22（？棕1，？孜1）取代I1j（？琢j），I21（？棕1，？孜1），I22（？棕1，？孜1），即可求得S（t），對(duì)其開方，即得結(jié)構(gòu)響應(yīng)設(shè)計(jì)值Smax（t）.

4.2.3 結(jié)構(gòu)等效靜態(tài)地震作用計(jì)算

一旦求得耗能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)基于抗震規(guī)范的結(jié)構(gòu)響應(yīng)設(shè)計(jì)值Smax，例如一旦求得結(jié)構(gòu)最大位移響應(yīng)Smax=

xmax，由此即可求得結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的等效靜態(tài)地震作用力為：

FE=kxmax （49）

式中：xmax已由式（48）求得.

此外，由式（48）一旦求得結(jié)構(gòu)最大速度響應(yīng)Smax=max和阻尼器受力最大響應(yīng)Smax=PQ（t）max，則單自由度粘彈性耗能整體系統(tǒng)基于抗震規(guī)范的響應(yīng)設(shè)計(jì)值便建立完畢.

5 算例

5.1 算例1：頻率響應(yīng)函數(shù)分析

5.1.1 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)解析式

對(duì)于圖1所示的單自由度一般線性粘彈性阻尼器PQ（t）耗能減震系統(tǒng)，在地震激勵(lì)f（t）=-mg作用下.

1）直接計(jì)算法

對(duì)于零初始條件，對(duì)式（1）和式（4）取傅氏變換，可直接獲得結(jié)構(gòu)位移和阻尼器的頻率響應(yīng)函數(shù)解析式分別為：

Hx（i？棕）=-（50）

HP（i？棕）=kQ+（i？棕）HQ（i？棕）Hx（i？棕） （51）

式中，HQ（i？棕）是hQ（t）的傅氏變換.

2）特征值法

由式（25）和式（29），結(jié)構(gòu)位移和阻尼器的頻率響應(yīng)函數(shù)解析式分別為：

Hx（i？棕）=-（52）

HP（i？棕）=-（53）

5.1.2 驗(yàn)證算例

如圖2所示單自由度設(shè)置五參數(shù)Maxwell阻尼器減震系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)的基本參數(shù)為：質(zhì)量m=1 000 kg，剛度k=4×105 N/m，阻尼比？孜0按4種工況分別?。孔?=0.05，0.10，0.15和0.20.Maxwell阻尼器的基本參數(shù)為：平衡剛度kQ=1×105 N/m，阻尼器兩分支單元的剛度，k1=7×104 N/m，k2=8×104 N/m；阻尼器兩分支單元松弛時(shí)間的倒數(shù)？琢1=20 s-1，？琢2=10 s-1.

分別按直接計(jì)算法和特征值法計(jì)算結(jié)構(gòu)位移和阻尼器受力頻率響應(yīng)函數(shù)，4種工況下，結(jié)構(gòu)位移頻率響應(yīng)函數(shù)模Hx（i？棕）如圖3所示，阻尼器受力頻率響應(yīng)函數(shù)模HP（i？棕）如圖4所示，從圖中可以看出，兩種計(jì)算方法的結(jié)果完全相同，從而驗(yàn)證了本文計(jì)算方法的正確性.

5.2 算例2：隨機(jī)地震響應(yīng)分析

如圖5所示單自由度阻尼器減震系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)參數(shù)為：質(zhì)量m=1 000 kg；剛度k=4×105 N/m；阻尼比？孜0均勻變化，從0.05取到0.20，間隔為0.01.五參數(shù)Maxwell阻尼器參數(shù)為：平衡剛度kQ=1×105 N/m；阻尼器兩分支單元松弛時(shí)間的倒數(shù)？琢1=20 s-1，？琢2=10 s-1；阻尼器兩分支單元?jiǎng)偠劝?種工況分別取為：k1=7×104，8×104，9×104，10×104；k2=8×104，9×104，10×104，11×104.地震動(dòng)激勵(lì)參數(shù)[22]取為：場(chǎng)地條件——軟土；地震烈度I=8；地震動(dòng)激勵(lì)g（t）為Kanai-Tajimi平穩(wěn)過濾白噪聲，軟土場(chǎng)地特征頻率和阻尼比：？棕g=16.5 s-1，？孜g=0.8；地震動(dòng)譜強(qiáng)度：S0=0.013 87 m2/s2.

當(dāng)？孜0從0.05取到0.20（間隔為0.01）時(shí)，4種工況下分別采用標(biāo)準(zhǔn)振子分解法與相關(guān)函數(shù)計(jì)算法所得的結(jié)構(gòu)位移、速度和阻尼器受力的方差如圖6—圖8所示.

由以上計(jì)算結(jié)果可以看出：

1）隨著阻尼比的增大，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)整體響應(yīng)方差均逐漸減小；

2） 工況數(shù)越大，結(jié)構(gòu)位移與速度響應(yīng)方差越小，阻尼器受力響應(yīng)方差越大，也即：工況數(shù)越大減震效果越好，說明增加同等性能的阻尼器可以提高減震效果；

3） 采用標(biāo)準(zhǔn)振子分解法與相關(guān)函數(shù)直接積分法所得的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)整體響應(yīng)方差完全一致，說明了標(biāo)準(zhǔn)振子分解法的正確性.（“*”表示采用相關(guān)函數(shù)積分法所得結(jié)果）

6 結(jié)論

1）耗能減震系統(tǒng)的時(shí)域瞬態(tài)響精確解物理意義明確，系統(tǒng)的整體瞬態(tài)響應(yīng)歸結(jié)于對(duì)耗能結(jié)構(gòu)特征值和對(duì)應(yīng)模態(tài)的分析；耗能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)整體響應(yīng)可精確表示為結(jié)構(gòu)各非正交模態(tài)的線性組合，能為頻率依賴結(jié)構(gòu)的精確振型分解反應(yīng)譜設(shè)計(jì)法提供分析路徑；

2）運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)振子分解法，可將減震系統(tǒng)基于Kanni- Tajimi激勵(lì)譜的結(jié)構(gòu)位移、速度及阻尼器受力響應(yīng)的方差解析式精確分解為一階和二階標(biāo)準(zhǔn)振子響應(yīng)方差的線性組合，并據(jù)此方差響應(yīng)建立了基于抗震規(guī)范的響應(yīng)設(shè)計(jì)值，從而構(gòu)件了此類耗能減震系統(tǒng)基于Kanni- Tajimi激勵(lì)響應(yīng)特性分析的一整套方法；

3）對(duì)于本算例，說明適當(dāng)增加同等性能的阻尼器可以提高減震效果.

參考文獻(xiàn)

[1] SOONG T T， DARGUSH G F. Passive energy dissipation systems in structural engineering[M]. England： John Wiley and Ltd，1997.

[2] CHRISTOPOULOS C， FILIATRAULT A. Principle of passive supplemental damping and seismic isolation[M]. Pavia： IUSS Press，

2006.

[3] 周云.粘彈性阻尼減震結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[M].武漢：武漢理工大學(xué)出版社，2006.

[4] 李創(chuàng)第，鄒萬杰，葛新廣，等. 多自由度一般積分型粘彈性阻尼減震結(jié)構(gòu)的隨機(jī)響應(yīng)與等效阻尼[J].工程力學(xué)，2013，30（4）：136-145.

[5] KOH C G， KELLY J M. Application of fractional derivatives to seismic analysis of base-isolated models[J].Earthquake Engineering

and Structural Dynamics，1990，19（2）：229-241.

[6] HWANG J S， KU S W. Analytical modeling of high damping rubber bearings[J].Journal of Structural Engineering，1997，123（8）：1029-1036.

[7] 國(guó)家自然科學(xué)基金委員會(huì)工程與材料科學(xué)部.學(xué)科發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告-建筑、環(huán)境與土木工程Ⅱ（土木工程卷）：工程結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2006.

[8] 葛新廣，李創(chuàng)第，鄒萬杰.Maxwell阻尼減震結(jié)構(gòu)的最大非平穩(wěn)響應(yīng)[J].廣西工學(xué)院學(xué)報(bào)， 2012，23（4）：1-7.

[9] 李創(chuàng)第，高碩，葛新廣，等.五參數(shù)Maxwell阻尼器耗能結(jié)構(gòu)在有界噪聲激勵(lì)下隨機(jī)響應(yīng)解析解[J].廣西科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，27（3）：1-7.

[10] CHANG T S， SINGH M P. Mechanical model parameter for viscoelastoc dampers[J]. Journal of Engineering Mechanics， 2009， 135（6）：581-584.

[11] FU Y， KASAI K. Comparative study of frames using viscoelastic and viscous dampers[J]. Journal of Structural Engineering， 1998，

124（5）：513-522.

[12] SORRENTINO S，F(xiàn)ASANA A. Finite element analysis of vibrating linear systems with fractional derivative viscoelastic models[J]. Journal of Sound and Vibration，2007，299（4）：839-853.

[13] ZAMBRANO A， EACUTE J， INAUDI A， et al. Modal coupling and accuracy of modal strain energy method[J]. Journal of

Engineering Mechanics， 1996， 122（7）：603–612.

[14] 歐進(jìn)萍，吳斌. 耗能減振結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)方法[J].地震工程與工程振動(dòng)，1998，18（2）：98-107.

[15] 歐進(jìn)萍， 劉會(huì)儀. 基于隨機(jī)地震動(dòng)模型的結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震反應(yīng)譜及其應(yīng)用[J]. 地震工程與工程振動(dòng)， 1994， 14（1）：14-23.

[16] 張敦元，白羽，高靜.對(duì)我國(guó)現(xiàn)行抗震規(guī)范反應(yīng)譜若干概念的探討[J].建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報(bào)，2016，37（4）： 110-118.

[17] 李創(chuàng)第，黃天立，李暾，等. 帶TMD結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震響應(yīng)分析的復(fù)模態(tài)法[J]. 振動(dòng)與沖擊，2003，22（1）：36-39.

[18] 黃東梅，李創(chuàng)第，朱樂東.基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)基于設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的地震作用取值[J].西安建筑科技大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2007，39（4）：504-511.

[19] 胡聿賢. 地震工程學(xué)[M].2版.北京：地震出版社，2006.

[20] 方同. 工程隨機(jī)振動(dòng)[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社， 1995.

[21] 李桂青，李秋勝. 工程結(jié)構(gòu)時(shí)變可靠度理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2001.

[22] 李桂青，曹宏，李秋勝，等. 結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠性理論及其應(yīng)用[M].北京：地震出版社，1993.

Random response analysis of SDOF systems with viscoelastic damping

by using transfer functions method

LI Chuang-di， DING Hao， GE Xin-guang

（School of Civil Engineering and Architecture， Guangxi University of Science and

Technology， Liuzhou 545006， China ）

Abstract： In order to establish the accurate modal decomposition response spectrum method for the whole system of viscoelastic energy dissipation structure， the stochastic seismic response of a single degree of freedom system with general linear viscoelastic damper is studied systematically. The exact dynamic integral-differential response equations in original structural space for SDOF dissipation systems with general linear viscoelastic damper are established. Then， by using transfer functions method， the exact solutions in original structural for space displacement， velocity and damper force transient responses due to arbitrary exterior dynamic loading and initial conditions are obtained. Finally， by using standard oscillator decomposition method， the random stationary response variance of displacement， velocity and damper force velocity can be exactly decomposed of linear combinations for the first-order standard oscillator and the second-order standard oscillator. The correctness of the method is verified by the numerical example and a set of methods for the analysis of structural system based on Kanni-Tajimi excitation spectrum is established.

Key words： transfer function method； standard oscillator decomposition method； random response； exact solution；whole system of viscoelastic energy dissipation structure

（學(xué)科編輯：黎 婭）