李洲　陳鑫　李祥光　文春海

摘要：針對(duì)軌跡為S 型運(yùn)動(dòng)特性的無(wú)碳小車(chē)，對(duì)其進(jìn)行了設(shè)計(jì)優(yōu)化及參數(shù)調(diào)整。通過(guò)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的S形軌跡進(jìn)行分析，運(yùn)用解析數(shù)學(xué)求出凸輪行程與導(dǎo)向輪偏角的關(guān)系，并用擬合函數(shù)分析設(shè)計(jì)凸輪行程及凸輪基圓半徑，設(shè)計(jì)了一臺(tái)創(chuàng)新型“S”無(wú)碳小車(chē)。最后利用MATLAB進(jìn)行凸輪輪廓曲線(xiàn)設(shè)計(jì)，保證運(yùn)行小車(chē)凸輪結(jié)構(gòu)的合理性。

關(guān)鍵詞：無(wú)碳小車(chē)；S型軌跡；凸輪設(shè)計(jì)；數(shù)學(xué)函數(shù)分析

第五屆全國(guó)大學(xué)生工程訓(xùn)練綜合能力競(jìng)賽中的S型無(wú)碳小車(chē)，要求將小車(chē)上砝碼下落的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為驅(qū)使小車(chē)前行的動(dòng)能，并且通過(guò)轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)使小車(chē)實(shí)現(xiàn)避開(kāi)障礙物，呈S形軌跡行駛。在歷屆全國(guó)大學(xué)生工程訓(xùn)練大賽中，眾多S型無(wú)碳小車(chē)的參賽團(tuán)隊(duì)采用曲柄搖桿機(jī)構(gòu)、空間四桿機(jī)構(gòu)作為小車(chē)的轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)。陳果等使用了了空間曲柄搖桿機(jī)構(gòu)，通過(guò)曲柄連桿的傳遞使得水平面上的搖桿連接的方向輪隨之左右擺動(dòng)從而實(shí)現(xiàn)小車(chē)轉(zhuǎn)向要求[1]。王政等通過(guò)對(duì)RSSR空間四桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，使轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性得到提高，使其作為無(wú)碳小車(chē)的轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)[2]。這些轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)都會(huì)存在急回的特性，這種特性會(huì)導(dǎo)致最終小車(chē)行駛的軌跡發(fā)生偏離。雖精確地微調(diào)機(jī)構(gòu)能較好的避免急回特性帶來(lái)的誤差，但這將使得其中的微調(diào)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)較為復(fù)雜。在歷屆眾多參賽隊(duì)伍中，采用曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的占多數(shù)，因此創(chuàng)新型設(shè)計(jì)凸輪機(jī)構(gòu)作為小車(chē)的轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)。在凸輪的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中，設(shè)計(jì)適當(dāng)、合理的的凸輪輪廓能實(shí)現(xiàn)從動(dòng)件任意的的與預(yù)期相符的運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和運(yùn)動(dòng)的方式。于是凸輪式物碳小車(chē)成為比賽中的一大亮點(diǎn)。

一、采用函數(shù)模型設(shè)計(jì)凸輪的優(yōu)勢(shì)探討

函數(shù)模型是處理生活中實(shí)際問(wèn)題的一般的方法，同時(shí)也是處理科學(xué)中理論問(wèn)題的一種十分經(jīng)典的方法。它能根據(jù)生活中某種特定的生活現(xiàn)象特有的內(nèi)在規(guī)律，并對(duì)此種現(xiàn)象做出簡(jiǎn)化和有效的假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)函數(shù)，概括或近似地表述出來(lái)的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

在凸輪設(shè)計(jì)中，核心部分就是凸輪輪廓線(xiàn)的設(shè)計(jì)，凸輪的輪廓曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)通常采用解析法和圖解法。借用函數(shù)模型用解析法對(duì)凸輪進(jìn)行設(shè)計(jì)，可以設(shè)計(jì)出精度更高的凸輪。為使S型無(wú)碳小車(chē)能繞樁走更遠(yuǎn)的路程，要求小車(chē)S型軌跡左右對(duì)稱(chēng)，則從動(dòng)件需運(yùn)動(dòng)平整，精度高。利用函數(shù)模型設(shè)計(jì)的凸輪基圓、行程、從動(dòng)件、輪廓曲線(xiàn)能較合理的滿(mǎn)足上述要求。

二、關(guān)于利用函數(shù)模型對(duì)S型無(wú)碳小車(chē)的凸輪設(shè)計(jì)

（一）凸輪行程的確定

1.從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律確定

S型無(wú)碳小車(chē)是將砝碼下落的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)換為小車(chē)的動(dòng)力勢(shì)能，同時(shí)滿(mǎn)足小車(chē)能沿S性軌跡行走并繞樁。為提高小車(chē)行走軌跡的準(zhǔn)確性，則要求凸輪機(jī)構(gòu)中從動(dòng)件適于低速運(yùn)動(dòng)、凸輪輪廓曲線(xiàn)便于加工和測(cè)量[3]。如下表所示，通過(guò)比較從動(dòng)件的各種運(yùn)動(dòng)特性，發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律中，從動(dòng)件只有在行程的開(kāi)始和終止時(shí)的瞬間，加速度會(huì)產(chǎn)生突變，產(chǎn)生柔性的沖擊，因此采用了諧振運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

2.凸輪行程計(jì)算

為使小車(chē)路程走得更遠(yuǎn)，同時(shí)讓小車(chē)擁有一定的容錯(cuò)率，預(yù)留了小車(chē)400mm的安全距離，故模擬小車(chē)轉(zhuǎn)向輪的標(biāo)準(zhǔn)軌跡如圖1：

其中400mm為小車(chē)軌跡的振幅即小車(chē)的安全距離，2000mm為小車(chē)走一個(gè)S軌跡的軸向距離即兩個(gè)樁的距離。代入正弦函數(shù)式得：

f（x）=400sin2πx2000（1）

對(duì)此函數(shù)進(jìn)行一階求導(dǎo)，得：

df（x）dx=π1000×400cosπx1000（2）

df（x）dx=2π5cosπx1000（3）

x為小車(chē)整體前進(jìn)的位移，令x=0，則df（x）dx=2π5，即小車(chē)在行駛S軌跡中導(dǎo)向輪最大偏角出現(xiàn)在樁線(xiàn)與標(biāo)準(zhǔn)軌跡相交處，如圖2。設(shè)導(dǎo)向輪最大偏角為α，則tanα=2π5=1.2566，最大偏角α=arctan2π5。

對(duì)于如何實(shí)現(xiàn)從動(dòng)件對(duì)導(dǎo)向前輪的偏轉(zhuǎn)，我們小組決定采用齒輪齒條機(jī)構(gòu)來(lái)解決。凸輪的行程H即從動(dòng)件往復(fù)運(yùn)動(dòng)距離M，齒輪齒條嚙合處距導(dǎo)向輪旋轉(zhuǎn)中心為N，即為齒輪齒條機(jī)構(gòu)中齒輪的分度圓半徑r=12m*z。

當(dāng)導(dǎo)向輪達(dá)到最大偏角時(shí)，此時(shí)凸輪使從動(dòng)件達(dá)到最近或最遠(yuǎn)，則tanα=M2N，M=2N*tanα，凸輪行程H=M ，H=2N*tanα 。

（二）滾子半徑的選取及凸輪基圓的確定

1.滾子半徑選擇

本文在設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)中，為使凸輪與從動(dòng)件結(jié)構(gòu)緊湊，嚙合緊密，因而采用滾子將凸輪與從動(dòng)件連接，因此將凸輪設(shè)計(jì)為盤(pán)形溝槽凸輪。

滾子半徑rk的大小對(duì)凸輪機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及其受力性能都會(huì)產(chǎn)生影響。增大rk可以有效的解決凸輪與轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)中的受力性能問(wèn)題，同時(shí)可以減少凸輪與滾子接觸面之間的接觸應(yīng)力。但若rk過(guò)大，會(huì)對(duì)凸輪實(shí)際輪廓產(chǎn)生影響，甚至可能導(dǎo)致從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律失真。所以，在確定從動(dòng)件機(jī)構(gòu)中的滾子半徑時(shí)，應(yīng)先保證從動(dòng)件直桿的運(yùn)動(dòng)規(guī)律不會(huì)發(fā)生失真現(xiàn)象，在此基礎(chǔ)上考慮減少滾子的磨損程度，可使?jié)L子心軸能滿(mǎn)足強(qiáng)度要求，故rk應(yīng)小于輪廓線(xiàn)的最小曲率半徑ρmin ，即rk≤ρmin，一般取rk≤0.8ρmin。

2.凸輪基圓確定

設(shè)從動(dòng)件滾子與凸輪接觸處點(diǎn)絕對(duì)速度矢量為v1 ，凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為1 ，凸輪基圓半徑為r0 ，凸輪輪廓上任一點(diǎn)失徑為r ，凸輪機(jī)構(gòu)的壓力角為，從動(dòng)件的位移為s[5]2。則由該點(diǎn)速度與失徑關(guān)系，可知v1=rω1tanα，即r=v1ω1tanα，且s2=r-r0。

由上式，得

r0=r-s2=v1ω1tanα-s2（4）

即

r0∝1tanα∝1α（5）

可知凸輪基圓半徑r0與壓力角成反比。凸輪機(jī)構(gòu)的尺寸取決于凸輪的基圓半徑r0 ，如果取小基圓半徑r0，則可得到尺寸緊湊的凸輪機(jī)構(gòu)。若從改善凸輪機(jī)構(gòu)的受力性能考慮，凸輪基圓半徑r0取大。因此，綜合考慮到小車(chē)整體結(jié)構(gòu)的布局和限制以及以及凸輪機(jī)構(gòu)和其他機(jī)構(gòu)的安裝問(wèn)題，以及后期實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)所得，選取凸輪基圓半徑為31mm 。

（三）利用matlab進(jìn)行凸輪輪廓曲線(xiàn)的設(shè)計(jì)

根據(jù)反轉(zhuǎn)法原理，凸輪機(jī)構(gòu)中推桿的滾子再反轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中，滾子與凸輪接觸點(diǎn)的軌跡即為盤(pán)形凸輪的理論輪廓，凸輪沿其角速度方向轉(zhuǎn)過(guò)角，就相當(dāng)于推桿在反轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中沿方向轉(zhuǎn)過(guò)角。

盤(pán)形凸輪的理論輪廓線(xiàn)方程如下：

X=（s0+s）sinφ+ecosφ（6）

Y=s0+scosφ-ecosφ（7）

其中s0=r20-e2，φ凸輪轉(zhuǎn)角，s是從動(dòng)件位移，e是從動(dòng)件的偏置[6]。

凸輪的實(shí)際輪廓線(xiàn)的方程為：

x1= x+rkdy/dφdxdφ2+dydφ2（8）

y1= y+rkdx/dφdxdφ2+dydφ2（9）

其中rk為滾子半徑。當(dāng)偏心直動(dòng)推桿凸輪機(jī)構(gòu)在推程運(yùn)動(dòng)中時(shí)，凸輪與推桿的相對(duì)運(yùn)動(dòng)瞬心在某一點(diǎn)時(shí)，其壓力角為α，則：

tanα = ds/dφes + r20 e2（10）

當(dāng)偏距為0時(shí)，此時(shí)

tanα=ds/dφs+r0（11）

有公式（6），（7），（8），（9），（11），則理論輪廓線(xiàn)的曲率半徑：

ρ= dxdφ2+dydφ2 3/2dxdφd2ydφ2-dydφd2xdφ2（12）

二階求導(dǎo)凸輪理論輪廓線(xiàn)：

d2xdφ2=（2dxdφ-e）cosφ+（d2sdφ2-s0-s）sinφ（13）

d2ydφ2=（d2sdφ2-s0-s）cosφ-（2dxdφ-e）sinφ（14）

綜合上述各式，得到世紀(jì)輪廓曲率半徑0

ρ0=ρ+r

運(yùn)用matlab軟件，通過(guò)編寫(xiě)M文件，如圖3所示：

使用其中主要的函數(shù)和命令，繪制出凸輪輪廓線(xiàn)。以凸輪轉(zhuǎn)角φ作為循環(huán)控制變量，實(shí)現(xiàn)對(duì)凸輪某個(gè)運(yùn)動(dòng)角或整周360度區(qū)域的輪廓，按照相同公式進(jìn)行逐點(diǎn)的參數(shù)計(jì)算[7]。最終得到如圖4所示：

三、結(jié)語(yǔ)

對(duì)于此次S型無(wú)碳小車(chē)的凸輪機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)，相比于其他類(lèi)的轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)，凸輪機(jī)構(gòu)能有效地避免急回特性的產(chǎn)生，從而降低小車(chē)整體行駛軌跡的偏移。通過(guò)對(duì)一些數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用，計(jì)算出凸輪行程與導(dǎo)向輪偏角的關(guān)系，并設(shè)計(jì)出凸輪行程，同時(shí)也運(yùn)用擬合函數(shù)分析設(shè)計(jì)凸輪基圓半徑。最后通過(guò)matlab模擬繪畫(huà)出凸輪輪廓曲線(xiàn)，驗(yàn)證凸輪輪廓曲線(xiàn)的合理性。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：李洲（1995），男，湖北孝感人，學(xué)生，2014級(jí)汽車(chē)服務(wù)工程 ，主要從事汽車(chē)制造、機(jī)械制造研究。

通訊作者：陳鑫（1988），男，武漢商學(xué)院機(jī)電工程與汽車(chē)服務(wù)學(xué)院教師。