張?chǎng)巍≡S峰

摘要摘要：針對(duì)用傳統(tǒng)優(yōu)化算法求解計(jì)算衛(wèi)星軌道過(guò)程中的開(kāi)普勒超越方程時(shí)，面臨的對(duì)梯度計(jì)算敏感和初始點(diǎn)要求過(guò)高等問(wèn)題，提出了一種基于多生境遺傳算法的衛(wèi)星軌道計(jì)算方法，并據(jù)此計(jì)算了多種衛(wèi)星的星下點(diǎn)軌跡。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，上述算法較傳統(tǒng)優(yōu)化算法有較強(qiáng)的普適性和全局收斂性。

關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：衛(wèi)星軌道；星下點(diǎn)軌跡；開(kāi)普勒方程；多生境遺傳算法

DOIDOI：10.11907/rjdk.171002

中圖分類號(hào)：TP312

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)文章編號(hào)：16727800（2017）005002704

0引言

隨著空間科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人造地球衛(wèi)星已廣泛應(yīng)用于氣象、通信、測(cè)繪、導(dǎo)航、偵察等諸多領(lǐng)域。目前，在軌的各類衛(wèi)星已多達(dá)數(shù)千顆，其中包括許多裝有合成孔徑雷達(dá)和高性能光學(xué)照相機(jī)的偵察衛(wèi)星。有些偵察衛(wèi)星不僅具有很高的分辨率，而且能實(shí)現(xiàn)全天候?qū)Φ貍刹?。這就要求在進(jìn)行重要武器裝備、部隊(duì)轉(zhuǎn)移或大型國(guó)防工程施工時(shí)，掌握境外偵察衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律，適時(shí)躲避衛(wèi)星偵察，保衛(wèi)國(guó)家安全。

避空偵察的關(guān)鍵在于衛(wèi)星運(yùn)行軌道計(jì)算，進(jìn)而獲取衛(wèi)星星下點(diǎn)軌跡。計(jì)算衛(wèi)星運(yùn)行軌道時(shí)需要求解開(kāi)普勒方程，由于此方程為超越方程，所以需要采用數(shù)值方法求解。以往，多采用基于梯度的經(jīng)典算法如牛頓法求解開(kāi)普勒方程，而此類算法明顯存在的兩大缺陷：一是算法對(duì)梯度計(jì)算的精確度要求較高，當(dāng)梯度計(jì)算誤差較大時(shí)，解的誤差偏大，即算法的數(shù)值穩(wěn)定性較差；二是算法對(duì)迭代初始值的要求較高，當(dāng)初始值與理論解相差較遠(yuǎn)時(shí)，算法可能不收斂。

近年來(lái)，隨著以遺傳算法為代表的智能優(yōu)化算法研究的深入，智能優(yōu)化算法已越來(lái)越多地應(yīng)用于航天和航空器的設(shè)計(jì)與軌道計(jì)算，并取得了許多成果。吳美平[1]將遺傳算法應(yīng)用于載人飛船返回軌道設(shè)計(jì)；王吉力[2]應(yīng)用遺傳算法對(duì)登月飛行器軟著陸軌道進(jìn)行了優(yōu)化計(jì)算；羅亞中[3]將一種混合遺傳算法應(yīng)用于運(yùn)載火箭上升軌道的設(shè)計(jì)；陳剛等[45]系統(tǒng)研究了遺傳算法在航天器優(yōu)化中的應(yīng)用；劉秀平[6]將差分進(jìn)化算法應(yīng)用于衛(wèi)星軌道計(jì)算方法。

本文針對(duì)衛(wèi)星軌道計(jì)算過(guò)程中的開(kāi)普勒方程，提出了一種基于多生境遺傳算法的求解方法，并根據(jù)數(shù)值實(shí)驗(yàn)對(duì)模型和算法進(jìn)行了分析。

1衛(wèi)星軌道模型

1.1衛(wèi)星軌道參數(shù)

衛(wèi)星軌道參數(shù)是用來(lái)描述衛(wèi)星在太空中運(yùn)行的形狀、位置和取向的各種參數(shù)，也叫衛(wèi)星的軌道根數(shù)。根據(jù)開(kāi)普勒定律，人造地球衛(wèi)星在空間的瞬時(shí)位置可以由6個(gè)開(kāi)普勒軌道根數(shù)確定，衛(wèi)星在空間的運(yùn)行軌道及其描述如圖1所示。

其中，i，a，e，Ω，ω，θ為軌道六大參數(shù)，其含義如下[7]：（1） 軌道傾角i：衛(wèi)星軌道平面與地球赤道平面之間的夾角，決定平面的空間位置。（2） 半長(zhǎng)軸a：確定軌道大小的參數(shù)，即軌道的半徑。（3） 偏心率e：確定軌道形狀的參數(shù)。當(dāng)e=0時(shí)，曲線為圓；當(dāng)01時(shí)為雙曲線。（4） 升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω：確定平面在空間位置的參數(shù)，沿著赤道方向，春分點(diǎn)至升交點(diǎn)（空間飛行器由南半球至北半球穿過(guò)赤道平面的點(diǎn)）之間的角度。（5） 真近點(diǎn)角θ：沿衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方向，從近地點(diǎn)度量至衛(wèi)星某時(shí)刻所在位置之間的角度，會(huì)隨著時(shí)間的變化而變化。（6） 地點(diǎn)幅角ω：沿著衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的方向，從軌道升交點(diǎn)度量至近心點(diǎn)的角度，也就是節(jié)線與近地點(diǎn)矢徑延長(zhǎng)線之間的夾角。

1.2衛(wèi)星軌道計(jì)算模型

根據(jù)開(kāi)普勒定律，可以建立下列衛(wèi)星軌道計(jì)算模型：

（1）根據(jù)真近點(diǎn)角M和偏心率e，通過(guò)解開(kāi)普勒方程E=M+esinE，計(jì)算偏近點(diǎn)角E。

（2）利用公式r=a（cosE-e）P+a1-e2sinEQ計(jì)算衛(wèi)星的位置坐標(biāo)，其中：

P=cosΩcosw-sinΩsinwcosisinΩcosw+cosΩsinwcosisinwsini，Q=-cosΩsinw-sinΩcoswcosi-sinΩsinw+cosΩcoswcosicoswsini。（3）通過(guò)地面觀測(cè)站觀測(cè)到的數(shù)據(jù)計(jì)算衛(wèi)星相對(duì)于地球的觀測(cè)向量K：

K=rcos（β）cosπ2-φ，rcos（β）sinπ2-φ，rsin（β）

其中，β表示觀測(cè)站觀測(cè)到衛(wèi)星的仰角，φ表示觀測(cè)站觀測(cè)到衛(wèi)星的方位角。（4）根據(jù)觀測(cè)站的經(jīng)緯度計(jì)算觀測(cè)站在大地坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：H=Rcos（α）cos（γ），cos（α）sin（γ），sin（α）。（5）根據(jù)下列方法將衛(wèi)星相對(duì)于地球的觀測(cè)向量K和觀測(cè)站在大地坐標(biāo)系中的坐標(biāo)H轉(zhuǎn)換到空間坐標(biāo)系：x=l1X+l2Y+l3Z，y=m1X+m2Y+m3Z，z=n1X+n2Y+n3Z. 其中，li，mi，ni為新坐標(biāo)軸的方向余弦。（6）根據(jù)轉(zhuǎn)化后的衛(wèi)星觀測(cè)向量K和觀測(cè)站坐標(biāo)H計(jì)算衛(wèi)星在空間坐標(biāo)中的位置：r=H+K。（7）按照下述方法計(jì)算經(jīng)緯度：latitude=π2-arccos[0，0，1]·rr，longitude=arccos[1，0]·rr。

2超越方程的多生境遺傳算法求解

在衛(wèi)星軌道的計(jì)算過(guò)程中，需要求解開(kāi)普勒方程。開(kāi)普勒方程屬超越方程，沒(méi)有解析解，只有通過(guò)數(shù)值方法求取數(shù)值解。以往，人們通常采用傳統(tǒng)的經(jīng)典的數(shù)值方法求解[6]，如牛頓迭代法。這類算法均的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算精度高，收斂速度快。但此類算法也有明顯的兩個(gè)缺陷：一是算法過(guò)分依賴于導(dǎo)數(shù)，對(duì)函數(shù)的光滑性要求較高；二是算法僅為局部收斂，對(duì)遠(yuǎn)離精確解的初始點(diǎn)不一定收斂。

自20世紀(jì)60年代以來(lái)，模擬退火、遺傳算法、粒子群算法、蟻群算法、協(xié)同進(jìn)化算法等一批智能算法層出不窮。隨著研究的深入，智能優(yōu)化的研究成果已逐漸被應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域?？紤]到遺傳算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)要求不高和全局收斂性較好的特點(diǎn)，遺傳算法和差分進(jìn)化算法已被用于求解電磁領(lǐng)域和航天航空領(lǐng)域的復(fù)超越方程。本文提出一種基于多生境遺傳算法[9]的超越方程解法，其算法步驟說(shuō)明如下：（1） 編碼，采用二進(jìn)制編碼。（2） 種群初始化，取初始種群規(guī)模為100。（3） 適應(yīng)度函數(shù)，求解的超越方程為F（x1，x2，…，xk）=0，則取適應(yīng)度函數(shù)為：

fitness=11+F（x1，x2，…，xk）

顯然，適應(yīng)度函數(shù)的最大值為1，此時(shí)表明求得了方程的精確解。

（4） 遺傳算子。考慮到基本遺傳算法的全局收斂性較好而局部搜索能力相對(duì)較差，易陷于局部極小點(diǎn)，本文采用多生境遺傳算法的各種遺傳算子。

3數(shù)值實(shí)驗(yàn)

以2016年全國(guó)研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽D題為背景對(duì)求解超越方程的多生境遺傳算法進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)和算法分析。

3.1問(wèn)題概述與分析

根據(jù)地面觀測(cè)站在若干天內(nèi)觀測(cè)到的Q型及L1、L2型衛(wèi)星的過(guò)頂情況，預(yù)測(cè)此后幾天內(nèi)衛(wèi)星被觀測(cè)到的情況及過(guò)頂情況，并給出未來(lái)兩天內(nèi)確保國(guó)防工程安全施工的時(shí)段。軌道示意圖分別如圖2、圖3所示。

顯然，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是星下點(diǎn)軌跡計(jì)算。本文計(jì)算星下點(diǎn)軌跡的思路是：首先由各類衛(wèi)星的參數(shù)得出相應(yīng)的開(kāi)普勒方程；然后用多生境遺傳算法求解開(kāi)普勒方程得出近點(diǎn)角；最后根據(jù)衛(wèi)星軌道模型求出經(jīng)緯度，從而得出衛(wèi)星的星下點(diǎn)軌跡。

3.2計(jì)算結(jié)果

經(jīng)計(jì)算可得衛(wèi)星軌道、星下點(diǎn)軌跡圖。

從圖4和圖5中最小的圈為危險(xiǎn)區(qū)域，該區(qū)域?yàn)樾l(wèi)星的過(guò)頂區(qū)域；外面的大圈表示地面觀測(cè)站可以觀測(cè)到軌道上的衛(wèi)星的區(qū)域。從圖中可以得出過(guò)頂區(qū)域和可觀測(cè)區(qū)域的經(jīng)緯度。

3.3算法性能分析

為了評(píng)測(cè)求解開(kāi)普勒方程的多生境遺傳算法的全局和局部收斂性，本文分別用牛頓法（Newton）、基本遺傳算法（SGA）和多生境遺傳算法（MNGA）求解同一組開(kāi)普勒方程。表2給出了衛(wèi)星軌道類型、參數(shù)、精確近點(diǎn)角及各算法求出的近點(diǎn)角的近似值?？紤]到遺傳算法的隨機(jī)性，近似值為10次計(jì)算的平均值。圖6和圖7分別給出了基本遺傳算法和多生境遺傳算法的進(jìn)化曲線。

由表2和圖5、圖6可以看出，基本遺傳算法和多生境遺傳算法均具有較好的全局收斂性，但多生境遺傳算法的

局部收斂性優(yōu)于基本遺傳算法，所以多生境遺傳算法的求解結(jié)果精度高于基本遺傳算法。表2顯示，傳統(tǒng)的Newton迭代法計(jì)算結(jié)果的精度并不比多生境遺傳算法的差，

但這是在Newton迭代法收斂的前提下得出的結(jié)論。事實(shí)上，在對(duì)上述目標(biāo)進(jìn)行測(cè)試時(shí)，若初始值離精確值較遠(yuǎn)時(shí)，Newton迭代法并不總是收斂。

4結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)經(jīng)典優(yōu)化算法求解計(jì)算衛(wèi)星軌道過(guò)程中的開(kāi)普勒超越方程時(shí)對(duì)初始點(diǎn)要求過(guò)高的弊端，提出了一種基于多生境遺傳算法的衛(wèi)星軌道計(jì)算方法，并據(jù)此計(jì)算了多種衛(wèi)星的星下點(diǎn)軌跡。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，上述算法較傳統(tǒng)優(yōu)化算法有較強(qiáng)的普適性和全局收斂性，且與基本遺傳算法相比，在一定程度上提高了計(jì)算精度。

需要指出的是，衛(wèi)星軌道計(jì)算問(wèn)題中因素眾多，較為復(fù)雜，結(jié)合地理信息系統(tǒng)解決此類問(wèn)題是目前大家公認(rèn)的思路。本文僅就模型求解方法作出改進(jìn)，以期為相關(guān)研究提供借鑒。

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責(zé)任編輯（責(zé)任編輯：陳福時(shí)）