郭瑩

摘要摘要：布爾可滿足性（簡(jiǎn)稱SAT）問題是研究最廣泛的NP-完全（簡(jiǎn)稱NPC）問題之一。編碼、預(yù)處理和求解算法是SAT問題求解的3個(gè)關(guān)鍵技術(shù)，近年來(lái)涌現(xiàn)了大量成果。SAT問題廣泛應(yīng)用在生產(chǎn)和生活中， SAT求解技術(shù)的健壯性和綜合性能迫切需要進(jìn)一步提升。從SAT問題分類、SAT問題應(yīng)用領(lǐng)域、研究現(xiàn)狀及面臨的挑戰(zhàn)等方面對(duì)相關(guān)研究成果進(jìn)行梳理。

關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：SAT問題；NP完全問題；編碼；預(yù)處理；求解算法

DOIDOI：10.11907/rjdk.162699

中圖分類號(hào)：TP301

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)文章編號(hào)：16727800（2017）005020403

0引言

布爾可滿足性問題（Boolean Satisfiability Problem，簡(jiǎn)稱SAT問題）是一個(gè)著名的判定問題[1]，不僅在數(shù)理邏輯和計(jì)算理論等方面有著舉足輕重的研究地位，而且在實(shí)際生產(chǎn)領(lǐng)域具有很高的應(yīng)用價(jià)值。本文從SAT問題求解的研究背景、意義和基本概念出發(fā)，在分析國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀基礎(chǔ)上，介紹了SAT問題3大求解關(guān)鍵技術(shù)：編碼、預(yù)處理和求解算法；對(duì)SAT問題求解面臨的挑戰(zhàn)進(jìn)行了論述。

1SAT問題

SAT問題的基本形式指給定一個(gè)命題變量集合X和一個(gè)X上的合取范式φ（X），判斷是否存在一個(gè)真值賦值t（X），使得φ（X）為真。如果能找到，則稱φ（X）是可滿足的（satisfiable），否則稱φ（X）是不可滿足的（unsatisfiable）。SAT問題的模型發(fā)現(xiàn)形式指當(dāng)φ（X）可滿足時(shí)，給出使公式φ（X）可滿足的一組賦值。

本文參照SAT國(guó)際競(jìng)賽組別[2]，按照問題產(chǎn)生來(lái)源將SAT問題實(shí)例劃分為應(yīng)用類（Application）、組合類（Hard combination）和隨機(jī)類（Random）。

2SAT問題應(yīng)用領(lǐng)域

SAT問題是世界上第一個(gè)被證明的NPC問題[3]。SAT問題在計(jì)算機(jī)科學(xué)、復(fù)雜性理論、密碼系統(tǒng)、人工智能等領(lǐng)域發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。然而，促使SAT問題成為持續(xù)研究熱點(diǎn)的主要原因在于其在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中的重要性。許多包含數(shù)以萬(wàn)計(jì)變量和數(shù)百萬(wàn)約束的組合問題都可運(yùn)用SAT求解技術(shù)處理。SAT求解器作為核心搜索引擎應(yīng)用廣泛，文獻(xiàn)[4]對(duì)此進(jìn)行了介紹，下面列出一部分應(yīng)用。

（1）數(shù)學(xué)領(lǐng)域：數(shù)學(xué)密碼、判定圖和子圖同構(gòu)、尋找圖生成樹、自動(dòng)機(jī)同態(tài)、歐拉回路、布爾函數(shù)的函數(shù)依賴識(shí)別、旅行商、圖著色等問題。

（2）人工智能領(lǐng)域：知識(shí)編譯、規(guī)劃問題、機(jī)器識(shí)別、彈道軌跡、任務(wù)計(jì)劃、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算、自動(dòng)推理、DNA智能可編程片段生成等問題。SAT求解技術(shù)是人工智能的核心技術(shù)。

（3）計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域：約束滿足問題、難組合類問題、N皇后問題、工作流可滿足性問題、護(hù)理調(diào)度問題、擴(kuò)展推理、真值維護(hù)、定理證明、數(shù)據(jù)庫(kù)檢索與維護(hù)、數(shù)據(jù)挖掘、AES密鑰調(diào)度、語(yǔ)義信息處理等。

（4）計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與制造領(lǐng)域：軟件模型檢查、硬件模型檢測(cè)、計(jì)算機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、VLSI集成電路設(shè)計(jì)與驗(yàn)證、錯(cuò)誤診斷、有限狀態(tài)系統(tǒng)的模型檢測(cè)、FGPA路由、邏輯合成的技術(shù)映射、圖像解釋、寄存器分配、時(shí)序問題等。

（5）生物信息領(lǐng)域：?jiǎn)文?biāo)本推理、系譜一致性檢查等。

SAT問題越來(lái)越多地應(yīng)用到生產(chǎn)和生活中，迫切需要提升當(dāng)前SAT求解技術(shù)的健壯性和綜合性能[5]。

3SAT問題研究成果

自1960年Davis和Putnam提出DP算法[6]以來(lái)，SAT求解研究逐步受到關(guān)注。然而1971年Cook證明SAT問題是NPC之后，人們對(duì)SAT的重視程度減弱。后來(lái)人們對(duì)SAT問題有了新的認(rèn)識(shí)。自1991年起，世界各國(guó)研究機(jī)構(gòu)紛紛舉辦SAT競(jìng)賽，眾多學(xué)者的研究熱情空前高漲，SAT算法及其實(shí)現(xiàn)程序的求解效率大幅提高，SAT問題逐漸在許多實(shí)際應(yīng)用中顯現(xiàn)出強(qiáng)大的作用。SAT協(xié)會(huì)是目前推動(dòng)SAT問題理論和應(yīng)用進(jìn)展的主要驅(qū)動(dòng)力量，其Satlive網(wǎng)站[7]隨時(shí)更新SAT研究動(dòng)態(tài)，發(fā)布了一系列有關(guān)會(huì)議、競(jìng)賽、技術(shù)報(bào)告、論文、圖書等信息；每年舉辦一次SAT理論和應(yīng)用國(guó)際學(xué)術(shù)會(huì)議，目前已召開16屆； SAT國(guó)際競(jìng)賽始于2002年，每隔兩年或一年舉辦，2016年成功舉行了第10屆，匯聚了大批優(yōu)秀的SAT求解器，影響力很大。

3.1SAT問題編碼方法

實(shí)際生產(chǎn)中的NP難題可以轉(zhuǎn)化為SAT問題進(jìn)行求解，因此，首先要進(jìn)行規(guī)約和編碼，目前SAT問題編碼多采用CNF形式。DIMACS [8]作為標(biāo)準(zhǔn)格式廣泛用于CNF布爾公式，也被歷屆SAT國(guó)際競(jìng)賽采用。DIMACS文件用字符“c”引導(dǎo)的注釋文字行開始。緊接注釋之后的一行“p cnf ”表示該實(shí)例是CNF形式的公式，nbvar指公式包含的變量數(shù)目，nbclauses指公式包含的子句數(shù)目，要求1至nbvar之間的每個(gè)變量至少在某個(gè)子句中出現(xiàn)一次。然后下面各行是子句序列，每個(gè)子句由一系列互不相同的介于-nbvar和nbvar的非空數(shù)字組成，并以0結(jié)束。正的數(shù)字表示相應(yīng)序號(hào)變量的正文字形式，負(fù)的數(shù)字表示對(duì)應(yīng)序號(hào)變量的負(fù)文字形式。

實(shí)際上，對(duì)于同一個(gè)實(shí)例，即使使用同一個(gè)求解器，不同編碼方法轉(zhuǎn)換成的SAT問題求解效率是不一樣的，SAT編碼方法是研究熱點(diǎn)之一。

3.2SAT問題預(yù)處理技術(shù)

最近幾年的SAT國(guó)際競(jìng)賽結(jié)果證明，預(yù)處理技術(shù)對(duì)SAT求解器性能至關(guān)重要。早期的預(yù)處理技術(shù)使用原始DPLL[9]（DavisPutnamLogemannLoveland，簡(jiǎn)稱DPLL）提出的單元傳播和純文字規(guī)則，后來(lái)發(fā)展了一些更復(fù)雜的技術(shù)如超二元解析、單元子句和探針等。近年來(lái)預(yù)處理技術(shù)出現(xiàn)了大量?jī)?yōu)秀成果，如Eén 等人首次解決了化簡(jiǎn)問題的規(guī)模性和復(fù)雜性，Marijn Heule等人提出和分析了子句消除化簡(jiǎn)規(guī)則，Tomas Balyo等人擴(kuò)展了阻塞子句消除化簡(jiǎn)規(guī)則，Manthey提出CP3以模塊化的方式將諸多預(yù)處理技術(shù)集成到SAT求解器中，等等。

3.3SAT問題求解算法

目前典型的SAT求解算法包括確定性算法和隨機(jī)搜索算法兩大類。確定性算法采取窮舉和回溯思想，從理論上保證給定命題公式的可滿足性，并在實(shí)例無(wú)解的情況下給出完備證明，但不適用于求解大規(guī)模的SAT問題。隨機(jī)搜索算法主要基于局部搜索思想，絕大多數(shù)隨機(jī)搜索算法不能判斷SAT問題的不可滿足性，但由于采用了啟發(fā)式策略來(lái)指導(dǎo)搜索，在處理可滿足的大規(guī)模隨機(jī)類問題時(shí)，往往能比確定性算法更快得到一個(gè)解。

3.3.1確定性SAT求解算法

當(dāng)前流行的確定性SAT求解算法幾乎都是由基于深度優(yōu)先搜索的DPLL[9]算法衍生而來(lái)的，沖突驅(qū)動(dòng)子句學(xué)習(xí)（Conflict Driven Clause Learning，簡(jiǎn)稱CDCL）[10]算法主要框架基于DPLL，是目前最重要的SAT求解算法，在沖突分析與子句學(xué)習(xí)、非時(shí)序回溯、重啟、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)等方面作了一系列改進(jìn)。

沖突分析和子句學(xué)習(xí)方面，GRASP算法在DPLL基礎(chǔ)上引入沖突學(xué)習(xí)策略CDCL，Holldobler[11]進(jìn)一步擴(kuò)展并提出了通用的CDCL形式化描述；非時(shí)序回溯方面，一些新的智能啟發(fā)式被先后引入到求解算法中，進(jìn)一步減小了問題規(guī)模和搜索空間；重啟策略方面，Wu研究了隨機(jī)化問題和重啟策略，Huang分析了基于子句學(xué)習(xí)效率的重啟效果， Haim等人則認(rèn)為相比一組相對(duì)固定的回溯間隔，應(yīng)更加頻繁進(jìn)行重啟；數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)方面，出現(xiàn)了雙觀察文字、改進(jìn)存儲(chǔ)訪問模式等新技術(shù)。

當(dāng)前代表性的CDCL求解器包括Chaff、MiniSAT[12]、Lingeling[13]、Glucose[14]、Sparrow[15]等。其中Moskewicz等人提出的Chaff算法集合了laziness、線性學(xué)習(xí)和一系列啟發(fā)式策略，強(qiáng)調(diào)“快速和低廉”的低負(fù)荷決策方法，是SAT求解算法的重要突破，形成流行求解器的相關(guān)思想。Lingeling、Glucose、Sparrow等近年來(lái)在SAT國(guó)際競(jìng)賽中屢獲佳績(jī)。

3.3.2隨機(jī)搜索SAT求解算法

隨機(jī)搜索SAT求解算法主要基于局部搜索思想。隨機(jī)局部搜索（Stochastic Local Search，簡(jiǎn)稱SLS）算法是最早提出的隨機(jī)搜索SAT求解算法。Selman等人提出了基于SLS思想的貪心局部搜索法GSAT，之后又針對(duì)局部最優(yōu)提出了框架性的WalkSAT。近年來(lái)，SLS算法研究取得了新進(jìn)展，如避免重復(fù)翻轉(zhuǎn)的方法[16]、工程隨機(jī)搜索算法[17]、雙重配置檢查方法等。

研究人員開辟了利用進(jìn)化算法（Evolutionary Algorithms，簡(jiǎn)稱EA）求解SAT問題的新途徑。例如早期用于求解SAT問題的EA算法包括遺傳算法、擬物擬人算法Solar、禁忌搜索算法、量子免疫克隆算法、粒子群算法、量子算法、組織進(jìn)化算法等，近年來(lái)一些新的SAT求解算法如人工蜂群算法[18]、模擬DNA算法[19]等。

4SAT求解面臨的挑戰(zhàn)

求解SAT問題的目標(biāo)是作出正確有效的判定，這可能需要指數(shù)級(jí)運(yùn)行時(shí)間。在追求越來(lái)越快且有效執(zhí)行的求解方法時(shí)，不可避免會(huì)遇到一些錯(cuò)誤[20]。一些SAT求解技術(shù)過(guò)于復(fù)雜，且需要大量的專業(yè)知識(shí)去理解概念的正確性，以及如何有效運(yùn)行。盡管現(xiàn)有的SAT求解方法已經(jīng)取得巨大成功，但仍有一些問題沒有得到高效解決，已經(jīng)解決的問題可能還存在更好求解方法。一些高效求解器忽視了算法的正確性和完備性，因此研究并實(shí)現(xiàn)高效率的求解方法仍是當(dāng)前要解決的中心問題[21]。未來(lái)研究主要包括編碼、預(yù)處理、確定性算法、隨機(jī)類算法、求解器實(shí)現(xiàn)、并行求解等問題。

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