李苗，劉忠信，陳增強(qiáng)

(1.南開大學(xué)津南校區(qū) 計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院，天津 300353； 2.天津市智能機(jī)器人技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300353)

一種多非完整移動(dòng)機(jī)器人分布式編隊(duì)控制方法

李苗，劉忠信，陳增強(qiáng)

(1.南開大學(xué)津南校區(qū) 計(jì)算機(jī)與控制工程學(xué)院，天津 300353； 2.天津市智能機(jī)器人技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300353)

本文研究了多非完整移動(dòng)機(jī)器人編隊(duì)控制算法。在該算法中，參考軌跡被視為虛擬領(lǐng)導(dǎo)者，只有部分機(jī)器人可以接收到領(lǐng)導(dǎo)者信息，機(jī)器人之間只能進(jìn)行局部信息交互。利用坐標(biāo)變換將機(jī)器人系統(tǒng)的編隊(duì)問題轉(zhuǎn)化為變換后系統(tǒng)的一致性問題，在持續(xù)激勵(lì)的條件下，設(shè)計(jì)了一種分布式控制算法，通過圖論與Lyapunov 理論證明了該分布式控制算法可以使移動(dòng)機(jī)器人隊(duì)伍指數(shù)收斂于期望隊(duì)形，并使隊(duì)形的幾何中心指數(shù)收斂到參考軌跡。最后，數(shù)值仿真驗(yàn)證了該控制算法的有效性。

非完整移動(dòng)機(jī)器人；編隊(duì)控制；一致性；分布式控制

近年來，隨著移動(dòng)機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展，多機(jī)器人的協(xié)調(diào)控制受到了越來越多的關(guān)注。多移動(dòng)機(jī)器人通過協(xié)作能完成單個(gè)機(jī)器人不能完成的任務(wù)，因此在地理勘測、巡邏偵察、安全救援和運(yùn)輸大型貨物等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景。編隊(duì)控制是一個(gè)典型的多機(jī)器人協(xié)調(diào)問題，是研究其他協(xié)調(diào)問題的基礎(chǔ)，其控制算法主要包括基于行為法[1]、領(lǐng)航-跟隨法[2-3]、虛擬結(jié)構(gòu)法[4-8]和人工勢場法[5]等。

移動(dòng)機(jī)器人存在非完整約束和非線性特性，因此對(duì)機(jī)器人的控制更有難度。文獻(xiàn)[6]研究了非完整移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)的一致性問題，提出了一個(gè)線性時(shí)不變連續(xù)狀態(tài)反饋，使系統(tǒng)狀態(tài)變量達(dá)到了一致。文獻(xiàn)[7]通過坐標(biāo)變換將機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)模型變換成鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，利用反步法設(shè)計(jì)的軌跡跟蹤控制器達(dá)到了期望的效果。文獻(xiàn)[8]采用一致性算法與虛擬結(jié)構(gòu)法研究了自主水下航行器小尺度編隊(duì)控制問題，設(shè)計(jì)的跟蹤控制律使AUV在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)了對(duì)參考軌跡的跟蹤。文獻(xiàn)[9]將虛擬結(jié)構(gòu)法和反步法相結(jié)合，提出的非線性控制算法解決了機(jī)器人編隊(duì)問題，但該算法要求機(jī)器人速度不能為0。

隨著多智能體協(xié)同控制理論的發(fā)展，它的控制策略已經(jīng)被應(yīng)用在多非完整移動(dòng)機(jī)器人編隊(duì)控制中。文獻(xiàn)[10]研究了離散模型的多智能體領(lǐng)航跟隨編隊(duì)控制算法，在該算法中，通過引入基于鄰居的局部控制律以及基于鄰居的狀態(tài)估計(jì)規(guī)則設(shè)計(jì)了一種新型控制器，經(jīng)過理論分析，給出了固定拓?fù)浜颓袚Q拓?fù)鋾r(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定編隊(duì)的充分條件。文獻(xiàn)[11]在每個(gè)移動(dòng)機(jī)器人都知道參考軌跡信息的條件下，提出了一個(gè)移動(dòng)機(jī)器人編隊(duì)控制器。在持續(xù)激勵(lì)的條件下，文獻(xiàn)[12-13]利用非自治系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)控制方法和線性智能體的協(xié)同控制方法，將非完整約束多個(gè)體系統(tǒng)的控制問題轉(zhuǎn)化為多個(gè)線性時(shí)變系統(tǒng)的控制問題，文中的控制律可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)K-指數(shù)穩(wěn)定的跟蹤控制。文獻(xiàn)[14]提出了一種新坐標(biāo)變換，將移動(dòng)機(jī)器人編隊(duì)問題轉(zhuǎn)化為狀態(tài)變量實(shí)現(xiàn)一致的問題，設(shè)計(jì)的分布式控制律可以使系統(tǒng)指數(shù)收斂于期望軌跡，但是每個(gè)機(jī)器人個(gè)體都要知道參考軌跡的角速度。

在上述工作的基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步研究了非完整移動(dòng)機(jī)器人編隊(duì)控制問題。文中通過引入坐標(biāo)變換公式，將機(jī)器人編隊(duì)問題轉(zhuǎn)化為一致性問題。在持續(xù)激勵(lì)條件下，利用鄰居信息設(shè)計(jì)了分布式控制協(xié)議，然后用圖論和Lyapunov方法，在理論上證明了該控制協(xié)議的正確性。最后，文中通過MATLAB仿真來驗(yàn)證該控制算法的可行性。不同于文獻(xiàn)[12,14]，本文把參考軌跡視為虛擬領(lǐng)導(dǎo)者，它的狀態(tài)信息只有部分跟隨者能接收到。與文獻(xiàn)[11]相比，考慮機(jī)器人之間只能進(jìn)行局部信息交互，利用圖論和Lyapunov方法設(shè)計(jì)的分布式控制律，可以保證整個(gè)機(jī)器人隊(duì)伍指數(shù)收斂于指定隊(duì)形，并且隊(duì)形幾何中心收斂到參考軌跡。

1 問題的提出

考慮n個(gè)非完整約束移動(dòng)機(jī)器人組成的系統(tǒng)，系統(tǒng)中的每個(gè)機(jī)器人具有相同的結(jié)構(gòu)，有兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪和一個(gè)自由輪，如圖1所示。用θ={1,2,…,n}表示移動(dòng)機(jī)器人序列，移動(dòng)機(jī)器人i的運(yùn)動(dòng)學(xué)表達(dá)式為

圖1 移動(dòng)機(jī)器人示意圖Fig.1 The sketch of mobile robot

圖論可以清晰完整地模擬移動(dòng)機(jī)器人之間的連接關(guān)系，本文利用無向圖來描述多移動(dòng)機(jī)器人之間的通信關(guān)系。令G=(V,E)表示一個(gè)無向圖，V={v1,v2,…,vn}表示由n個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的節(jié)點(diǎn)集，E?V×V表示邊的集合。如果(vi,vj)∈E，則表示機(jī)器人i與機(jī)器人j可以接收到彼此的信息。

無向圖G的鄰接矩陣為A=[aij]∈Rn×n，其中aij表示(vi,vj)連接權(quán)重，即

在無向圖中，(vi,vj)∈E，則(vj,vi)∈E，且aij=aji，?i≠j。如果(vi,vj)∈E，那么vj是vi的鄰居頂點(diǎn)。我們定義頂點(diǎn)vi的鄰居點(diǎn)集合為Ni={j∈V:(vi,vj)∈E,?i≠j}。

無向圖G的度矩陣為D=diag(d1,d2,…,dn)，那么圖G的拉普拉斯(Laplacian)矩陣為L=D-A。

假設(shè)n個(gè)移動(dòng)機(jī)器人形成編隊(duì)隊(duì)形F，(p0x,p0y)為編隊(duì)隊(duì)形F的幾何中心，(pix,piy)表示機(jī)器人i相對(duì)于隊(duì)形F幾何中心的期望位置矢量，即

為了計(jì)算簡單，不失一般性，我們假設(shè)p0x=0，p0y=0。

整個(gè)機(jī)器人隊(duì)伍的參考軌跡T的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為

式中:v0、ω0為已知時(shí)變函數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，機(jī)器人群體完成特定任務(wù)時(shí)，只有一個(gè)或者幾個(gè)移動(dòng)機(jī)器人知道任務(wù)的信息，其他機(jī)器人個(gè)體需要通過與鄰居的信息交互，才能完成特定的任務(wù)。因此為了符合實(shí)際，本文將參考軌跡T視為虛擬領(lǐng)導(dǎo)者0的運(yùn)動(dòng)軌跡，假設(shè)參考軌跡的信息并不是全局已知的，采用牽制控制的思想，來實(shí)現(xiàn)多機(jī)器人編隊(duì)控制。移動(dòng)機(jī)器人i與虛擬領(lǐng)導(dǎo)者0之間的通信關(guān)系用對(duì)角矩陣B=diag(b1,b2,…,bn)來表示。如果機(jī)器人i能獲得虛擬領(lǐng)導(dǎo)者0的信息，則對(duì)角元素bi=1，否則bi=0。

分布式編隊(duì)控制的目標(biāo)是基于鄰居和自己的 狀態(tài)信息，為每個(gè)機(jī)器人設(shè)計(jì)控制器，使整個(gè)機(jī)器人隊(duì)伍形成編隊(duì)隊(duì)形F，同時(shí)幾何中心實(shí)現(xiàn)對(duì)虛擬領(lǐng)導(dǎo)者0的軌跡跟蹤，即設(shè)計(jì)的控制器滿足式(4)～(7)：

在介紹分布式控制算法之前，先給出本文的一些符號(hào)表示和多機(jī)器人系統(tǒng)滿足的兩個(gè)假設(shè)，以及后面證明所需要用到的兩個(gè)重要引理。

假設(shè)1[12-13]ω0是持續(xù)激勵(lì)信號(hào)，即存在正常數(shù)α1、α2和δ，使得對(duì)于所有的t>0，滿足

假設(shè)2 圖G是無向連通的，至少存在一個(gè)移動(dòng)機(jī)器人和虛擬領(lǐng)導(dǎo)者0是直接連通的，且這種連通是單向的。

引理1[15]如果實(shí)數(shù)矩陣A∈Rn×n正定對(duì)稱，那么對(duì)于任意向量x∈Rn都滿足下面條件

λmin(A)xTx≤xTAx≤λmax(A)xTx

引理2[16]對(duì)于矩陣B=diag(b1,b2,…,bn)>0，如果無向圖G連通，那么矩陣L+B是正定的。

2 分布式控制算法

2.1 控制器的設(shè)計(jì)

為了便于控制器的設(shè)計(jì)，我們將移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型進(jìn)行坐標(biāo)變換，使用如下的坐標(biāo)變換[13]：

同時(shí)，控制輸入的變換方程為

通過上述變換，機(jī)器人i運(yùn)動(dòng)學(xué)模型變?yōu)?/p>

式中：0≤i≤n；k0>0；x1i,x2i,x3i表示系統(tǒng)坐標(biāo)變換后的狀態(tài)量；u1i,u2i表示系統(tǒng)坐標(biāo)變換后控制輸入。

通過上面的坐標(biāo)變換式(8)，多移動(dòng)機(jī)器人編隊(duì)問題轉(zhuǎn)化為新狀態(tài)變量x1i,x2i,x3i實(shí)現(xiàn)一致的問題。采用誤差控制策略，定義變換后的狀態(tài)誤差為

對(duì)式(11)求導(dǎo)可得

為了解決多機(jī)器人編隊(duì)問題，把狀態(tài)誤差系統(tǒng)式(12)～(14)分解為一個(gè)一階子系統(tǒng)和一個(gè)二階子系統(tǒng)，其中一階子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為式(12)，二階子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為式(13)和式(14)?？紤]只有部分機(jī)器人與虛擬領(lǐng)導(dǎo)者0有信息交互，設(shè)計(jì)u1i，使得一階子系統(tǒng)式(12)在有限時(shí)間內(nèi)收斂于0；設(shè)計(jì)u2i，使得二階子系統(tǒng)式(13)和式(14)指數(shù)收斂于0。構(gòu)造如下的分布式控制律：

根據(jù)控制律式(15)和式(16)，以機(jī)器人1為例，控制算法的原理框圖如圖2所示。它由兩部分組成，一部分為機(jī)器人坐標(biāo)變換i∈θ，另一部分為分布式控制器。

圖2 移動(dòng)機(jī)器人1控制原理框圖Fig.2 The control principle block diagram of mobile robot 1

2.2 穩(wěn)定性分析

證明 針對(duì)系統(tǒng)式(18)，構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)：

根據(jù)引理1，可得到

對(duì)V1求導(dǎo)可得

求解上述微分不等式可得：當(dāng)0≤t≤T1時(shí)，

收斂時(shí)間T1依賴于初始值V1(0)，滿足下式：

定理1證畢。

從定理1中u1i的收斂時(shí)間T1表達(dá)式可以看出，k2影響一階子系統(tǒng)的收斂速度，k2越大，收斂速度越快。但是k2越大，由于sign(·)函數(shù)不連續(xù)所造成的抖振現(xiàn)象對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響越大，所以，選擇k2時(shí)，需要綜合考慮控制精度、收斂速度等方面影響。二階子系統(tǒng)表達(dá)式(13)和式(14)中存在變量u1i，所以一階子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性會(huì)影響二階子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，但是一階子系統(tǒng)式(12)穩(wěn)定性并不受二階子系統(tǒng)中變量的影響。由定理1可知，在控制律式(15)的作用下，x1i,u1i在有限時(shí)間T1內(nèi)收斂于x10,u10。所以下面我們只考慮二階子系統(tǒng)式(13)和式(14)。

u1*=diag(u11,u12,…,u1n)

基于分布式控制協(xié)議式(16)，二階子系統(tǒng)式(13)和式(14)閉環(huán)特性可以表示為下面的矩陣形式：

證明 由定理1可知，當(dāng)t>T1時(shí)，u1i(1≤i≤n)收斂到u10，下面分兩步來證明定理2。

對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)式(19)構(gòu)造的Lyapunov函數(shù)為

根據(jù)引理1可以得到

對(duì)V2沿著軌跡式(19)求導(dǎo)可得

求解上述微分不等式可得

根據(jù)定理1，當(dāng)t>T1時(shí)，u1i=u10，x1i=x10，則二階子系統(tǒng)閉環(huán)表達(dá)式(19)化簡為

則式(22)整理為

3 仿真結(jié)果分析

本節(jié)中，我們用MATLAB對(duì)移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)進(jìn)行了仿真研究，仿真中n=4，移動(dòng)機(jī)器人之間的通信拓?fù)錇?/p>

期望的編隊(duì)隊(duì)形F為一個(gè)正方形：

(p1x,p1y)=(1,1)，(p2x,p2y)=(-1,1)

(p3x,p3y)=(-1,-1)，(p4x,p4y)=(1,-1)

在圖3中，每個(gè)四邊形中的4個(gè)*表示4個(gè)跟隨者，實(shí)線和虛線分別表示虛擬機(jī)器人0和編隊(duì)幾何中心的運(yùn)動(dòng)軌跡，從圖中可以看出4個(gè)跟隨者形成了指定正方形編隊(duì)，同時(shí)編隊(duì)隊(duì)形的幾何中心收斂到虛擬領(lǐng)導(dǎo)者0的運(yùn)動(dòng)軌跡。圖4和圖5分別給出了3個(gè)跟隨者的控制輸入ωi,vi(i=1,2,3,4)，從圖中可以看出，在15 s之后，ωi,vi收斂到ω0,v0。圖6～8分別表示4個(gè)跟隨者與虛擬機(jī)器人0的航角和位置之間的誤差。在20 s后，4個(gè)跟隨者與虛擬領(lǐng)導(dǎo)者0之間的航角誤差為0，x軸和y軸方向的位置誤差分別為pix和piy(i=1,2,3,4)。從上述仿真實(shí)驗(yàn)可以看出，所設(shè)計(jì)的控制器可以使移動(dòng)機(jī)器人形成期望的編隊(duì)。

圖3 移動(dòng)機(jī)器人編隊(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.3 Trajectory of tracking of mobile robots formation

圖4 移動(dòng)機(jī)器人控制輸入 ωFig.4 The control input ω of the mobile robots

圖5 移動(dòng)機(jī)器人控制輸入vFig.5 The control input v of the mobile robots

圖6 航角誤差θeFig.6 Heading errors θe

圖7 X軸方向的位置誤差xeFig.7 Position errors in X coordinates

圖8 Y軸方向的位置誤差yeFig.8 Position errors in Y coordinates

4 結(jié)束語

本文以多非完整移動(dòng)機(jī)器人為研究對(duì)象，通過坐標(biāo)變換將編隊(duì)問題轉(zhuǎn)化為移動(dòng)機(jī)器人狀態(tài)量的一致性問題。在持續(xù)激勵(lì)信號(hào)作用下，利用鄰居狀態(tài)信息設(shè)計(jì)了分布式控制協(xié)議，然后用圖論和Lyapunov方法，在理論上證明了該控制協(xié)議可以很好地解決機(jī)器人編隊(duì)問題。最后，通過MATLAB對(duì)該控制算法進(jìn)行了驗(yàn)證。從仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，本文提出的控制算法可靠性好，能在較短時(shí)間內(nèi)順利形成編隊(duì)。本文假設(shè)通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是無向連通的，但在實(shí)際應(yīng)用中，系統(tǒng)之間的通信網(wǎng)絡(luò)往往是有向的或者存在時(shí)滯，所以，將來的研究工作將圍繞著有向通信拓?fù)鋪黹_展。

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A distributed formation control method for multiple nonholonomic mobile robots

LI Miao1,2, LIU Zhongxin1,2, CHEN Zengqiang1,2

(1. College of Computer and Control Engineer, Jinnan Campus, Nankai University, Tianjin 300353, China; 2. Tianjin Key Laboratory of Intelligent Robotics, Tianjin 300353, China)

This paper addresses the algorithm of formation control for multiple nonholonomic mobile robots. The reference trajectory was represented by a virtual leader whose states were available to a subset of the following mobile robots and the robots only interacted with each other locally. Coordinate transformation was proposed to convert the formation control problem for multiple nonholonomic mobile robots into a state consensus problem. Under the restriction of persistent excitation on reference trajectories, distributed control laws were proposed for achieving the formation control objectives. Using the Lyapunov function and graph theory, rigorous proofs show that the group of mobile robots can exponentially converge to a desired geometric formation pattern and its centroid can move along the reference trajectory. The validity of the proposed control method is verified by numerical simulation.

nonholonomic mobile robots; formation control; consensus; distributed control

李苗，女，1991 年生，碩士研究生，主要研究方向?yàn)槎嘀悄荏w系統(tǒng)控制、人工智能系統(tǒng)與控制。

劉忠信，男，1975 年生，教授，博士生導(dǎo)師，中國人工智能學(xué)會(huì)智能空天系統(tǒng)專業(yè)委員會(huì)委員、中國智能物聯(lián)系統(tǒng)建模與仿真專業(yè)委員會(huì)委員，主要研究方向?yàn)槎嘀悄荏w系統(tǒng)、復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)、計(jì)算機(jī)控制與管理。

陳增強(qiáng)，男，1964 年生，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)橹悄茴A(yù)測控制、混沌系統(tǒng)與復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)、多智能體系統(tǒng)控制。

10.11992/tis.201512021

http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20170227.2155.018.html

2015-12-12.

日期：2017-02-27.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61573200, 61273138)；天津市自然科學(xué)基金項(xiàng)目(13JCYBJC17400, 14JCYBJC18700,14JCZDJC39300).

劉忠信. E-mail:lzhx@nankai.edu.cn

TP18

A

1673-4785(2017)01-0088-07

李苗，劉忠信，陳增強(qiáng).一種多非完整移動(dòng)機(jī)器人分布式編隊(duì)控制方法[J]. 智能系統(tǒng)學(xué)報(bào)， 2017, 12(1): 88-94.

英文引用格式：LI Miao, LIU Zhongxin, CHEN Zengqiang. A distributed formation control method for multiple nonholonomic mobile robots[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2017, 12(1): 88-94.