廣東省廣州市第六中學(xué)(510300) 陳霞

利用柯西不等式的變式證明競(jìng)賽不等式

廣東省廣州市第六中學(xué)(510300) 陳霞

本文通過實(shí)例探討了如何基于柯西不等式的變式,解決中學(xué)競(jìng)賽中的不等式的證明問題.

柯西不等式 有理分式

中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)文字不等式的證明問題,而最常用的方法莫過于均值不等式了.文 [1]作者通過具體實(shí)例,說明了如何通過湊配技巧運(yùn)用柯西不等式證明有理分式不等式.文中所呈現(xiàn)的湊配技巧可謂精彩絕倫,令人拍案叫絕.這是數(shù)學(xué)的一種美學(xué).雖然如此,這些湊配的技巧卻是不太容易掌握和運(yùn)用.數(shù)學(xué)的另一種美在于抽象和統(tǒng)一.有沒有一種較為統(tǒng)一的、易于掌握的方法呢?這就是柯西不等式的變式.下面我們通過具體實(shí)例加以說明.首先我們回顧一下柯西不等式的一般變式及兩種特殊情形.

定理設(shè)m≥ 2,則對(duì)任意xi,ai∈(0,+∞),i= 1,2,···,n,總有

注當(dāng)m=2時(shí),將(1)式中的xi和ai分別用xiyi和替換后所得到的不等式便為柯西不等式,其中yi＞0,i=1,2,···,n

下述問題的結(jié)論是(2)式的直接推論.

例1(第 19屆北歐競(jìng)賽題)設(shè)a,b,c為正數(shù),求證:

例2(2000年加拿大奧林匹克試題)設(shè)a,b,c為正數(shù),求證:

證明由 (3)式及均值不等式ab+bc+ca≤a2+b2+c2,得

例3設(shè)a,b,c為正數(shù),求證

例4(文 [1]例 8,即 2009年清華大學(xué)自主招生試題)設(shè)x,y∈R+,x+y=1,求證:對(duì)任意正整數(shù)n,有

證明由 (1)式,得

證明由 (1)式,得

最后,我們來證明文 [2]中花了較長(zhǎng)篇幅證明的一個(gè)結(jié)論,即該文中的推廣2.

以上例子表明利用柯西不等式的變式來證明有理分式不等式是相對(duì)容易掌握的,因?yàn)樗恍枰叱臏惻浼记?當(dāng)然,這種方法也有其局限性,試圖用它解決所有問題是不現(xiàn)實(shí)的,許多問題需將它與基本不等式結(jié)合才能發(fā)揮其最大效用.

[1]王淼生.運(yùn)用均值不等式的靈魂在于湊配[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考, 2013(6):57-58.

[2]李懷軍,陳百華.一次“巧合”的證明與推廣[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考, 2013(6):48-50.