屠星星，徐勇杰

(上海船舶研究設計院，上海 201203)

軸肩過渡曲線設計及應力集中分析

屠星星，徐勇杰

(上海船舶研究設計院，上海 201203)

分析單曲率圓弧、雙曲率圓弧、三曲率圓弧、橢圓和流線形等多種軸肩過渡曲線的設計方法，利用有限元軟件 Abaqus 對這些曲線進行建模分析。對于單曲率圓弧，應力集中系數(shù)和應力集中角度隨著過渡半徑的增大而減小，但是應力集中系數(shù)減小的效果并不十分明顯。流線形過渡曲線基本消除了應力集中，其應力集中系數(shù)僅為 1.004。雙曲率圓弧、三曲率圓弧和橢圓過渡曲線也都將應力集中系數(shù)降低到 1.05 以下，適于實際工程應用。

軸肩；過渡曲線；過渡半徑；應力集中系數(shù)

0 引 言

應力集中是導致軸系斷裂破壞的主要因素之一，船舶軸系應力集中主要發(fā)生在法蘭與軸之間的過渡區(qū)域。軸肩即該過渡部位，良好的軸肩過渡曲線設計有助于緩解應力集中。目前普遍采用一個1/4圓弧作為軸肩過渡曲線，通常情況下此種設計已能夠滿足軸系安全平穩(wěn)運行的要求。但對于某些特殊情況，比如階梯軸之間軸徑差過大、軸材料強度不足等，單曲率圓弧過渡曲線已經(jīng)不能將應力集中系數(shù)減小到足夠小的程度，此時不得不采用一些特殊形式的過渡曲線[1]。近年來，在對 38 000 t 綠色海豚系列散貨船的研發(fā)設計過程中，為確保軸系安全運轉(zhuǎn)，研究了多種軸肩過渡曲線。

本文主要分析多種軸肩過渡曲線的設計方法，以有限元軟件 Abaqus 為工具建立軸肩模型，研究這些曲線下軸肩應力集中的情況。除了本文涉及到的 5 種形式，其他形式的軸肩過渡曲線還有 3 次樣條、B 樣條和圓弧蛻變等多種復雜曲線，由于這些曲線形狀加工難度高，不利于工程上的應用，故本文不做研究。另外，軸肩應力集中系數(shù)的大小與加載方式有關，拉壓和扭轉(zhuǎn) 2 種情況下的應力集中系數(shù)是有不小差別的。軸系設計的關鍵參數(shù)——扭振合成許用應力只與扭轉(zhuǎn)應力集中系數(shù)相關，故本文只研究不同軸肩過渡曲線下的扭轉(zhuǎn)應力[2]。

1 軸肩過渡曲線設計

本文分析單曲率圓弧、雙曲率圓弧、三曲率圓弧、橢圓和流線形等 5 種軸肩過渡曲線的設計方法。

1.1 單曲率圓弧過渡曲線

單曲率圓弧是目前最常用的軸肩過渡曲線，如圖 1所示。其中，D，h，d，r，L，e 分別為法蘭直徑、法蘭厚度、軸徑、軸肩過渡半徑、軸肩過渡長度和軸肩過渡高度。點 P 為應力最大的點，點 Q 為軸肩與軸的切點，θ 為點 P 到點 Q 之間圓弧對應的角度，稱之為應力集中角度。

過渡半徑 r 越大，過渡越平緩，應力集中系數(shù)越小。理論上可以通過加大過渡半徑來將應力集中降低到可以忽略的程度，但是隨著半徑的增大，法蘭和軸肩也不斷變大，一方面增加了軸系的重量和成本，另一方面占據(jù)過大空間而不利于布置[3]。

研究表明，軸肩上最大應力點 P 從圓弧切點 Q起，對于圓心，處于 15° 之內(nèi)，即 P 與 Q 是緊鄰著的。因此一般認為，只要局部地將 PQ 之間的半徑加大，便可達到既減小應力集中系數(shù)又不增大軸肩和法蘭尺寸的目的，這也便是雙曲率和三曲率過渡曲線的設計理念由來[4]。

1.2 雙曲率圓弧過渡曲線

雙曲率圓弧過渡曲線如圖 2 所示，AB 段是半徑較小的圓弧，BC 段是半徑較大的圓弧，兩圓弧在 B 點相切。其中，r1和 r2分別是兩段圓弧的半徑。根據(jù)不同的 r1和 r2，可以設計出無數(shù)條雙曲率圓弧。文獻[5]對于很多種不同形式的雙曲率過渡曲線進行了光彈性實驗，通過試湊的方法給出了1條效果良好的曲線。

光彈性實驗結(jié)果表明，它的扭轉(zhuǎn)應力集中系數(shù)幾乎接近于 1.0（1.00～1.02）[5]。雙曲率圓弧過渡曲線在不增加軸肩過渡高度 e 的情況下，僅依靠延長軸肩過渡長度即可達到有效減小應力集中系數(shù)的目的。

1.3 三曲率圓弧過渡曲線

三曲率圓弧過渡曲線如圖 3 所示，它進一步加大了最大應力點與切點間的過渡圓弧半徑。

根據(jù)不同的參數(shù)，三曲率圓弧也可以設計出無數(shù)種形式。挪威船級社憑其豐富的工程經(jīng)驗給出了一種效果良好的三曲率圓弧過渡曲線，設計該曲線的各參數(shù)如式（1）～ 式（3）所示[6]。

式中：R1，R2和 R3分別為三段圓弧的半徑；θ1，θ2和θ3分別為三段圓弧對應的圓心角。

1.4 橢圓過渡曲線

橢圓過渡曲線如圖 4 所示，將1/4橢圓作為軸肩過渡曲線，圖中軸肩曲率從上至下逐漸減小。當橢圓長軸和短軸的長度比值（b/a）等于相鄰兩軸段截面尺寸比值（D/d）時，應力集中系數(shù)最小[7]。

1.5 流線形過渡曲線

文獻[8]提出了一種流線形軸肩過渡曲線，帶有圓角的圓棒承受拉力或壓力時，如果采用一種無摩擦的理想流體從容器底部的圓孔流出時的線型（如圖 5 所示），則表面的正應力均勻，因而可以避免應力集中。拉壓情況下的流線形軸肩過渡曲線可以通過理論計算推導得到。

適用于具有圓角的圓棒承受扭轉(zhuǎn)時的流線形曲線與拉伸情況下的流線形曲線有所不同，通過實驗可以建立與拉伸情況的換算公式，并加以利用。

扭轉(zhuǎn)情況下，流線形曲線沿縱向變化的直徑d（y）如表 1 所示。在 y/d = ∞（即液體流到無限遠處）時，d（y）/d = 1，這不適于工程設計。當 y/d = 1.6時，d（y）/d = 1.003，d（y）非常接近軸徑 d，所以從這一點起往下可加工成等直徑[8]。

表1 流線形過渡曲線參數(shù)Tab. 1 Parameters of streamline transition curve

2 應力集中分析

本文用有限元軟件 Abaqus 對以上過渡曲線進行建模分析，其中單曲率圓弧軸肩模型（D = 945 mm，d =360 mm，h = 100 mm，r = 50 mm）的應力分布剖面圖如圖 6 所示。計算結(jié)果表明，切應力是關于軸中心對稱分布的。在同一個圓截面上，相同半徑處的切應力大小相等，并且切應力隨著半徑的增大而增大，在軸的外沿切應力達到最大，最大切應力為 1.390 04 × 10–4GPa。在遠離軸肩的區(qū)域，應力均勻分布；在軸肩區(qū)域，出現(xiàn)了應力集中的現(xiàn)象。應力集中導致的最大應力出現(xiàn)在過渡弧與軸相切的位置附近，這與理論分析結(jié)果一致，也就進一步證明雙曲率和三曲率過渡的可行性。

理論應力集中系數(shù)是最大局部應力與名義應力的比值，名義應力是未發(fā)生應力集中時的應力。

名義切應力的理論計算公式為：

式中：M = 1 000 Nm為施加的扭矩，d = 360 mm為軸徑，代入上式得到名義切應力 nominal shear stress = 109 160 Pa。

應力集中系數(shù) scf（stress concentration factor）計算如下：

隨著過渡半徑 r 的增大，軸肩扭轉(zhuǎn)應力集中系數(shù)逐漸減小，如圖 7 所示。當過渡半徑達到 200 mm 時，應力集中系數(shù)才減小至 1.09，此時軸肩過渡長度和過渡高度過大，導致法蘭尺寸過大，不利于軸系設計。因此對于單曲率圓弧過渡，依靠增大過渡半徑來減小應力集中系數(shù)的效果有限。

另外，應力最大點出現(xiàn)位置所對應的角度隨過渡半徑的變化而變化，如圖 8 所示。

結(jié)果表明，應力集中角度隨半徑增大而減小，半徑越大，應力最大點越靠近軸肩與軸的切點。

各種型式軸肩過渡曲線的應力集中系數(shù)如表 2 所示。

單曲率圓弧過渡消除應力集中的效果最差，流線形過渡的效果最好，其應力集中系數(shù)幾乎約等于 1，表明應力集中接近于被完全消除。雙曲率、三曲率和橢圓過渡的效果基本相當，理論上相當尺寸的情況下三曲率過渡的效果優(yōu)于雙曲率過渡，但是因為本文模型中雙曲率過渡尺寸略大于三曲率過渡，故其效果略優(yōu)于三曲率過渡。

表2 多種軸肩過渡曲線的應力集中系數(shù)Tab. 2 The stress concentration factors of several shoulder transition curves

3 結(jié) 語

軸肩過渡曲線的優(yōu)化設計有助于保障軸系安全運行和為船舶減重及降低成本。雙曲率、三曲率、橢圓和流線形是比單曲率更優(yōu)的軸肩過渡曲線，流線形幾乎完全消除了應力集中的現(xiàn)象，在非常嚴苛的設計條件下可以采用流線形過渡，但它會給加工制造帶來一定的難度。雙曲率、三曲率和橢圓曲線的加工難度較小，而且具有較好的削弱應力集中的效果。尤其是三曲率過渡，已經(jīng)獲得了挪威船級社、中國船級社等多家權(quán)威船檢機構(gòu)的認可，特別適用于船舶軸系設計。

[1]雷繼軍, 韓致信. 異形截面軸肩的應力集中特征[J]. 蘭州理工大學學報, 2010, 36(4): 44–47. LEI Ji-jun, HAN Zhi-xin. Stress concentration character at shaft shoulder with abnormal cross-section[J]. Jorurnal of Lanzhou University of Technology, 2010, 36(4): 44–47.

[2]吳鳳林. 一種新型軸肩過渡曲線[J]. 工程設計, 1997, 04: 35–37. WU Feng-lin. A new type of shoulder transition curve [J]. Journal of Engineering Design , 1997, 04: 35–37.

[3]陳科, 殷磊, 陳振華. 萬向十字軸軸根過渡結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設計和分析[J]. 中國機械工程, 2014, 25(23): 3155–3159. CHEN Ke, YIN Lei, CHEN Zhen-hua. Optimization and analysis of transition curves for roots of universal cross shaft[J]. China Mechanical Engineering, 2014, 25(23): 3155–3159.

[4]TAYLOR D, KELLY A, TOSO M, et al. The variable-radius notch: two new methods for reducing stress concentration[J]. Engineering Failure Analysis , 2011, 18(3): 1009–1017.

[5]西田正孝. 應力集中[M] 北京: 機械工業(yè)出版社, 1986: 96–103. Nishida Masataka. Stress concentration[M]. Beijing: Machinery Industry Press, 1986: 96–103.

[6]Det Norske Veritas. Calculation of shafts in marine applications[M]. Norway: Norway Classification Society Press, 2007.

[7]MARSDEN B J, BLAKEMORE R H. Stress concentration around elliptical fillets in stepped flat bars [J]. Journal of Strain Analysis for Engineering Design, 1981, 16(4): 227–233.

[8]R. LANSARD. Fillets without strees concentration [J]. Proc. SESA, 1955, 13(1): 97–104.

Design and stress concentration analysis of shoulder transition curves

TU Xing-xing, XU Yong-jie
(Shanghai Merchant Ship Design and Research Institute, Shanghai 201203, China)

The design methods of single-radius, two-radii, three-radii, elliptical and streamline shoulder transition curves are analyzed and they are modeled by Abaqus. For single-radius shoulder transition curve, both the stress concentration factor and the stress concentration angle decrease as the transition radius increases, but the decrease of the stress concentration factor is not significant. The stress concentration factor of the streamline shoulder transition curve is reduced to 1.004. Two-radii, three-radii and elliptical shoulder transition curves all make the stress concentration factor below 1.05 and they are suitable for engineering application.

shoulder；transition curve；transition radius；stress concentration factor

U664.121

A

1672–7619(2017)05–0038–04

10.3404/j.issn.1672–7619.2017.05.008

2016–05–11；

2016–07–29

屠星星(1990–)，男，碩士，助理工程師，主要從事輪機設計工作。