■陜西省武功縣教育局教研室 李 歆(特級教師)

二項(xiàng)式定理常見題型及解法

■陜西省武功縣教育局教研室 李 歆(特級教師)

二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)的一個重要定理,在歷年的高考試題中,常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn),主要求解二項(xiàng)式的展開式中項(xiàng)的系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、最大項(xiàng)等問題。而它的通項(xiàng)公式則是求解這類問題最基本的工具,下面給出幾種常見題型及其解法。

一、求項(xiàng)的系數(shù)

A.16 B.70 C.560 D.1120

點(diǎn)評:在二項(xiàng)式的展開式中,“項(xiàng)的系數(shù)”與“項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)”是兩個截然不同的概念,如(x+6)6的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)是·63=4320,而第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)卻是=20。

二、求常數(shù)項(xiàng)

解:由Tr+1=(2x)6-r(-1)rx6-2r·26-2r,令6-2r=0,得r=3。則常數(shù)項(xiàng)是(-1)3=-20,故答案為-20。

三、求有理項(xiàng)

點(diǎn)評:此題容易出錯的地方是將有理項(xiàng)當(dāng)成了有理項(xiàng)的系數(shù)。

四、求系數(shù)和

(x-y)10的展開式中,x7y3與x3y7的系數(shù)之和等于____。

解:Tr+1=x10-r(-y)r=(-1)r· x10-ryr。令10-r=7,得r=3,所以x7y3的系數(shù)是(-1)3=-120。又令10-r=3,得r=7,所以x3y7的系數(shù)是(-1)7= -120。所以x7y3與x3y7的系數(shù)之和等于-240,故答案為-240。

點(diǎn)評:此類問題常用“待定系數(shù)法”求解,其中為r待定的數(shù)。

五、求最大項(xiàng)

當(dāng)r=0,1,2,…,12時,ar+1ar+2,所以a1a15,由此可知第14項(xiàng)的系數(shù)最大。

T14=a14x13=513x13=C(5x)13,故答案為A。

點(diǎn)評:此題是二項(xiàng)式定理與函數(shù)、數(shù)列知識的交匯題,其中滲透了求數(shù)列最大、最小項(xiàng)的常用的單調(diào)性法,即通過作差比較相鄰兩項(xiàng)ar+1,ar+2的大小,得到數(shù)列{ar+1}的單調(diào)性,從而確定最大、最小項(xiàng)。

六、求特殊項(xiàng)的值

若(1-2x)2017=a0+a1x+a2x2+…+a2017x2017(x∈R),則的值為( )。

A.2 B.0 C.-1 D.-2

點(diǎn)評:此題看上去很復(fù)雜,但將條件式與問題式進(jìn)行對比,容易想到用賦值法求解。

七、含有三項(xiàng)問題

(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)是( )。

A.10 B.20 C.30 D.60

解:由題意知,可將三項(xiàng)式(x2+x+y)5的展開式看成為二項(xiàng)式[(x2+x)+y]5的展開式,則由Tr+1=Cr5(x2+x)5-ryr知,x5y2項(xiàng)應(yīng)在T2+1=C25(x2+x)3y2=C25(x+ 1)3x3y2的展開式中。

因此所求問題轉(zhuǎn)化為求C25(x+1)3的展開式中x2的系數(shù)。

因?yàn)镃25(x+1)3的展開式的通項(xiàng)公式為Tk+1=C25·Ck3x3-k,令3-k=2,得k=1,所以C25(x+1)3的展開式中x2的系數(shù)是C25· C13=30,即x5y2的系數(shù)是30,故答案為C。

點(diǎn)評:含有三項(xiàng)的展開式問題可采用轉(zhuǎn)化思想,三項(xiàng)化兩項(xiàng)的方法進(jìn)行解決,但并項(xiàng)后需要二次展開,這里要特別注意兩次展開后各項(xiàng)系數(shù)的正確計(jì)算,不可出錯。

八、兩個二項(xiàng)式相乘問題

A.-40 B.-20 C.20 D.40

解:令x=1,由題意得(1+a)(2-1)5= 2,解得a=1。

由此可知,要求該展開式的常數(shù)項(xiàng),只需求(2x2-1)5的展開式中x4和x6的系數(shù)。

已知Tr+1=Cr5(2x2)5-r(-1)r=(-1)r· 25-rCr5x10-2r。

令10-2r=4,得r=3,所以(2x2-1)5的展開式中x4的系數(shù)是C35(-1)3·25-3= -40;令10-2r=6,得r=2,所以(2x2-1)5的展開式中x6的系數(shù)是C25(-1)2·25-2=80。

所以該展開式的常數(shù)項(xiàng)是-40+80= 40,故答案為D。

練一練:

2.(x-y)(x+y)8的展開式中,x2y7的系數(shù)是____。(用數(shù)字作答)

參考答案:1.8 2.-20 3.20

(責(zé)任編輯 徐利杰)