鐘嘉慶， 李茂林， 江 靜， 張曉輝

(電力電子節(jié)能與傳動控制河北省重點實驗室， 燕山大學， 河北 秦皇島 066004)

基于Copula理論的風/光出力預測誤差分析方法的研究

鐘嘉慶， 李茂林， 江 靜， 張曉輝

(電力電子節(jié)能與傳動控制河北省重點實驗室， 燕山大學， 河北 秦皇島 066004)

準確預測風/光出力能夠提高電力系統(tǒng)經(jīng)濟調度的可靠性。本文提出了一種新型的風/光出力預測誤差分析方法，在基于點預測數(shù)據(jù)基礎上，針對風電出力和光伏出力點預測精度不高的問題，采用Copula函數(shù)分別計算風電出力和光伏出力的實際值和預測值的聯(lián)合概率分布，采用聚類的方法分別按天氣類型和季度分析歷史數(shù)據(jù)，分別對風電出力和光伏出力預測誤差進行建模以提高預測精度，同時在各環(huán)境下考慮風電場和光伏電站的相關特性，使預測更加準確。以某風/光電站實際出力數(shù)據(jù)、天氣、時間等為樣本進行了實例研究，通過與傳統(tǒng)預測方法進行對比驗證了模型的精確性。

風/光出力； 預測誤差； Copula函數(shù)； 聯(lián)合概率分布； 相關特性

1 引言

隨著經(jīng)濟的發(fā)展，資源消耗增長迅速，而其帶來的環(huán)境問題日益凸顯，在此背景下，具有可再生、無污染等特點的風能和太陽能資源的利用受到人們重視[1]。風力發(fā)電和光伏發(fā)電具有清潔、分布廣泛等優(yōu)點，但隨著風電和光伏大規(guī)模接入電網(wǎng)，其波動性、間歇性等問題給電力系統(tǒng)的調度帶來很大的困難[2]。因此，能準確預測風電和光伏出力對含風/光電力系統(tǒng)的調度具有重要意義。

目前對風/光出力預測已有諸多研究，主要包括時間序列分析方法[3]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡方法[4]等，但其多集中在點預測上，即預測結果為風/光出力某一時刻一確定的值。然而，風/光發(fā)電受天氣、時間等外界因素干擾較嚴重，其出力具有較強的不確定性，而點預測只包含了固定時刻的確定數(shù)值，無法表達風/光出力的波動性，因此很難達到所需要的精度。另外，在經(jīng)濟調度中單純基于風/光出力點預測不能囊括所有出力情景，無法確定系統(tǒng)所需要的備用等，從而使發(fā)電組出力很難達到理想狀態(tài)。與點預測相比，概率預測[5]可提供較充足的預測信息，它預測的內(nèi)容包含了未來所有可能的出力情景、對應情景的發(fā)生概率等信息，為電力系統(tǒng)的調度提供了比較充足的信息。

近年來數(shù)學統(tǒng)計領域的Copula理論開始應用于電力系統(tǒng)，包括新能源發(fā)電不確定性以及可靠性分析[6,7]等研究。文獻[8]提出了一種基于Pair Copula和概率積分變換的隨機潮流點估計法，采用Pair Copula對多維風電功率進行建模后，依據(jù)概率積分變換把采樣點變換到實際風電功率的概率空間中進行潮流計算，但只考慮了風電的相關特性且把出力概率近似為正態(tài)分布來研究。文獻[9]在考慮風電的波動和不確定性因素的基礎上，利用高斯Copula函數(shù)生成單風電場未來出力場景，但沒有涉及光伏出力。文獻[10]在風電概率預測結果的基礎上，提出了利用高斯Copula函數(shù)生成具有時間相關性的單風電場未來出力場景的方法，但沒有考慮預測誤差。文獻[11]針對具有相關性的多個風電場出力場景難以生成的問題，提出一種基于Copula函數(shù)的場景生成方法，實現(xiàn)了多風電場出力的場景模擬，但風電出力邊緣概率分布函數(shù)采用非參數(shù)估計法，精度一般。文獻[12]提出了一種基于Copula理論的光伏出力的條件預測誤差分布估計方法，實現(xiàn)了任意點預測對應的光伏實際出力的條件概率分布的估計，但沒有考慮風電出力及其相關特性。文獻[13]應用Copula理論建立了風電場、光伏電站出力聯(lián)合概率分布模型，同時考慮了風/光出力的隨機性和相關性，但其概率分布也采用了非參數(shù)估計法。文獻[14]通過三種阿基米德Copula函數(shù)分別構造了風速和光照的二元聯(lián)合分布函數(shù)解析式，并且以最小的擬合誤差選擇出了最優(yōu)的Copula函數(shù)，但只考慮了環(huán)境因素，沒有涉及風/光出力的相關關系。

針對以上問題，本文提出了一種基于Copula函數(shù)的風/光發(fā)電出力預測誤差分布估計方法，即在已知預測數(shù)據(jù)的前提下，采用Copula理論建立風/光出力的預測誤差模型。風/光出力水平與季節(jié)、天氣類型等緊密相關，不同的環(huán)境對條件預測誤差分布有不同的影響[15]，本文采用K-means聚類方法[16]對環(huán)境進行劃分，分別建立風/光出力的邊緣概率分布函數(shù)模型，可以兼顧不同環(huán)境下風/光出力預測誤差的差異。風力發(fā)電和光伏發(fā)電并不是相互獨立的，它們之間也具有相關性，本文同時計及了風/光出力的相關性以及歷史實際值和預測值之間的相關性信息，可以更精確地預測未來風/光出力的情景。最后采用能夠評價概率分布的評價方法，將本文估計方法與傳統(tǒng)的預測方法進行對比，驗證了該方法的精確性。

2 Copula理論

2.1 Copula函數(shù)

(1)Sklar定理：如果隨機變量M=[M1M2…Mn]的聯(lián)合分布函數(shù)F(m1,m2,…,mn)的邊際分布函數(shù)F1(m1)，F(xiàn)2(m2)，…，F(xiàn)n(mn)連續(xù)，則存在唯一的Copula函數(shù)C(u1,u2,…,un)使得

F(m1,m2,…,mn)=C(F1(m1),F2(m2),…,Fn(mn))

(1)

而通過Copula函數(shù)的密度函數(shù)c(u1,u2,…,un)和邊際密度函數(shù)f1(m1),f2(m2),…,fn(mn)，可得N元分布函數(shù)F(m1,m2,…,mn)的密度函數(shù)f：

(2)

式中

c(F1(m1),F2(m2),…,Fn(mn))

=

由式(1)和式(2)可知，聯(lián)合分布函數(shù)F可以由它的邊際分布函數(shù)Fn和恰當?shù)腃opula函數(shù)C來表示，聯(lián)合密度函數(shù)f可以由Copula函數(shù)的密度函數(shù)c和邊際密度函數(shù)fn表示，其中密度函數(shù)c可以表示隨機變量M1,M2,…,Mn的相關性大小。

(2)Copula函數(shù)分類：Copula函數(shù)有很多種類，但總體可分為橢圓Copula函數(shù)和Archimedean(阿基米德) Copula函數(shù)[17]，其中橢圓Copula函數(shù)包括了二元正態(tài)Copula函數(shù)和二元學生t-Copula函數(shù)。

Archimedean Copula函數(shù)應用最為廣泛，根據(jù)Copula函數(shù)生成元的不同可以產(chǎn)生不同的Archimedean Copula函數(shù)，其中三種最為常用，分別為Gumbel Copula函數(shù)、Clayton Copula函數(shù)和Frank Copula函數(shù)。Clayton Copula函數(shù)和Gumbel Copula函數(shù)通常只能描述變量之間的非負相關關系，F(xiàn)rank Copula函數(shù)可以描述變量間的負相關關系。

Frank Copula函數(shù)的分布函數(shù)為：

(3)

其密度函數(shù)為：

(4)

(3)相關系數(shù)：變量間的相關程度可以用相關系數(shù)[18]表示，最常用的有Kendall秩相關系數(shù)τ、Pearson線性相關系數(shù)ρ、Spearman秩相關系數(shù)ρs和尾部相關系數(shù)λ。Pearson線性相關系數(shù)描述兩個變量的線性關系；Kendall秩相關系數(shù)可以描述兩個變量間的非線性關系；Spearman秩相關系數(shù)也可以描述非線性關系但并非所有Copula函數(shù)都存在；尾部相關系數(shù)現(xiàn)用于經(jīng)濟領域。由此，本文選用Kendall秩相關系數(shù)描述各變量之間的關系：

(5)

當τ>0時，X1與X2為負相關；當τ<0時，X1與X2為正相關；當τ=0時，X1與X2的相關性不能確定。

令X1、Y1對應的Copula函數(shù)為C(u,υ)，則

(6)

2.2 Copula函數(shù)建模

由式(1)和式(2)可知，對于二維隨機變量來說，若已知邊際分布函數(shù)F1(m1)和F2(m2)、F2(m2)的邊際密度函數(shù)f2(m2)以及恰當?shù)腃opula函數(shù)，就可以根據(jù)式(7)求得邊際分布函數(shù)F1(m1)的邊際密度函數(shù)f1(m1)：

(7)

式中

f(m1,m2)=

在已知風電出力、光伏出力實際值的情況下，取某一地區(qū)實際天氣情況作為樣例，利用文獻[4]提出的基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡的風/光混合預測模型分別對未來風電、光伏出力進行預測，從而得到一段時間的出力實際值和預測值，不難對得到的眾多離散值連續(xù)化，最后選擇合適的Copula函數(shù)進行計算。

3 環(huán)境對風/光出力預測誤差的影響研究

無論是風力發(fā)電還是光伏發(fā)電，外界環(huán)境對其出力均有著較大的影響。不同的環(huán)境對風電機組和光伏電池組有著不同的外界干擾，預測過程中直接采用歷史數(shù)據(jù)進行分析難以實現(xiàn)不同環(huán)境下風/光出力誤差的估計，與實際值相比預測值會有非常大的誤差[12,15]，因此本文針對不同的環(huán)境類型，分別對風力發(fā)電和光伏發(fā)電的出力建立基于Copula函數(shù)的預測誤差模型，此模型更接近實際情況。

3.1 數(shù)據(jù)來源

取內(nèi)蒙古某地區(qū)風/光電站2014年1月1日至2015年1月1日的天氣情況及實際出力值為樣本，對未來一周時間的風電場和光伏電站進行出力預測，其天氣情況如圖1所示。

圖1 某地區(qū)一年內(nèi)天氣情況Fig.1 Weather conditions in a region within a year

應用SPSS軟件對圖1中的數(shù)據(jù)進行相關性分析后可知，風速的大小與溫度關系不密切，但其大小與季節(jié)(本文采用氣候統(tǒng)計法，即3～5月為春，6～8月為夏，9～11月為秋，12月～次年2月為冬)有一定的關系；而光照強度與溫度則具有正相關性。由此可以為不同環(huán)境的劃分提供必要的信息。

3.2 聚類方法分析環(huán)境對模型的影響

本文采用K-means法分別對風電出力和光伏出力進行歸類。由3.1節(jié)分析可知，風電出力的大小與季節(jié)有一定的關系，季節(jié)不同其風速的大小會有一定的差異；光伏出力大小則與光照有關，天氣類型與光照強度具有非常密切的關系。本文通過聚類的方式將風力發(fā)電和光伏發(fā)電分別按季節(jié)和天氣類型進行分類，季節(jié)分為四個季度(樣本為一年，因此冬季包括同年1月、2月和12月)，天氣類型則可以通過溫度、云量、光照等多種氣象因素進行分類。為了計算的簡便和可行性，本文將天氣分為具有代表性的四種常見典型類型，即晴天、多云、降水、特殊天氣分別進行分析。

利用歷史上天氣情況的數(shù)據(jù)，通過基于神經(jīng)網(wǎng)絡的風/光出力預測模型對風電場和光伏電站的出力進行預測后，按照歸類的方法將風電歸為春、夏、秋、冬四個不同環(huán)境，將各環(huán)境下的風電出力預測值歸一化后作為橫坐標的值，風電出力實際值歸一化后作為縱坐標的值，其散點圖如圖2所示。

圖2 不同環(huán)境下風電出力預測值-實際值散點圖Fig.2 Scatter plot of wind power forecast output and real output under different circumstances

從圖2中可以清晰地看出，夏季和秋季其散點圖分布于平分線兩側且面積較小，說明預測值相對準確；冬季較夏秋季節(jié)其面積增大，即預測精度下降；春季由于風的不確定性等因素其散點圖面積最大，即預測誤差最大。圖2(a)圖與圖2(b)圖對比可以看出，夏季風電出力相對較大，春季風電出力相對較小。

按照歸類的方式將光伏發(fā)電歸為晴天、多云、降水、特殊天氣四個不同環(huán)境，將各環(huán)境下的光伏出力預測值歸一化后作為橫坐標的值，光伏出力實際值歸一化后作為縱坐標的值，其散點圖如圖3所示。

由圖3可以看出，晴天時散點圖分布于平分線兩側且面積較小，說明預測值相對準確，且光伏電池板出力效率較高；多云天氣下預測誤差次之，且出力效率相對較高；降水天氣和特殊天氣下，其散點圖面積較大，即預測不準確，且光伏電池板的出力效率一般。

采用2.1節(jié)所述的Kendall秩相關系數(shù)τ來表

示風電出力和光伏出力的預測值和實際值的關系，如表1所示。

圖3 不同環(huán)境下光伏出力預測值-實際值散點圖Fig.3 Scatter plot of photovoltaic forecast output and real output under different circumstances

表1 不同環(huán)境下預測值與實際值Kendall秩相關系數(shù)τTab.1 Kendall’s rank correlation coefficient τ of forecast output and real output under different circumstances

由表1可知，不同環(huán)境下出力預測誤差不同，有必要按不同的環(huán)境計算風/光出力預測的聯(lián)合概率分布。

3.3 不同環(huán)境下的邊緣概率分布函數(shù)

選取Copula函數(shù)的方法有很多種，其中應用最簡便廣泛的是做出未知量的頻率直方圖，根據(jù)形狀選擇合適的Copula函數(shù)進行計算。本文以春季環(huán)境下風電出力和晴天環(huán)境下光伏出力的預測值和實際值為例做頻率直方圖，如圖4所示。

圖4 不同環(huán)境下風/光出力預測值和實際值頻率直方圖Fig.4 Frequency histograms of wind/solar forecast output and real output under different circumstances

圖4可以看作預測值和實際值的Copula密度函數(shù)的估計。由圖4可知，其聯(lián)合密度函數(shù)都有近似對稱的尾部，因此可以選擇二維情況的Gaussian Copula概率密度函數(shù)來描述預測值和實際值的相關結構，即

(8)

由于線性相關系數(shù)容易受到變量邊緣分布的影響，相比之下，分析變量之間的一致性(即用秩相關系數(shù)代替相關系數(shù))能更加確切地描述變量之間的相關關系。求出Kendall秩相關系數(shù)τ之后，可通過式(9)估計Gaussian Copula的相關系數(shù)參數(shù)ρn：

ρn=sin(πτ/2)

(9)

在每一種環(huán)境下用GaussianCopula概率密度分別建立條件預測誤差模型，并將得到的出力概率分布與實際統(tǒng)計得到的概率分布進行比較，結果如圖5和圖6所示。

圖5 預測值為0.5時各環(huán)境下風電出力概率分布Fig.5 Wind power probability distribution under different circumstances when point forecast is 0.5

圖6 預測值為0.5時各環(huán)境下光伏出力概率分布Fig.6 Photovoltaic output probability distribution under different circumstances when point forecast is 0.5

由圖5和圖6可知，用Copula函數(shù)擬合的結果與真實統(tǒng)計結果相一致，并且各環(huán)境下的概率分布并不是嚴格遵循正態(tài)分布，只有在特定的環(huán)境下才符合正態(tài)分布，因此按環(huán)境分類的方法對預測誤差進行計算比較準確。

4 考慮風/光互補特性的Copula出力預測模型

4.1 基于Copula函數(shù)的風/光出力相關性分析

同一地區(qū)的風電場和光伏電站并不是相互獨立的，它們具有一定的互補關系，一般風/光互補預測模型中常常忽略了它們之間的聯(lián)系，其預測精確度會受到一定影響。本文利用Copula函數(shù)分別預測風/光出力聯(lián)合概率分布的同時，在第3節(jié)得到的風/光出力聯(lián)合概率分布的基礎上，考慮風電場出力和光伏電站出力的相關性并再次利用不同類別的Copula函數(shù)分析預測數(shù)據(jù)，使預測更加準確。

取夏季多云環(huán)境下的風電場預測出力和光伏電站預測出力做頻率直方圖，如圖7所示。由圖7可知，此地區(qū)的風-光出力大都集中在坐標軸附近，有一定的相關關系，本文采用Frank Copula函數(shù)進行計算來研究風-光出力的關系。首先計算Kendall秩相關系數(shù)τ，如表2所示。

圖7 夏季多云環(huán)境下風-光預測出力頻率直方圖Fig.7 Frequency histograms of wind and solar forecast output in summer cloudy environment

春季夏季秋季冬季全年晴天-0.024-0.093-0.0400.011-0.048多云-0.076-0.320-0.069-0.286-0.113降水-0.102-0.411-0.097-0.340-0.199特殊天氣-0.077-0.294-0.062-0.227-0.081任意天氣-0.089-0.261-0.091-0.302-0.157

由表2可知，大多數(shù)環(huán)境下風電出力和光伏出力呈負相關關系。夏季和冬季其相關性較高，春季和秋季其相關性較低；多云跟降水環(huán)境下相關性較高，反而晴天環(huán)境下基本沒有相關性，特殊天氣下風/光出力隨機性較強，參考價值不大。綜合來看，夏季降水環(huán)境下風電出力和光伏出力相關性最高，冬季晴天環(huán)境下幾乎沒有相關性。

通過式(4)求取夏季多云環(huán)境下的風電出力和光伏出力的聯(lián)合概率密度，如圖8所示。由圖8可知，風/光出力聯(lián)合概率密度三維曲線與風/光預測出力頻率直方圖的形狀相似，且隨機選擇樣本比較后顯示結果相近，從而驗證其風/光計算方式可行。其他場景下的聯(lián)合概率密度可以以同樣的方法求得，此處不再贅述。

圖8 夏季多云環(huán)境下風/光出力聯(lián)合概率密度三維曲線圖Fig.8 Joint probability density three-dimensional graph of wind and solar output in summer cloudy environment

4.2 模型評價指標

概率預測的結果并非確定的數(shù)值，而是一種概率分布，其評價指標應包括預測的校準性、銳度等方面。因此本文采用概率預測中經(jīng)常采用的Quantile Scoring方法和Continuous Ranked Probability Score指標對所求取的風/光出力聯(lián)合概率分布進行精度測量，其原理如下。

(1)Quantile Scoring方法

首先需給出風/光出力聯(lián)合概率分布中1%～99%這99個分位點分別對應的出力值，對于待預測時間范圍內(nèi)的每個時段，設第i個分位點的出力為wi(i=1,2,…，99)，設風/光互補出力的實際值為w，通過Pinball Loss函數(shù)可計算評價指標Q(wi,w)來度量預測值與實際值之間的誤差，其表達式為：

(10)

(11)

Quantile Scoring方法能夠全面地考慮聯(lián)合概率預測的主要特征。從校準性方面，若分位點的出力wi距離實際值w越遠，則評價指標Q(wi,w)越高；若預測的出力區(qū)間中未能包含實際值w，則w和多數(shù)wi的距離都比較遠，相應地評價指標Q(wi,w)會比較高。從銳度的角度，若預測的出力區(qū)間過寬，雖然能包含實際值w，但由于預測出力區(qū)間中存在很多距離實際值w較遠的wi，評價指標Q(wi,w)仍不會降低。

(2)Continuous Ranked Probability Score指標

Continuous Ranked Probability Score指標即連續(xù)分級概率評分CRPS，此方法在檢驗連續(xù)變量的概率預測中的應用最為廣泛，其定義為：

(12)

式中，x為實際出力值；F為出力預測的概率分布。C(F,x)的值越小，則預測結果越準確。該指標能全面地綜合評價概率預測的校準性和銳度。

4.3 模型評價結果分析

建立風/光出力聯(lián)合概率密度預測模型的方法有參數(shù)估計法和非參數(shù)估計法等，將傳統(tǒng)的預測方法與本文提出的預測方法進行對比檢驗模型的精確性。本文選取的參數(shù)估計法假定風速服從Weibull分布，光照強度服從Beta分布，估計其參數(shù)得到概率密度；非參數(shù)估計法選取比較經(jīng)典的核密度估計法得到概率密度；同時加入基于歷史數(shù)值統(tǒng)計計算(經(jīng)驗分布法)得到的概率密度和以點預測值為期望值的正態(tài)分布進行對比，其中正態(tài)分布參數(shù)選取精度最優(yōu)值。

表3 不同風/光出力聯(lián)合概率密度預測方法評價結果Tab.3 Evaluation results of different wind and solar output joint probability density forecast method

5 結論

針對風/光出力預測不準確的問題，本文提出了一種新型的風/光出力預測誤差分析方法。首先利用Copula函數(shù)分別對風電出力和光伏出力的點預測進行預測誤差分析，針對不同的環(huán)境得到各自的聯(lián)合概率分布，再考慮風/光出力的相關性，利用Copula函數(shù)對風電出力和光伏出力進行聯(lián)合計算得到風/光出力聯(lián)合概率分布。本文通過與傳統(tǒng)預測方法的對比驗證了此方法的精確性。

致謝：本文得到河北省高等學?？茖W技術研究項目(ZD2016049)及燕山大學青年教師自主研究課題(16LGA006)的資助，在此表示感謝。

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Method of wind/solar output forecast error analysis based on Copula theory

ZHONG Jia-qing，LI Mao-lin，JIANG Jing，ZHANG Xiao-hui

(Key Laboratory of Power Electronics for Energy Conservation and Motor Drive of Hebei Province, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China)

Accurate forecast of wind/solar output can improve the reliability of power system economic dispatch. This paper presents a new type of wind/solar output forecast error analysis method. Based on the point forecast data for improving the accuracy of wind power and photovoltaic output point forecast, the method calculates the joint probability distribution of actual and predicted values of wind power and photovoltaic output using Copula function respectively, and analyzes historical data by clustering according to the type of weather and season respectively. The model for wind power and photovoltaic output forecast error is constructed respectively to improve the forecast accuracy. Meanwhile, the relevant characteristics of the wind farm and photovoltaic power station in each environment are considered to make the results more accurate. Lastly, case study based on a wind/solar station actual data of output, weather, time, etc. is carried out and results are compared with traditional forecasting methods to verify the accuracy of the model.

wind/solar output; forecast error; Copula function; joint probability distribution; relevant characteristics

2016-06-24

國家自然科學基金資助項目(61374098)、 教育部高等學校博士學科點專項科研基金項目(20131333110017)

鐘嘉慶(1977-), 男, 江蘇籍, 副教授, 博士, 研究方向為電力系統(tǒng)規(guī)劃及優(yōu)化分析等； 李茂林(1991-), 男, 山東籍, 碩士研究生, 研究方向為新能源在電力系統(tǒng)中的應用。

TM715

A

1003-3076(2017)06-0039-08