蔡 婷，熊 彪

(湖北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

NSD隨機(jī)變量和的單邊概率不等式

蔡 婷，熊 彪

(湖北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)

主要利用Fuc-Nagaev型概率不等式的方法去研究負(fù)超可加相依NSD(negatively superadditive dependent)隨機(jī)變量和的單邊概率不等式.利用這種方法，得到了一些重要的大偏差概率不等式.所得結(jié)果推廣了獨(dú)立隨機(jī)變量和NA隨機(jī)序列的相應(yīng)結(jié)果.

超可加函數(shù)；NSD隨機(jī)變量；大偏差概率不等式

0 引言

自20世紀(jì)50年代起，有很多概率統(tǒng)計(jì)學(xué)者相繼提出了混合變量和相依變量的概念，例如ρ—混合變量[1]、φ—混合變量[1]、負(fù)相協(xié)(NA)變量[2]、負(fù)超可加相依(negatively superadditive dependent，NSD)變量[3]等.在眾多相依變量中,NSD隨機(jī)變量是概率統(tǒng)計(jì)學(xué)者們最感興趣的相依變量之一.NSD隨機(jī)變量的概念由文獻(xiàn)[3]引入的，它是建立在超可加函數(shù)的基礎(chǔ)上.下面給出超可加函數(shù)的概念.

定義1[3]函數(shù)Φ：Rn→R稱為超可加的，如果對(duì)任意的x,y∈Rn有

Φ(x∨y)+Φ(x∧y)≥Φ(x)+Φ(y),

其中，“∨”表示兩者之間的最大值，“∧”表示兩者之間的最小值.

在超可加函數(shù)的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[3]提出了NSD隨機(jī)變量的概念，具體如下:

定義2[3]隨機(jī)向量X=(X1,X2…,Xn)為負(fù)超可加相依的(NSD)，如果滿足

Eφ(X1,X2,…,Xn)≤Eφ(Y1,Y2，…,Yn)

其中φ(·)是超可加函數(shù)，Y1,Y2,…,Yn相互獨(dú)立，且對(duì)任意的i，Xi和Yi同分布,稱隨機(jī)變量序列{Xn,n≥1}是NSD的.

國(guó)內(nèi)外對(duì)NSD隨機(jī)變量的研究很多,許多統(tǒng)計(jì)學(xué)家對(duì)NSD隨機(jī)變量的研究產(chǎn)生了興趣，一系列有用的結(jié)果相繼被提出.至今為止，對(duì)于NSD變量的研究已經(jīng)取得了很多有意義的結(jié)果.例如：在文獻(xiàn)[4]中， Nagaev S V得到關(guān)于獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量X1,…,Xn的和的概率不等式.文獻(xiàn)[3]舉例說明NSD并不能推出負(fù)相協(xié)(NA),等等.本文研究了比NA序列更為嚴(yán)格的NSD序列,得到了NSD隨機(jī)變量和的單邊不等式，同時(shí)也推廣了已有文獻(xiàn)HU[3]、FUK[4]以及SU[5]等的相關(guān)結(jié)論.

1 主要結(jié)果

本節(jié)我們將得到NSD序列在特殊條件下關(guān)于最大部分和具有NSD特色的Fuk-Nagaev型單邊概率不等式，并與獨(dú)立隨機(jī)變量、NA隨機(jī)變量這兩類隨機(jī)變量進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)它們具有類似的性質(zhì)，由此可以推斷出兩類隨機(jī)變量與NSD在其它性質(zhì)上也會(huì)有相似之處.

為了結(jié)果的需要，首先給出以下引理.

引理1[4]設(shè)X1,…,Xn是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且滿足EX1=0,DX1=1，則

下面應(yīng)用引理1對(duì)NSD隨機(jī)變量序列建立了以下的大偏差概率不等式.

(1)

其中

(2)

若xyt-1>A(t;0,Y)，則有

(3)

其中

(4)

并且P2≤P1.

證明 由于滿足定理1的條件，則有(1)、(2)式成立. 取yi=Li,i=1,2,…,n且y=L=

由定理1的證法及(2)式可得推論1. 在此略.

證明 推論2的證明與推論1的證明類似，在此略.

注1 推論1～2 給出了在隨機(jī)變量序列有界的情況下NSD隨機(jī)變量序列關(guān)于部分和Sn的概率不等式.將NSD隨機(jī)變量和的概率不等式的復(fù)雜形式變得簡(jiǎn)單化.

注2 推論1與文獻(xiàn)[6]中獨(dú)立隨機(jī)變量序列的最大部分和概率不等式的結(jié)果相比，除了常數(shù)的差別外，其余形式完全相同；注意到文獻(xiàn)[7]中定理1建立了NA隨機(jī)序列部分和的概率不等式與這里的推論1 也是有常數(shù)的差別，而在獨(dú)立隨機(jī)變量場(chǎng)合中二者卻完全相同.

綜上所述，對(duì)獨(dú)立隨機(jī)變量序列及NA隨機(jī)變量序列上述類似的不等式成立.由此表明，NSD隨機(jī)變量序列既有與獨(dú)立隨機(jī)變量及NA隨機(jī)變量類似的極限性質(zhì),又有其特色之處.

2 主要結(jié)果的證明

為了證明本文的主要結(jié)果，需要用到以下引理，具體可參考文獻(xiàn)[3].

引理2[3]如果隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)是NSD的，且g1,g2,…,gn都是非降函數(shù)，則(g1(X1),g2(X2),…,gn(Xn))也是NSD隨機(jī)變量.

定理1的證明 設(shè)X1,X2,…,Xn是NSD隨機(jī)變量，Z1,…,Zn是獨(dú)立的隨機(jī)變量，且Xi與Zi同分布.令

令

因此

(5)

根據(jù)(5)式,我們得到

(6)

現(xiàn)在，我們?cè)谧C明這個(gè)定理的本質(zhì)上是對(duì)不等式(6)右邊第二項(xiàng)進(jìn)行討論.

因此

(7)

令

得到(7)式的右式的最小值.當(dāng)h滿足xyt-1>A(t;0,Y)式條件時(shí)，將其h代入(7)式,可以得出

其中P2是通過(5)式得到的. 結(jié)合(6)式可以得到(4)式.顯然,P2≤P1.

至此，定理1證明完畢.

[1]吳群英. 混合序列的概率極限理論[M]. 北京:科學(xué)出版社，2006.

[2]Joag-Dev K, Proschan F. Negative association of random variables with applications [J]. The Annals of Statistics, 1983, 11(1): 286～295.

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[4]Fuk D Kh, Nagaev S V. Probability inequalities for sums of independent random variables[J]. Theory of Probability and Its Applications, 1971, 16: 643～660.

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[7]Shao Q M. A comparison theorem on maximal inequalities between negatively associated and independent random variables [J]. Journal of Theoretical Probability, 2000, 13(2): 343～356.

Unilateral probability inequalities for sum of negativelysuperadditive dependent random variables

CAI Ting，XIONG Biao

( College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435002,China)

Using the Fuc-Nagaev type probability inequality, we mainly study the unilateral probability inequalities for sum of negatively superadditive dependent random variables. By using this method ,we obtain some important large deviation probability inequality. The results generalize some corresponding ones for independent random variables and some negatively dependent random variables.

superadditive function; negatively superadditive dependent random variable; large deviation probabilities inequalitie

2016—11—11

國(guó)家自然科學(xué)基金(11471105)，湖北師范大學(xué)科研團(tuán)隊(duì)(T201505)

蔡婷(1991— )，女，湖北荊州人，碩士研究生,主要研究方向?yàn)楦怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì).

O211.5

A

2096-3149(2017)02- 0053-04

10.3969/j.issn.2096-3149.2017.02.012