馮鏡

教學(xué)內(nèi)容：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)。

教學(xué)目標(biāo)：

1.了解“雞兔同籠”問(wèn)題，感受古代數(shù)學(xué)問(wèn)題的趣味性。

2.嘗試用列表、假設(shè)的方法及列方程的方法解決“雞兔同籠”問(wèn)題，使學(xué)生體會(huì)同一問(wèn)題可以用不同策略去解決。

3.在解決問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的遷移思維能力。

教學(xué)重點(diǎn)：理解掌握解決問(wèn)題的不同思路和方法。

教學(xué)難點(diǎn)：學(xué)會(huì)用不同的方法解決實(shí)際生活中有關(guān)“雞兔同籠”的問(wèn)題。

教學(xué)流程：

課前小故事熱身：

師：這個(gè)故事的主人公是雞和兔。有一天雞和兔子被關(guān)在同一個(gè)籠子里了，有3只雞，2只兔子。請(qǐng)同學(xué)們幫著算一算，一共有多少只腳呀？

生：14只。

師：雞和兔子在一起的時(shí)候，兔子發(fā)現(xiàn)雞走路很有意思，它用兩只腳走路，它就想學(xué)學(xué)雞走路，也用兩只腳走路，實(shí)際上兔子有幾只腳？

生： 4只。

師：它怎么學(xué)才能像雞呀？這樣兔子就有幾只腳了？

生：2只。

師：兔子班長(zhǎng)發(fā)令了，所有的小兔子全體起立，這時(shí)候兔子的腳就可以看成幾只了？

生：2只。

師：雞有幾只腳？

生：2只。

師：這時(shí)我們就可以把籠子中的動(dòng)物全看成……

生：雞。

師：現(xiàn)在籠中地上有多少只腳呀？

生：10只。

師：與實(shí)際相比腳的只數(shù)發(fā)生了什么變化？

生：少了。

師：少了多少？

生：4只。

師：少的4只腳其實(shí)是誰(shuí)的呀？

生：兔子的，因?yàn)橛?只小兔學(xué)雞。

師：如果5只兔子學(xué)雞，地上少多少只腳呀？

生：10只。

師：為什么？

師：地上如果少了14只腳？想想有多少只兔子學(xué)雞呢？

生： 7只。

師：雞也發(fā)現(xiàn)了兔子走路特別有意思，它是用4只腳走路，雞也想學(xué)兔子走路，它怎么學(xué)的呢？把兩只翅膀撲在地上。這樣它就有幾只腳了？

生：4只。

師：這時(shí)候我們可以把籠中的動(dòng)物全看成誰(shuí)？

生：兔子。

師：地上有多少只腳呢？

生：20只。

師：與原來(lái)的腳相比發(fā)生了什么變化？

生：多了6只。

師：為什么多了6只？

生：因?yàn)橛?只雞學(xué)兔子，一只雞多2只腳，3只雞就多6只腳。

師：現(xiàn)在有6只雞學(xué)兔子走路，想想地上腳會(huì)怎樣？

生：多12只。

師：如果地上多18只腳，有多少只雞學(xué)兔子呢？

生：9只 。

師：怎么樣，雞和兔子挺有意思吧？今天學(xué)習(xí)的這節(jié)課也和雞兔有關(guān)，我們一起去看看吧。

一、導(dǎo)入

師：今天這節(jié)課，老師給同學(xué)們帶來(lái)的就是一道與雞兔有關(guān)的，我國(guó)古代非常有名的數(shù)學(xué)趣題。我們來(lái)聽(tīng)一聽(tīng)。（放錄音。）

師：雉是什么呀？你能用自己的話來(lái)說(shuō)說(shuō)這道題是什么意思嗎？

師：像這樣的題我們稱之為——（雞兔同籠。）這節(jié)課我們就一起來(lái)研究一下雞兔同籠的問(wèn)題。（板書(shū)課題。）

師：雞兔同籠問(wèn)題最早記載于《孫子算經(jīng)》一書(shū)中，距今已有1500多年的歷史了。（出示主題圖。）

師：讓我們一起來(lái)看看，被關(guān)在同一個(gè)籠子里的雞和兔帶來(lái)了哪些數(shù)學(xué)信息。為了研究方便，我們可以把《孫子算經(jīng)》原題中數(shù)目改小一點(diǎn)。從簡(jiǎn)單問(wèn)題入手，化繁為簡(jiǎn)。（出示例1：8個(gè)頭，26只腳。）

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)你獲得的數(shù)學(xué)信息？

師：他們提到的都是題中給的表面的數(shù)學(xué)信息，和生活常識(shí)聯(lián)系在一起，你還能說(shuō)出哪些信息呢？

【設(shè)計(jì)意圖：這一引入，給數(shù)學(xué)課堂帶來(lái)了濃厚的文化氣息，讓學(xué)生感受到我國(guó)數(shù)學(xué)文化的源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情?！?/p>

二、猜想驗(yàn)證

師：在解決這個(gè)問(wèn)題之前，我們先來(lái)猜猜，籠子中可能會(huì)有幾只雞幾只兔呢？

師：你是根據(jù)什么猜測(cè)的呢？有8個(gè)頭說(shuō)明——雞和兔一共有8只。

師：還有哪些可能呢？

師：籠中究竟有多少只雞，多少只兔呢？同學(xué)們?cè)谛〗M里交流自己想法的時(shí)候，可以利用學(xué)案中的表格填一填，也可以用剛才故事中講到的方法假設(shè)一下，還可以想象其他的方法，邊交流邊記錄在你的學(xué)案上吧。

三、匯報(bào)

（一）列表法

①按書(shū)中一定順序排列找到了答案。

②順序相反的列表法。

③找到答案后面省略不寫(xiě)的列表法。

④按照規(guī)律找到答案的列表法。

【設(shè)計(jì)意圖：簡(jiǎn)單入手、化難為易發(fā)現(xiàn)規(guī)律，運(yùn)用知識(shí)遷移，拓寬學(xué)生思路，留給學(xué)生思考的空間，在解決問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)表格的用處，及在表格中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，為構(gòu)建新知奠定基礎(chǔ)?！?/p>

師：這么多同學(xué)運(yùn)用了列表法解決問(wèn)題。（板書(shū)：列表法）有的同學(xué)按照一定的順序排列尋找答案，有的同學(xué)是發(fā)現(xiàn)了規(guī)律推理出了答案。大家想一想，當(dāng)籠中的雞和兔有很多很多的時(shí)候，我們?cè)儆昧斜矸ǚ奖銌幔?/p>

生：不方便。

師：為什么？

生：數(shù)據(jù)多，寫(xiě)的表格會(huì)很長(zhǎng)很長(zhǎng)。

【設(shè)計(jì)意圖：目的是使學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)過(guò)程中明確因題而異選擇方法，認(rèn)識(shí)到列表法也有一定的弊端?！?/p>

（二）探求其他方法

1.假設(shè)法。

師：是怎么假設(shè)的？

（學(xué)生匯報(bào)。）

師：同學(xué)們，他是把所有的動(dòng)物假設(shè)成是雞，看看他是怎么想的，我們來(lái)認(rèn)真聽(tīng)。（口頭檢驗(yàn)。）

…………

師：（借助課件梳理。）當(dāng)我們假設(shè)全是雞的時(shí)候，就會(huì)先求出兔的只數(shù)。為什么？因?yàn)椴畹哪_數(shù)是兔子的。

師：誰(shuí)也采用了這種方法？哪位同學(xué)能結(jié)合老師的板書(shū)到前面來(lái)講一講假設(shè)全是雞的情況。

（再匯報(bào)一次，講清過(guò)程。）

師：既然可以假設(shè)全都是雞，也可以假設(shè)全都是兔，如果假設(shè)全都是兔，我們就會(huì)先求出……

師：誰(shuí)愿意來(lái)匯報(bào)這種情況？多的這6只腳，多在誰(shuí)身上了？

…………

師：同學(xué)們真了不起，在解決雞兔同籠問(wèn)題時(shí)，想到了列表法，還想到了假設(shè)法。這也是解答雞兔同籠問(wèn)題的一種基本方法。

【設(shè)計(jì)意圖：在問(wèn)題情境中探究解決問(wèn)題的方法，給學(xué)生足夠的空間經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，體驗(yàn)猜測(cè)—探究—驗(yàn)證的過(guò)程，從而得到解決雞兔同籠問(wèn)題的一般方法：假設(shè)法?！?/p>

師：除了這兩種方法，你們還想到了什么方法解決這個(gè)問(wèn)題？

師：這個(gè)算式怎么回事呀？講之前你能給你的方法起個(gè)名字嗎？（板書(shū)。）光從名字中我就覺(jué)得挺有意思。我們大家來(lái)認(rèn)真聽(tīng)聽(tīng)。

2.抬腳法。

師：老師看到很多同學(xué)的眼神都很迷茫，是不是沒(méi)聽(tīng)明白呀。如果有同學(xué)能配合他的講解演一演，這樣大家一看就懂了。

（生演一演。）

（出示課件：我們古人解決雞兔同籠的方法和這名同學(xué)是一樣的。他們用這樣的圖示法表示。）

小結(jié)：我們一起來(lái)回顧一下，在解決雞兔同籠問(wèn)題時(shí)，都用到了哪些方法？（列表法，假設(shè)法、抬腳法。）

四、練習(xí)鞏固

師：接下來(lái)，我們來(lái)看看《孫子算經(jīng)》中的原題，誰(shuí)來(lái)讀一讀？

師：老師想問(wèn)問(wèn)你們想用什么方法來(lái)解決？

師：這么多同學(xué)都想用假設(shè)法，我們來(lái)個(gè)競(jìng)賽PK一下吧。男生選擇假設(shè)全是雞的方法，女生選擇假設(shè)全是兔的方法。好嗎？

五、延伸應(yīng)用

師：雞兔同籠問(wèn)題傳到日本時(shí)就變成了“龜鶴同池”，你認(rèn)為“龜鶴同池”與“雞兔同籠”問(wèn)題有什么相似之處？說(shuō)說(shuō)思路。

師：我們來(lái)個(gè)小挑戰(zhàn)，誰(shuí)能口述出你的解題思路呢？現(xiàn)在就把你的思路說(shuō)給你同桌聽(tīng)聽(tīng)。

師：有誰(shuí)用的是假設(shè)法？

師：有沒(méi)有人敢于挑戰(zhàn)抬腳法的呀？試著說(shuō)說(shuō)你怎么做的。

師：只要能用這些方法來(lái)解答的問(wèn)題都可以統(tǒng)一叫做“雞兔同籠”問(wèn)題。

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，學(xué)習(xí)雞兔同籠問(wèn)題并非單純局限于雞和兔，只要用這種方法解決的都可以稱之為雞兔同籠問(wèn)題?！?/p>

師：老師帶來(lái)了幾道題，同學(xué)們選擇一道自己喜歡的題，說(shuō)一說(shuō)它與我們今天學(xué)的知識(shí)有什么聯(lián)系。

師：有興趣的同學(xué)可以課下嘗試做一做。最后老師也送給同學(xué)們一首詩(shī)來(lái)結(jié)束這節(jié)課。我們一齊來(lái)讀一讀吧。

反思：

“雞兔同籠 ”是四年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容。在這節(jié)課當(dāng)中，我借助教材上的列表法同時(shí)結(jié)合學(xué)生假設(shè)的方法，再配合抬腳法，讓學(xué)生弄懂雞兔同籠問(wèn)題的基本解題思路。本節(jié)課的重點(diǎn)放在了“嘗試探究”這一部分，使學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)的思維過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。通過(guò)列表過(guò)程，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，讓他們經(jīng)歷了一個(gè)探索的過(guò)程，之后再介紹假設(shè)法就水到渠成了。這也實(shí)現(xiàn)了運(yùn)用多種方法解決問(wèn)題的目的，起到了意想不到的效果。應(yīng)用練習(xí)是一個(gè)提升的過(guò)程，讓學(xué)生回顧研究雞兔同籠問(wèn)題的解決方法的過(guò)程，選擇合適的方法來(lái)解決新的問(wèn)題，在匯報(bào)時(shí)讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)理由。用哪種方法合適？為什么？這樣使學(xué)生解決問(wèn)題的能力得以進(jìn)一步的提升。課堂教學(xué)后，我進(jìn)行了以下反思：

1.注重思維能力的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)思想的滲透。

讓學(xué)生在參與觀察、猜想、驗(yàn)證、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言清晰地表達(dá)自己的想法是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要途徑。從課初的隨意猜想到表格中的有序猜想，從一般驗(yàn)證到表格中數(shù)據(jù)變化規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，從列表法很快自然聯(lián)想到假設(shè)法，學(xué)生的思維經(jīng)歷了從無(wú)序到有序、從特殊到一般、從借鑒到創(chuàng)新、從膚淺到深刻等方面的巨大變化，學(xué)生的思維能力也隨之得到了極大的提升。

我有意識(shí)地向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想和方法。如：用容易探究的小數(shù)量替代《孫子算經(jīng)》原題中的大數(shù)量的“替換法”解決問(wèn)題，滲透了轉(zhuǎn)化的思想和方法；用“列表法”“抬腳法”等解決問(wèn)題，滲透了假設(shè)的思想和方法。這些對(duì)于學(xué)生而言，無(wú)疑奠定了可持續(xù)發(fā)展的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

2.注重?cái)?shù)學(xué)文化的傳承。

雞兔同籠問(wèn)題是《孫子算經(jīng)》中一道影響較大的名題，一直流傳至日本等國(guó)，引起了許多國(guó)家的眾多數(shù)學(xué)愛(ài)好者的廣泛關(guān)注。教學(xué)中，教師把“數(shù)學(xué)文化”和《孫子算經(jīng)》中關(guān)于雞兔同籠問(wèn)題的原題，用課件科學(xué)而生動(dòng)地再現(xiàn)于課堂，極大地激發(fā)和調(diào)動(dòng)了學(xué)生的探究興趣，充分地傳承和弘揚(yáng)了經(jīng)典的數(shù)學(xué)文化，較好地體現(xiàn)和提升了課堂的教學(xué)品位，也讓“數(shù)學(xué)味”貫穿課堂始終。

3.讓不同的學(xué)生學(xué)不同的數(shù)學(xué)。

由于學(xué)生原有認(rèn)知水平不同，存在較大的差異，所以在同樣的列表中，學(xué)生的認(rèn)知水平也有一定的層次區(qū)別。但在教學(xué)的過(guò)程中，我并沒(méi)有提出統(tǒng)一的要求，允許不同的學(xué)生采用不同的解題方法。在交流時(shí)，有些學(xué)生用逐一列表的方法，我也肯定了他們的方法有序且不遺漏。再引導(dǎo)學(xué)生從上往下看、從下往上看、從左往右看發(fā)現(xiàn)規(guī)律，體會(huì)雞兔只數(shù)變化之間的置換關(guān)系。等待學(xué)生充分掌握規(guī)律，已經(jīng)躍躍欲試了，我再指引學(xué)生運(yùn)用自己發(fā)現(xiàn)的變化規(guī)律在表格中調(diào)整驗(yàn)證過(guò)程，進(jìn)行二次調(diào)整，快一點(diǎn)找到答案。學(xué)生不但可以應(yīng)用跳躍列表法、取中列表法來(lái)調(diào)整過(guò)程，而且部分學(xué)生已能把跳躍和取中的方法結(jié)合起來(lái)列表解決問(wèn)題。最后我引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題技巧進(jìn)行歸納與總結(jié)：做任何題目的時(shí)候，都要先認(rèn)真思考、分析，根據(jù)題目的條件，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，找到解決問(wèn)題的小竅門(mén)。這樣學(xué)生在具體的解決問(wèn)題過(guò)程中，根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)，逐步探索不同的方法，找到解決問(wèn)題的策略；在合作交流學(xué)習(xí)的過(guò)程中，積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，掌握解決問(wèn)題的方法。這也體現(xiàn)了不同的學(xué)生在同一節(jié)課中有不同程度的提高，不同的學(xué)生學(xué)不同的數(shù)學(xué)。

4.注意捕捉并利用課堂生成的新資源。

這是我教學(xué)這一課之前感到有困難，教學(xué)時(shí)做得不夠到位的地方。比如：學(xué)生猜出雞兔各幾只后，有個(gè)別學(xué)生就開(kāi)始用口算進(jìn)行驗(yàn)證。此時(shí)，教師的引導(dǎo)讓學(xué)生感覺(jué)需要列表的必要性不夠。總的來(lái)說(shuō)，教學(xué)有效性更注重把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到生活中去，用數(shù)學(xué)的眼光看待身邊的事物，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值。這堂課研究的方法多，容量大，有的地方只是蜻蜓點(diǎn)水，部分學(xué)生理解上還有點(diǎn)問(wèn)題，我將在練習(xí)課中進(jìn)一步完善。

（作者單位：哈爾濱市南崗小學(xué)）

編輯/魏繼軍