馬藝元，宋衛(wèi)平，寧愛平，牛海帆

太原科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，太原 030024)(*通信作者電子郵箱798839965@qq.com)

混沌云模型多目標(biāo)布谷鳥搜索算法

馬藝元*，宋衛(wèi)平，寧愛平，牛海帆

太原科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，太原 030024)(*通信作者電子郵箱798839965@qq.com)

針對(duì)多目標(biāo)布谷鳥搜索算法(MOCS)迭代后期尋優(yōu)速度慢，并且容易造成局部最優(yōu)等缺點(diǎn)，提出一種混沌云模型多目標(biāo)布谷鳥搜索算法(CCMMOCS)。首先在進(jìn)化過程中通過混沌理論對(duì)一般的布谷鳥巢位置在全局中尋求優(yōu)化，以防落入局部最優(yōu)；然后利用云模型對(duì)較好的布谷鳥巢位置局部優(yōu)化來提高精度；最后將兩種方法對(duì)比得到相對(duì)更好的解作為最優(yōu)值以完成優(yōu)化。對(duì)比誤差估計(jì)值及多樣性指標(biāo)，由5個(gè)常用多目標(biāo)測(cè)試函數(shù)仿真結(jié)果可知， CCMMOCS比傳統(tǒng)多目標(biāo)布谷鳥搜索算法、多目標(biāo)粒子群算法(MOPSO)及多目標(biāo)遺傳(NSGA-Ⅱ)算法性能更好，Pareto前沿更接近理想曲線，分布也更均勻。

多目標(biāo)布谷鳥搜索算法；混沌理論；云模型；Pareto前沿；函數(shù)優(yōu)化

0 引言

在實(shí)際生產(chǎn)生活中，許多工程設(shè)計(jì)與求解的問題可被看作函數(shù)優(yōu)化問題，這類問題具有多目標(biāo)、非線性、維度高等特點(diǎn)，而且每個(gè)目標(biāo)間通常會(huì)發(fā)生沖突，而傳統(tǒng)優(yōu)化算法無法很好解決這些矛盾。20世紀(jì)后期，人們從螞蟻、鳥類等群居生物的自組織行為中受到啟發(fā)，提出諸多新型元啟發(fā)式算法，如粒子群算法[1]、蝙蝠算法[2]等，成為處理多目標(biāo)優(yōu)化問題的向?qū)А?/p>

由于布谷鳥搜索(Cuckoo Search, CS)算法[3]參數(shù)少、便于實(shí)現(xiàn)，具有較高的前瞻性，現(xiàn)已經(jīng)成功應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)、背包問題等領(lǐng)域并得到廣泛關(guān)注[4-7]。鑒于它的簡單實(shí)用，2011年Yang等[8]在CS算法基礎(chǔ)上提出了多目標(biāo)布谷鳥搜索算法(Cuckoo Search algorithm for Multi-objective Optimization, MOCS)用于解決多目標(biāo)優(yōu)化問題，并把它與結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問題相結(jié)合；2012年，Chankraskaran等[9]提出基于混沌理論的多目標(biāo)布谷鳥搜索算法，提高了收斂速度與精度；2013年，Layeb等[10]將MOCS應(yīng)用到背包問題；2015年，賀興時(shí)等[11]提出基于小生境技術(shù)的逐步檔案縮減法，并設(shè)計(jì)了多目標(biāo)布谷鳥搜索算法，對(duì)解的均勻性改善很明顯，但求解精度不高；2015年，楊輝華等[12]對(duì)萊維飛行的步長控制量等進(jìn)行改進(jìn)，提出一種改進(jìn)布谷鳥搜索算法(Improved MOCS, IMOCS)，其求解穩(wěn)定性有待加強(qiáng)。

MOCS算法是目前最前沿的元啟發(fā)式算法，但同其他群智能算法一樣[13-16]，存在后期搜索速度慢、精度不高、容易陷入局部最優(yōu)等缺點(diǎn)，在迭代后期受自身尋優(yōu)機(jī)制限制存在諸多不足。為解決上述問題，提出結(jié)合混沌云模型的改進(jìn)多目標(biāo)布谷鳥搜索算法(MOCS based on Chaos Cloud Model， CCMMOCS)。通過5個(gè)經(jīng)典多目標(biāo)函數(shù)對(duì)其有效性進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果表明CCMMOCS在解的多樣性、均勻性上都比MOCS、多目標(biāo)粒子群算法(Particle Swarm Optimization algorithm for Multi-objective Optimization, MOPSO)等要好。

1 算法MOCS

MOCS是一種新穎的群智能算法,它的思想主要表現(xiàn)在兩點(diǎn)：對(duì)布谷鳥寄生育雛行為和鳥類或果蠅飛行模式的模擬。

布谷鳥以它特有的寄生育雛而聞名，繁殖后代的時(shí)候把卵產(chǎn)在別的鳥巢中，讓別的鳥類為其孵化。當(dāng)這種鳥類發(fā)現(xiàn)這些外來蛋時(shí)，會(huì)選擇丟棄外來蛋或放棄自己的巢，在其他地方重筑新巢。根據(jù)這種策略，在布谷鳥更新位置時(shí)采用了萊維飛行方式。根據(jù)上述特點(diǎn)，CS算法中有以下三條規(guī)則：

1)布谷鳥每次只產(chǎn)一個(gè)蛋，隨后把蛋送到任意選擇的一個(gè)鳥巢中；

2)優(yōu)質(zhì)的巢里會(huì)有優(yōu)質(zhì)的蛋，則后代能夠更好地繁殖下去；

3)可供選擇的寄主巢穴的數(shù)量有限，而且寄主也會(huì)發(fā)現(xiàn)這些外來蛋，概率為pa，寄主可能也會(huì)扔掉這些蛋，或者直接放棄本身的巢去建一個(gè)新巢。

在上述基本準(zhǔn)則的前提下，采用萊維飛行及隨機(jī)游動(dòng)替換鳥巢位置，由以下公式來表述：

(1)

針對(duì)p維多目標(biāo)優(yōu)化問題，把上述準(zhǔn)則進(jìn)行修改，就能滿足p個(gè)目標(biāo)的需求。

1)一只布谷鳥一次產(chǎn)一個(gè)蛋，再把這些蛋丟到任意巢中，第p個(gè)蛋代表第p個(gè)目標(biāo);

2)任意巢里的蛋都會(huì)以pa的概率被丟掉，有p個(gè)蛋的一個(gè)巢根據(jù)蛋的相似性和區(qū)別按相同概率被重建。

第一條準(zhǔn)則是隨機(jī)過程，第二條準(zhǔn)則的修改近似看作變異策略，這樣就使得單目標(biāo)優(yōu)化算法修改后為多目標(biāo)所用。

2 混沌理論和云模型

2.1 混沌理論

混沌理論[17]針對(duì)全局優(yōu)化問題而言，是變量從混沌空間與解空間的轉(zhuǎn)換模型，混沌變量對(duì)初值敏感，具有遍歷性、隨機(jī)性和規(guī)律性。作為優(yōu)化設(shè)計(jì)方向通用的優(yōu)化方式，混沌理論能很好避免其他算法易陷入局部收斂的問題。根據(jù)上述特點(diǎn)，把它應(yīng)用在全局優(yōu)化搜索中。Logistic映射是典型的混沌系統(tǒng)，可以用混沌序列對(duì)部分布谷鳥個(gè)體進(jìn)行混沌擾動(dòng)：

xi+1=uxi(1-xi)；i=0,1,…,N

(2)

其中：u為控制變量，u∈(2,4]，當(dāng)u=4時(shí)，Logistic完全處于混沌狀態(tài)；x0∈(0,1)為混沌變量的初始值。

2.2 云模型

云模型是由李德毅院士等[18]提出，將定性知識(shí)和定性概念與其定量數(shù)值表示之間相互轉(zhuǎn)換的有力手段，用于表述日常生活中的不確定概念，是定性定量結(jié)合的事物處理不確定模型。正態(tài)云模型有三個(gè)特征：期望Ex、熵En和超熵He。Ex是定性概念的最高點(diǎn)，隸屬度為1，是論域中心值。En與度量范圍密切相關(guān)，熵值的多少與定性概念被度量范圍成正比，同時(shí)能反映定性概念中云滴出現(xiàn)的不確定性，體現(xiàn)模糊性和不確定性的關(guān)系，熵越小，確定性量化就更精確。He是熵的熵，是云模型云滴離散程度的標(biāo)志，云圖中體現(xiàn)云的“厚度”，He越大則云越厚，隸屬度的不確定性及離散度也越大。圖1為Ex=25，En=2.5，He=0.2，云滴數(shù)n為2 000的云圖。

圖1 Ex=25，En=2.5，He=0.2的云圖

3 算法CCMMOCS

在MOCS中，采用隨機(jī)初始化產(chǎn)生初始鳥巢位置，具有較大的盲目性，解的質(zhì)量不高；而僅采用萊維飛行搜索機(jī)制更新鳥巢位置，在迭代后期收斂速度及精度無法滿足優(yōu)化需求。為解決上述問題，結(jié)合混沌云模型來改進(jìn)MOCS。尋優(yōu)時(shí)，如果當(dāng)前目標(biāo)函數(shù)的適應(yīng)度值較大即表示與Pareto真實(shí)前沿距離較近，應(yīng)當(dāng)縮小范圍尋優(yōu)來提高收斂速度；如果適應(yīng)度值較小表示與Pareto真實(shí)前沿距遠(yuǎn)，應(yīng)當(dāng)擴(kuò)大搜索范圍，提高多樣性及均勻性，防止發(fā)生局部收斂?；径嗄繕?biāo)布谷鳥算法尋優(yōu)后，位置較差的布谷鳥群利用混沌理論來局部尋優(yōu)，位置較好的布谷鳥群用云模型來再次全局尋優(yōu)，二者尋優(yōu)結(jié)果產(chǎn)生的最優(yōu)解替代之前的位置，使算法有效進(jìn)行全局搜索，避免陷入局部最優(yōu)。位置的好壞則利用布谷鳥當(dāng)前位置和平均的適應(yīng)度值favg比較來得出，如果當(dāng)前布谷鳥巢適應(yīng)度值小于favg，即為位置較好；反之，如果當(dāng)前布谷鳥巢適應(yīng)度值大于favg，則位置較差。利用正態(tài)云發(fā)生器[19]的隨機(jī)性與穩(wěn)定傾向性的優(yōu)點(diǎn)，在優(yōu)化時(shí)滿足傳統(tǒng)的優(yōu)勢(shì)同時(shí)提高尋優(yōu)速度，并保持了前沿的均勻性和多樣性。其中，Ex為位置較好的布谷鳥巢個(gè)體xi，為縮小搜索范圍并提高算法穩(wěn)定性，選取En=2xi,He=En/5。

圖2為算法CCMMOCS流程。

圖2 算法CCMMOCS流程

算法CCMMOCS的步驟為：

步驟1 初始化。初始化MOCS維數(shù)m，鳥窩數(shù)量n，被其他鳥類發(fā)現(xiàn)并拋棄的概率pa，迭代次數(shù)N_iter等。

步驟2 布谷鳥巢位置初始化。隨機(jī)初始化布谷鳥巢位置。

步驟3 運(yùn)行MOCS。種群中的每個(gè)布谷鳥巢位置執(zhí)行MOCS,如果滿足結(jié)束條件，跳出循環(huán);否則轉(zhuǎn)步驟4。

步驟4 布谷鳥位置優(yōu)劣比較。不滿足結(jié)束條件，啟動(dòng)混沌云模型，比較當(dāng)前個(gè)體布谷鳥巢適應(yīng)度和平均適應(yīng)度值favg，分出位置較差的布谷鳥巢和位置較好的布谷鳥巢。

步驟5 混沌理論優(yōu)化。位置較差的布谷鳥巢利用混沌理論優(yōu)化。用式(2)對(duì)位置較差的布谷鳥巢進(jìn)行Logistic映射產(chǎn)生新個(gè)體，產(chǎn)生更優(yōu)解則取代原位置。

步驟6 云模型優(yōu)化。位置較好的布谷鳥巢使用云模型來優(yōu)化。把位置較好的布谷鳥巢個(gè)體作為n維正態(tài)云云發(fā)生器的輸入，產(chǎn)生新的布谷鳥個(gè)體位置。如果為更優(yōu)位置，更新最優(yōu)值。

步驟7 替換最優(yōu)值。比較云模型和混沌理論分別尋優(yōu)的值，選出最優(yōu)值。

步驟8 終止條件。如果滿足結(jié)束條件，轉(zhuǎn)向步驟9; 若不滿足，N_iter=N_iter+1，返回步驟4。

步驟9 結(jié)束算法，輸出最優(yōu)結(jié)果。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

為了觀察混合算法求解多維優(yōu)化問題的性能，選擇測(cè)試環(huán)境為: 32位處理器Windows7，Matlab2012a。以下是5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的多目標(biāo)測(cè)試函數(shù)。

1)測(cè)試函數(shù)SCH:

f1(x)=x2,f2(x)=(x-2)2; -103≤x≤103

(3)

2)測(cè)試函數(shù)ZDT1:

(4)

(5)

其中:d是維數(shù)。Pareto前沿曲線為凸形，g=1時(shí)為理想Pareto曲線。以下ZDT2、ZDT3中的g與ZDT1中的相同。

3)測(cè)試函數(shù)ZDT2:

(6)

ZDT2函數(shù)的Pareto前沿曲線為凹形，g=1時(shí)為理想Pareto曲線。

4)測(cè)試函數(shù)ZDT3:

(7)

Pareto前沿曲線是分段的，在測(cè)試函數(shù)ZDT3中，f1的范圍為0到0.852，f2的范圍為-0.773到1。

5)測(cè)試函數(shù)LZ:

(8)

(9)

4.2 算法性能指標(biāo)

為驗(yàn)證CCMMOCS的性能，仿真的評(píng)價(jià)指標(biāo)主要有兩個(gè)：兩個(gè)函數(shù)分布之間的誤差估計(jì)或廣義距離(GeneralizedDistance,GD)及測(cè)得曲線的多樣性Δ。

根據(jù)文獻(xiàn)[6]，定義誤差表達(dá)式為：

(10)

其中:Pe、Pt分別代表所求前沿和理想Pareto前沿。不難發(fā)現(xiàn)Ef越接近于0，改進(jìn)越有效，越接近真實(shí)Pareto前沿。

根據(jù)文獻(xiàn)[10],GD是另一種用來表示所求Pareto與理想Pareto前沿趨近程度指標(biāo)，GD小，則求得的Pareto與理想Pareto差距小。GD的表達(dá)式如下：

其中：di為第i個(gè)布谷鳥巢與對(duì)應(yīng)理想Pareto前沿的歐氏距離。

Δ是算法多樣性的指標(biāo)，其表達(dá)式為：

(12)

4.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

在改進(jìn)程度方面，固定精度Tol=0.25，對(duì)迭代次數(shù)為500和1 000的CCMMOCS誤差進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果如表1所示。

表1 固定精度Tol=0.25時(shí)的誤差估計(jì)Ef

在不同算法的優(yōu)劣對(duì)比方面，選取近年來使用最廣泛的MOPSO，設(shè)置種群數(shù)為30，分別對(duì)不同維數(shù)的5個(gè)常用多目標(biāo)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行仿真測(cè)試，最大迭代次數(shù)為1 000，混沌擾動(dòng)半徑比例系數(shù)0.5，獨(dú)立運(yùn)行10次。Matlab仿真結(jié)果顯示在圖3中。由圖3可看出：MOPSO在求解多目標(biāo)優(yōu)化問題上精度不高，并且與理想Pareto曲線偏差較大，而CCMMOCS性能則遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于MOPSO。通過對(duì)比標(biāo)準(zhǔn)MOCS，由于云模型的引入更利于全局優(yōu)化，避免了落入局部收斂，可以明顯看出LZ函數(shù)及SCH函數(shù)(見圖3(a)和(b))更接近理想Pareto曲線，同時(shí)在均勻性和多樣性上也比標(biāo)準(zhǔn)MOCS要好；圖3(c)中，標(biāo)準(zhǔn)MOCS所得各點(diǎn)分布不均勻，而改進(jìn)的CCMMOCS波動(dòng)卻很?。粚?duì)于ZDT2函數(shù)(見圖3(d))，MOCS在搜索后期落入局部最優(yōu)，而CCMMOCS分布均勻，改進(jìn)效果也十分明顯；圖3(e)為ZDT3函數(shù)，改進(jìn)后的算法在收斂精度上優(yōu)于原有算法，但由于ZDT3函數(shù)前沿是分段的，改進(jìn)后的算法在尋優(yōu)過程中的分布相對(duì)其他幾個(gè)函數(shù)效果不甚明顯。

各算法所求GD的均值及方差以及Δ的均值及方差如表2～3所示。由表可以看出，CCMMOCS的GD及Δ均更接近于0，說明算法的改進(jìn)是有明顯效果的。

圖3 測(cè)試函數(shù)的Pareto前沿

算法SCHGDδ2ZDT1GDδ2ZDT2GDδ2ZDT3GDδ2LZGDδ2MOCS5.71E-058.44E-111.82E-044.50E-091.63E-043.97E-096.47E-051.44E-093.71E-035.09E-05CCM-MOCS8.76E-079.92E-127.73E-066.48E-110.95E-079.02E-111.98E-051.07E-102.06E-042.68E-06MOPSO4.68E-037.81E-107.79E-048.13E-058.05E-043.05E-053.40E-032.54E-047.82E-046.91E-05

表3 MOCS、CCMMOCS及MOPSO所求Δ的均值及方差

表4中選取了文獻(xiàn)中一些可用的結(jié)果，將其他算法與改進(jìn)的CCMMOCS作了對(duì)比，可以看出，在相同迭代次數(shù)和種群數(shù)條件下，CCMMOCS在五個(gè)測(cè)試函數(shù)的優(yōu)化中具有明顯優(yōu)勢(shì)，精度比其他算法高出4到5個(gè)數(shù)量級(jí)，改進(jìn)效果良好。

在算法復(fù)雜度方面，圖4以SCH函數(shù)為例，固定迭代次數(shù)為1 000時(shí)，CCMMOCS收斂所需次數(shù)明顯比MOPSO要少，比MOCS也有一定優(yōu)勢(shì)，減少了迭代次數(shù)，有一定的實(shí)用和推廣價(jià)值。

表4 不同算法的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)(n=50, N_iter=500)

圖4 測(cè)試函數(shù)SCH在不同算法中的收斂曲線對(duì)比

5 結(jié)語

在MOCS進(jìn)化機(jī)制的基礎(chǔ)上，利用云模型穩(wěn)定性與隨機(jī)性并存的優(yōu)點(diǎn)和混沌算法隨機(jī)遍歷的特性，提出結(jié)合混沌云多目標(biāo)布谷鳥搜索算法，顯著增強(qiáng)了算法均衡全局和局部的搜索能力。 實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析說明，CCMMOCS在求解精度、收斂速度和尋找全局最優(yōu)上都要優(yōu)于MOCS和文獻(xiàn)算法，Pareto前沿曲線更均勻，多樣性也有提高。但是云模型和混沌理論在一定程度上對(duì)算法的復(fù)雜度有影響，研究算法各參數(shù)與算法性能的聯(lián)系，并且將算法更好地應(yīng)用于生產(chǎn)生活中是下一步需要研究的內(nèi)容。

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ThisworkispartiallysupportedbytheDoctoralResearchStart-upFundsoftheTaiyuanUniversityofScienceandTechnology(20142003),theGraduateScienceandTechnologyInnovationProgramoftheTaiyuanUniversityofScienceandTechnology(20145019).

MA Yiyuan, born in 1991, M. S. candidate. Her research interests include electromagnetic compatibility, fault diagnosis.

SONG Weiping, born in 1960, Ph. D.,, associate professor. His research interests include modern control.

NING Aiping, born in 1974, Ph. D., lecturer. Her research interests include intelligent information processing, speech recognition.

NIU Haifan, born in 1991, M. S. candidate. Her research interests include electromagnetic compatibility, fault diagnosis.

Cuckoo search algorithm for multi-objective optimization based on chaos cloud model

MA Yiyuan*, SONG Weiping, NING Aiping, NIU Haifan

(School of Electronic Information Engineering, Taiyuan University of Science and Technology, Taiyuan Shanxi 030024, China)

Concerning that Cuckoo Search algorithm for Multi-objective Optimization (MOCS) has slow speed in the late iteration and being easy to fall into the local optimum, a new MOCS based on Chaos Cloud Model (CCMMOCS) was proposed. In the evolutionary process, chaos theory was used to optimize the positions of general nests in order to avoid falling into the local optimum; then the cloud model was used to optimize the position of some better nests to improve the accuracy; finally the better value of them was chosen as the best value for optimization. The simulation experiments on five general test functions in error estimated value and diversity index show that CCMMOCS is much better than MOCS, Particle Swarm Optimization algorithm for Multi-objective Optimization (MOPSO) and NSGA-Ⅱ. Its Pareto fronts are closer to the ideal curve than those of other algorithms and the distribution is more uniform.

Cuckoo Search algorithm for Multi-objective Optimization (MOCS); chaos theory; cloud model; Pareto front; function optimization

2016- 08- 15;

2016- 09- 14。

太原科技大學(xué)博士科研啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目(20142003);太原科技大學(xué)研究生科技創(chuàng)新項(xiàng)目(20145019)。

馬藝元(1991—),女,山西太原人,碩士研究生,主要研究方向：電磁兼容、故障診斷; 宋衛(wèi)平(1960—),男,山西運(yùn)城人,副教授,博士,主要研究方向：現(xiàn)代控制; 寧愛平(1974—),女,山西運(yùn)城人,講師,博士,主要研究方向：智能信息處理、語言識(shí)別; 牛海帆(1991—),女,山西晉中人,碩士研究生,主要研究方向：電磁兼容、故障診斷。

1001- 9081(2017)04- 1088- 05

10.11772/j.issn.1001- 9081.2017.04.1088

TP301.6

A