魏正元，羅云峰，余德英，王愛(ài)法

(重慶理工大學(xué) 理學(xué)院， 重慶 400054)

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基于已實(shí)現(xiàn)NGARCH模型的上證50指數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)度量

魏正元，羅云峰，余德英，王愛(ài)法

(重慶理工大學(xué) 理學(xué)院， 重慶 400054)

基于NGARCH模型刻畫(huà)了波動(dòng)率的杠桿效應(yīng)特征，在已實(shí)現(xiàn)GARCH模型的波動(dòng)率方程中引入杠桿參數(shù)的擾動(dòng)，建立了新的已實(shí)現(xiàn)NGARCH模型，并研究了新模型的動(dòng)態(tài)VaR估計(jì)問(wèn)題。上證50指數(shù)5 min頻率高頻數(shù)據(jù)VaR估計(jì)的返回測(cè)試結(jié)果表明：該新模型比已實(shí)現(xiàn)GARCH模型更好地刻畫(huà)了波動(dòng)率的杠桿效應(yīng)特征，在一定程度上提高了風(fēng)險(xiǎn)度量的預(yù)測(cè)精度。

金融高頻數(shù)據(jù)；杠桿效應(yīng)；已實(shí)現(xiàn)NGARCH；風(fēng)險(xiǎn)度量；Kupiec失敗率檢驗(yàn)

近年來(lái)，隨著電子化交易的普及和信息技術(shù)的快速發(fā)展，金融市場(chǎng)的波動(dòng)性也日趨激烈，如何更精確地度量金融風(fēng)險(xiǎn)引起了人們的高度關(guān)注。金融風(fēng)險(xiǎn)度量方法經(jīng)過(guò)半個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展已經(jīng)取得較大的進(jìn)展，其中以Morgan提出的VaR(value at risk) 的使用最為廣泛[1]。VaR表示在給定置信水平下，某個(gè)金融資產(chǎn)在未來(lái)觀測(cè)期內(nèi)可能承受的最大損失。置信水平為p的VaR被定義為

(1)

其中: {rt,t=1,…,n}表示日對(duì)數(shù)收益率序列；Pt-1表示截止于t-1期信息的條件概率。

如何估計(jì)資產(chǎn)收益的波動(dòng)率是金融風(fēng)險(xiǎn)度量的關(guān)鍵問(wèn)題，而波動(dòng)率的估計(jì)精度主要取決于模型的假設(shè)和數(shù)據(jù)的采集頻率。在金融計(jì)量中波動(dòng)率估計(jì)方面，以Bollerslev為代表的學(xué)者們提出的一系列GARCH族模型的應(yīng)用最為廣泛[2]。傳統(tǒng)的GARCH族模型是以低頻數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和存儲(chǔ)技術(shù)的快速發(fā)展，使得金融高頻數(shù)據(jù)越來(lái)越容易得到，且高頻數(shù)據(jù)比低頻數(shù)據(jù)包含了更豐富的市場(chǎng)信息，更受研究者的青睞。Andersen等[3]于2001年提出將高頻數(shù)據(jù)下的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率 (realized volatility,RV) 作為真實(shí)波動(dòng)率的估計(jì)量，使波動(dòng)率計(jì)算不需要假設(shè)模型，相對(duì)簡(jiǎn)潔。比較GARCH族模型和已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率不難發(fā)現(xiàn)：GARCH族模型刻畫(huà)了過(guò)去收益對(duì)當(dāng)前收益波動(dòng)的影響，但該族模型并不適合以高頻數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象的情況；已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的提出充分利用了高頻數(shù)據(jù)包含豐富市場(chǎng)信息的優(yōu)點(diǎn)，但已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率不能刻畫(huà)過(guò)去收益對(duì)當(dāng)前收益波動(dòng)的影響?；诖耍琀ansen等[4]于2012年提出了一種將GARCH模型結(jié)構(gòu)應(yīng)用于高頻數(shù)據(jù)的模型，稱為已實(shí)現(xiàn)GARCH (realized GARCH,R-GARCH)模型：

(2)

波動(dòng)率模型的假設(shè)直接影響波動(dòng)率的估計(jì)精度。為了提高估計(jì)量的準(zhǔn)確性，需要考慮波動(dòng)率的聚集性、長(zhǎng)記憶性及杠桿效應(yīng)等特征對(duì)估計(jì)精度的影響。聚集性是指某個(gè)金融資產(chǎn)在受到市場(chǎng)信息沖擊時(shí)，在某個(gè)觀測(cè)期內(nèi)資產(chǎn)收益的波幅較大，而在其他觀測(cè)期內(nèi)波幅較小。長(zhǎng)記憶性是指波動(dòng)率與滯后無(wú)窮階的波動(dòng)率都有相關(guān)性。杠桿效應(yīng)是指某個(gè)金融資產(chǎn)在受到市場(chǎng)信息沖擊時(shí)，波動(dòng)對(duì)大的正負(fù)收益的沖擊是不對(duì)稱的，對(duì)負(fù)的收益的沖擊更大[5]。針對(duì)波動(dòng)率特有的特征，Yan等[6]于2015年提出了高頻數(shù)據(jù)下的FIGARCH模型。研究結(jié)果表明：波動(dòng)率的聚集性和長(zhǎng)記憶性會(huì)直接影響波動(dòng)率的估計(jì)精度。Hansen等[7]于2016年提出了已實(shí)現(xiàn)EGARCH(Realized EGARCH)模型，該模型體現(xiàn)了過(guò)去多階誤差項(xiàng)對(duì)當(dāng)前收益大小變化的非對(duì)等影響。

波動(dòng)率的杠桿效應(yīng)特征影響波動(dòng)率的估計(jì)精度，從而影響金融資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)度量的準(zhǔn)確性。為此，本文基于NGARCH模型刻畫(huà)了波動(dòng)率的杠桿效應(yīng)特征，在已實(shí)現(xiàn)GARCH模型的波動(dòng)率方程中引入杠桿參數(shù)的擾動(dòng)，建立了已實(shí)現(xiàn)NGARCH (realized NGARCH,R-NGARCH) 模型。新引進(jìn)的杠桿參數(shù)刻畫(huà)了過(guò)去多階誤差項(xiàng)對(duì)當(dāng)前收益大小變化的非對(duì)稱擾動(dòng)，進(jìn)一步研究了杠桿效應(yīng)對(duì)金融風(fēng)險(xiǎn)度量精度的影響。

1 R-NGARCH(p,q) 模型

為了刻畫(huà)波動(dòng)率的杠桿效應(yīng)特征對(duì)波動(dòng)率的估計(jì)精度的影響，考慮在R-GARCH(p,q) 模型的波動(dòng)率方程中引入杠桿參數(shù)的擾動(dòng)，提出了如下的R-NGARCH(p,q) 模型：

其中θ為杠桿參數(shù)。由式 (3) 可以看出：R-NGARCH(p,q) 建立了條件方差ht關(guān)于ht-i(i=1,…,p)和已實(shí)現(xiàn)測(cè)度xt-j(j=1,…,q)的動(dòng)態(tài)方程，同時(shí)建立了已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率xt關(guān)于條件方差ht和杠桿參數(shù)θ的函數(shù)關(guān)系。

R-NGARCH(p,q) 模型實(shí)質(zhì)上是一個(gè)離散時(shí)間的隨機(jī)波動(dòng)率 (stochasticvolatility,SV) 模型，但由于波動(dòng)率的已實(shí)現(xiàn)測(cè)度的存在，因此R-NGARCH(p,q) 模型可以直接用極大似然估計(jì)(maximumlikelihoodestimator,MLE)方法來(lái)得到所有參數(shù)的估計(jì)值[8-11]。

假設(shè){zt}服從正態(tài)分布，由式 (3) 可計(jì)算出收益率序列{rt}的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

波動(dòng)率的預(yù)測(cè)過(guò)程可歸納為：首先，由極大似然估計(jì)方法計(jì)算出模型中所有參數(shù)的估計(jì)值；其次，由參數(shù)的估計(jì)值計(jì)算出初始條件方差h0的估計(jì)值；最后，將參數(shù)估計(jì)值和初始條件方差h0代入式 (3) 進(jìn)行迭代計(jì)算得到波動(dòng)率ht的預(yù)測(cè)值。

綜上，基于R-NGARCH (p,q) 模型的VaR度量的具體步驟為：

1) 對(duì)采集的金融高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，選取合適頻率的數(shù)據(jù)計(jì)算出已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率序列{xt}。本文選取5 min頻率的高頻數(shù)據(jù)。

2) 建立R-NGARCH(p,q)模型，采用樣本自相關(guān)函數(shù) (ACF) 來(lái)確定模型的階數(shù)，并對(duì)模型的估計(jì)方法進(jìn)行隨機(jī)模擬，驗(yàn)證模型參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性，最終計(jì)算出模型中所有參數(shù)的估計(jì)值。

3) 將參數(shù)估計(jì)值和初始條件方差h0代入式 (3)，迭代計(jì)算波動(dòng)率ht的預(yù)測(cè)值。

4) 假定置信水平，由該分位數(shù)值與波動(dòng)率的估計(jì)值得到VaR的預(yù)測(cè)值。

5) 基于實(shí)際金融數(shù)據(jù)對(duì)得到的VaR進(jìn)行Kupiec失敗率檢驗(yàn)，驗(yàn)證模型的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)精度。

2 實(shí)證分析

2.1R-NGARCH(p,q) 模型的隨機(jī)模擬

使用蒙特卡羅方法來(lái)檢驗(yàn)R-NGARCH(1,2) 模型的參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性。從正態(tài)隨機(jī)變量(均值為0，方差為1)中隨機(jī)抽取t=244個(gè)樣本(表示1年中244個(gè)交易日的日對(duì)數(shù)收益率序列)。將樣本數(shù)據(jù)代入模型計(jì)算出各個(gè)參數(shù)的估計(jì)值。該過(guò)程分別重復(fù)N1=500，N2=1 000，N3=1 500次。

表1給出了不同次數(shù)下R-NGARCH(1,2) 模型的隨機(jī)模擬結(jié)果。由表1可知：9個(gè)參數(shù)的真值與其估計(jì)均值非常接近，所有參數(shù)的均方誤差在5%的顯著性水平下均是顯著的；同時(shí)，隨著模擬次數(shù)的增加，參數(shù)估計(jì)均值更接近于參數(shù)真值，參數(shù)估計(jì)的均方誤差也越小。模擬結(jié)果表明：本文所采用的波動(dòng)率的估計(jì)方法具有較高的準(zhǔn)確性。

2.2 數(shù)據(jù)與樣本說(shuō)明

本文采用的數(shù)據(jù)為上證50指數(shù)2016年244個(gè)交易日的日對(duì)數(shù)收益率序列(圖1) 和5min頻率的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率序列(圖2)。圖1和圖2證實(shí)了波動(dòng)率存在聚集性和杠桿效應(yīng)等特征，說(shuō)明該數(shù)據(jù)比較適合用GRACH族模型來(lái)建模。數(shù)據(jù)來(lái)源為銳思數(shù)據(jù)庫(kù)(www.resset.cn)。

圖1 上證50指數(shù)2016年的日對(duì)數(shù)收益率

圖2 上證50指數(shù)2016年的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率

2.3 R-NGARCH (1,2) 模型的數(shù)據(jù)擬合

圖3為收益率的樣本ACF圖與樣本絕對(duì)值A(chǔ)CF圖。從圖3可以看出：收益率序列的相關(guān)性較弱，而絕對(duì)值收益率序列自第2階起序列間有較強(qiáng)的相關(guān)性，說(shuō)明收益率序列存在顯著的ARCH效應(yīng)，因此用R-NGARCH (1,2) 模型來(lái)擬合該數(shù)據(jù)。

圖3 對(duì)數(shù)收益率及絕對(duì)值收益率的ACF圖

表2為基于上證50指數(shù)5 min頻率高頻數(shù)據(jù)的R-NGARCH(1,2) 模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果。從表2可看出：參數(shù)的估計(jì)值在5%的顯著性水平下均是顯著的，表明參數(shù)的估計(jì)精度較好；φ1與φ2的估計(jì)值之和接近于1，說(shuō)明波動(dòng)率的已實(shí)現(xiàn)測(cè)度是真實(shí)波動(dòng)率的漸進(jìn)無(wú)偏估計(jì)；zt和θ為負(fù)相關(guān)，說(shuō)明杠桿參數(shù)θ對(duì)負(fù)的收益做出的反應(yīng)更為明顯，證實(shí)了杠桿效應(yīng)對(duì)波動(dòng)率的估計(jì)精度的影響。

將表2得到的參數(shù)估計(jì)值代入初始條件方差為h0的R-NGARCH(1,2) 模型進(jìn)行迭代計(jì)算波動(dòng)率ht，得到ht的估計(jì)值。為了驗(yàn)證該模型的估計(jì)精度，同時(shí)還計(jì)算出基于5 min頻率高頻數(shù)據(jù)的R-GARCH(1,2) 模型的波動(dòng)率的估計(jì)值。將兩種不同模型的波動(dòng)率的估計(jì)值代入式(1)計(jì)算出相應(yīng)的VaR，最終比較兩種不同模型的VaR預(yù)測(cè)的精度。

表1 基于不同次數(shù)下R-NGARCH (1,2) 模型的隨機(jī)模擬結(jié)果

表2 R-NGARCH(1,2) 模型的參數(shù)估計(jì)

2.4 VaR的返回測(cè)試

由于VaR是基于過(guò)去信息建模得出的未來(lái)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，因此無(wú)論采用哪種方法得到的有關(guān)金融資產(chǎn)收益的VaR，其實(shí)質(zhì)上都是一個(gè)估計(jì)值，需要對(duì)其預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性進(jìn)行返回值測(cè)試。VaR返回值測(cè)試的方法很多，其中最常用的是Kupiec[13]提出的失敗率檢驗(yàn)法。該方法的基本思想為：金融資產(chǎn)真實(shí)虧損超出風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的事件可看作服從0～1分布中發(fā)生的相互的獨(dú)立事件。定義示性變量：

(4)

原假設(shè)為H0:W<α(α為顯著性水平)，W=F/T，F(xiàn)為失敗天數(shù)(即真實(shí)虧損超過(guò)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的天數(shù))，T為實(shí)際觀測(cè)天數(shù)。Kupiec給出了其似然比統(tǒng)計(jì)量

(5)

在原假設(shè)條件下，統(tǒng)計(jì)量LR服從自由的為1的χ2分布，檢驗(yàn)p值為

(6)

如果p<0.05，則拒絕原假設(shè)；反之，不拒絕原假設(shè)。由p值的定義和LR統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造可知，當(dāng)檢驗(yàn)結(jié)果在5%的顯著性水平下不顯著時(shí)，p值越接近于置信水平，其VaR的預(yù)測(cè)結(jié)果就越精確。

圖4、5分別為在95%的置信水平下5min頻率高頻數(shù)據(jù)的R-GARCH(1,2) 模型與R-NGARCH(1,2) 模型的VaR預(yù)測(cè)結(jié)果。由圖4、5可知：在244個(gè)交易日中，R-GARCH(1,2) 模型有9d預(yù)測(cè)失效，R-NGARCH(1,2) 模型有13d預(yù)測(cè)失效。

表3為在95%的置信水平下兩種不同模型的VaR預(yù)測(cè)結(jié)果，并根據(jù)式(5)(6) 計(jì)算出對(duì)應(yīng)的LR統(tǒng)計(jì)量的p值。從表3可看出：R-GARCH(1,2) 模型預(yù)測(cè)收益的溢出率為3.69%，LR檢驗(yàn)的p值為0.325 1，測(cè)試結(jié)果在5%的顯著性水平下不顯著，但遠(yuǎn)小于置信水平，預(yù)測(cè)結(jié)果明顯高估了市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)；R-NGARCH(1,2) 模型預(yù)測(cè)收益的溢出率為5.33%，LR檢驗(yàn)的p值為0.816 1，測(cè)試結(jié)果在5%的顯著性水平下不顯著，且p值較接近于置信水平，其預(yù)測(cè)結(jié)果更為準(zhǔn)確。兩種不同模型的VaR測(cè)試結(jié)果表明：R-NGARCH模型的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)度量能力優(yōu)于R-GARCH模型。

圖4 95%的置信水平下R-GARCH(1,2) 模型的VaR預(yù)測(cè)圖

圖5 95%的置信水平下R-NGARCH(1,2) 模型的VaR預(yù)測(cè)圖

模型溢出天數(shù)溢出率/%LR檢驗(yàn)的p值R-GARCH(1,2)93.690.3251R-NGARCH(1,2)135.330.8161

注：溢出天數(shù)表示實(shí)際損失大于VaR的預(yù)測(cè)值，溢出率=(溢出天數(shù)/觀測(cè)天數(shù))×100%。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文基于NGARCH模型刻畫(huà)了波動(dòng)率的杠桿效應(yīng)特征，提出了R-NGARCH模型。在此基礎(chǔ)上，首先分析了R-NGARCH(p,q) 模型的金融風(fēng)險(xiǎn)度量方法，并列出具體操作步驟。其次，對(duì)R-NGARCH(1,2) 模型的估計(jì)方法進(jìn)行了蒙特卡羅模擬。模擬結(jié)果表明：新模型的參數(shù)估計(jì)值有較好的穩(wěn)健性。最后，基于R-NGARCH(1,2) 模型對(duì)上證50指數(shù)2016年244個(gè)交易日的收益率序列及5 min頻率的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率序列進(jìn)行了實(shí)證分析。結(jié)果顯示：R-NGARCH模型較好地體現(xiàn)了波動(dòng)率的杠桿效應(yīng)特征，模型的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)度量效果優(yōu)于R-GARCH模型，在一定程度上提高了風(fēng)險(xiǎn)度量的預(yù)測(cè)精度。

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(責(zé)任編輯 陳 艷)

Measure of Risk for SSE 50 Index Based on Realized NGARCH Model

WEI Zheng-yuan, LUO Yun-feng, YU De-ying, WANG Ai-fa

(College of Science, Chongqing University of Technology, Chongqing 400054, China)

We constructs a new realized NGARCH model by introducing perturbation of leveraged parameter in the volatility equations of the realized GARCH model, which is based on the leverage effect of volatility described by the NGARCH model. Further, we analyze the dynamic VaR estimation problem of the new model. Empirical analysis about the high-frequency data of Shanghai Stock Exchange 50 index shows that the new model is more suitable than the realized GARCH model in describing the leverage effect of volatility. By using our new model, we can improve the prediction accuracy of measure of risk in a certain extent.

high-frequency financial data; leverage effect; realized NGARCH; measure of risk; Kupiec proportion of failures test

2017-03-22 基金項(xiàng)目：國(guó)家統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)科研重點(diǎn)項(xiàng)目(2014Z25)；重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(KJ1500925,KJ1600930)；重慶理工大學(xué)研究生創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(YCX2015228)

魏正元(1975—)，男，湖北襄陽(yáng)人，博士，副教授，主要從事應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)、金融統(tǒng)計(jì)、金融數(shù)學(xué)研究,E-mail:zyweimath@163.com；羅云峰(1991—)，男，四川巴中人，碩士研究生，主要從事金融統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)分析相關(guān)研究。

魏正元，羅云峰，余德英，等.基于已實(shí)現(xiàn)NGARCH模型的上證50指數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)度量[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2017(5):180-185.

format：WEI Zheng-yuan, LUO Yun-feng, YU De-ying, et al.Measure of Risk for SSE 50 Index Based on Realized NGARCH Model[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(5):180-185.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.05.030

O21

A

1674-8425(2017)05-0180-06