◇劉善娜

遵循學(xué)路，建構(gòu)概念的本質(zhì)
——“周長(zhǎng)”教學(xué)實(shí)踐與思考

◇劉善娜

在教學(xué)“周長(zhǎng)”這節(jié)課之前，我對(duì)學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)“直線圖形”比較敏感，即描畫(huà)“直線圖形”的“一周”的正確率明顯高于描畫(huà)曲線圖形的“一周”的正確率；學(xué)生對(duì)“線段測(cè)量”具有經(jīng)驗(yàn)化操作反應(yīng)，也能借助測(cè)量工具（如所給的線）的暗示順利測(cè)量曲線圖形的周長(zhǎng)?；诖?，我對(duì)“周長(zhǎng)”一課做了幾點(diǎn)新嘗試。

片段一：從離學(xué)生“最近”的圖形出發(fā)，改“操場(chǎng)”為“長(zhǎng)方形桌面”

從前測(cè)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)“直線圖形”，特別是對(duì)長(zhǎng)方形、正方形“一周”的感知力遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于曲線圖形，因此，我決定從學(xué)生最有把握的長(zhǎng)方形桌面切入。

師：（出示一個(gè)桌面）小胖蟻想每天跑步鍛煉身體，它每天要繞這個(gè)桌面跑一圈。怎樣跑才叫跑一圈呢？請(qǐng)用水彩筆描一下小胖蟻的跑步路線。

師：（展示學(xué)生作品，如圖1）你贊同誰(shuí)描的路線是桌面的一圈？

圖1

生1：我認(rèn)同1號(hào)作品。繞著桌面跑一圈就應(yīng)該沿著桌面的邊跑，2號(hào)都跑到桌面外面去了。

生2∶2號(hào)這樣已經(jīng)多跑了，比一圈多了。

師：怎樣跑，正好是一圈？

生3：就是要沿著桌面的邊跑。

（師板書(shū)：沿著邊線）

生4：就是沿著這個(gè)長(zhǎng)方形的4條邊跑。

師：（課件演示，如圖2）4條邊，邊線AB，邊線 BC，邊線CD，邊線DA。

圖2

師：你想讓小胖蟻從哪里開(kāi)始跑？誰(shuí)來(lái)邊指邊說(shuō)？

生：小胖蟻從點(diǎn)A開(kāi)始跑，跑到點(diǎn)B，再跑到點(diǎn)C，跑到點(diǎn)D，最后回到點(diǎn)A。

（生邊指邊說(shuō)，師動(dòng)態(tài)演示）

師：剛才小胖蟻跑的時(shí)候，起點(diǎn)在哪里？沿著哪些邊線跑？終點(diǎn)在哪里？

生：小胖蟻從點(diǎn)A開(kāi)始跑,跑完邊線AB跑邊線BC，然后跑邊線CD，最后跑邊線DA，回到了點(diǎn)A。

師：（板書(shū)A→A）從點(diǎn)A出發(fā)，還可以怎樣跑一圈？

生：還可以從點(diǎn)A出發(fā)，依次跑到點(diǎn)D、點(diǎn)C、點(diǎn)B，再回到點(diǎn)A。

師：兩次跑，有什么共同點(diǎn)？

生：都是從點(diǎn)A出發(fā)回到點(diǎn)A，都是沿著長(zhǎng)方形桌面的邊線跑。

師：換個(gè)起點(diǎn)，會(huì)跑一圈嗎？誰(shuí)來(lái)？這一次起點(diǎn)在哪里？沿著邊線跑到了哪個(gè)終點(diǎn)？

從學(xué)生最熟悉的長(zhǎng)方形入手理解“一圈”，引出4條用字母命名的線段，助力其對(duì)周長(zhǎng)概念本質(zhì)的初步感知，并利用字母強(qiáng)化“起點(diǎn)”和“終點(diǎn)”的重合。

片段二：從學(xué)生已會(huì)的測(cè)線段開(kāi)始，直擊度量本質(zhì)，體驗(yàn)線段長(zhǎng)度累加

從前測(cè)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生會(huì)基于線段度量的經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)測(cè)量圖形中直邊的長(zhǎng)度。因此，我就從學(xué)生的這一經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，以長(zhǎng)方形4條邊線為素材直擊周長(zhǎng)的度量本質(zhì)，讓學(xué)生深度感悟周長(zhǎng)是線段長(zhǎng)度的累加。

師：那么，小胖蟻跑一周，跑了多長(zhǎng)呢？

生：可以量一量啊。

師：從點(diǎn)A出發(fā)，怎么量？

生：先量出邊AB，再量出BC、CD、DA。

師：這4條線段的長(zhǎng)度，小胖蟻的爸爸已經(jīng)測(cè)量出來(lái)了，依次是60cm、40cm、60cm、40cm。從點(diǎn)A出發(fā)，誰(shuí)會(huì)算小胖蟻跑一周的長(zhǎng)度？

生：60+40+60+40=200（cm）。

師：誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)式子中每個(gè)數(shù)的意思和算得的200厘米的意思？

（生答略）

圖3

師：小胖蟻從點(diǎn)B出發(fā)跑一周的長(zhǎng)度怎么算？

（生答略）

師：怎么都是200cm呀？

生：因?yàn)橐恢艿拈L(zhǎng)度就是這4條線段加起來(lái)的長(zhǎng)度。

師：說(shuō)得真好，這4條線段的長(zhǎng)度加起來(lái)得到的200cm就是這個(gè)長(zhǎng)方形桌面一周的長(zhǎng)度。

基于學(xué)生會(huì)自發(fā)測(cè)量、累加線段長(zhǎng)度的特點(diǎn)，將4條線段一段一段地從長(zhǎng)方形桌面上移下來(lái)，將“一周的長(zhǎng)度”直觀地一段一段羅列，直擊概念的度量本質(zhì)，進(jìn)一步感知“周長(zhǎng)”是一周各邊長(zhǎng)度的累加。

片段三：把動(dòng)態(tài)演示與靜態(tài)描畫(huà)相結(jié)合，感知“封閉”，深化“長(zhǎng)度”

周長(zhǎng)作為封閉圖形一周的長(zhǎng)度，是從靜態(tài)邊線的測(cè)量而得。如果把靜態(tài)邊線動(dòng)態(tài)展開(kāi)，使其脫離二維的面而被拉成一維的線段，就直觀地放大了周長(zhǎng)的一維長(zhǎng)度測(cè)量的本質(zhì)。在展開(kāi)之后再將一維空間的線動(dòng)態(tài)“合攏”，則能幫助學(xué)生更好地理解圖形的“封閉”，也能在“展開(kāi)”與“合攏”中滲透“化曲為直”和“守恒”的思想。

師：想象一下，如果把圍成這一周的4條邊線展開(kāi)來(lái)，會(huì)是什么形狀？

（生想象5秒后課件動(dòng)態(tài)演示，如圖4）

圖4

生：哇，一條長(zhǎng)長(zhǎng)的線！

生：變成一條線段了。

師：這條線段，怎么這一頭是點(diǎn)A,那一頭也是點(diǎn)A啊？

生：因?yàn)辄c(diǎn)A是起點(diǎn)，也是終點(diǎn)。

生：因?yàn)槭菑狞c(diǎn)A這里打開(kāi)的，閉合回去就還是點(diǎn)A。

師：好，那我們讓它再閉合回去，（動(dòng)態(tài)演示）發(fā)現(xiàn)什么？

生：點(diǎn)A和點(diǎn)A碰到一起了，變成一個(gè)點(diǎn)A了。

師：小朋友們，像這樣能圍起來(lái)的圖形才有一周的長(zhǎng)度，這樣的圖形就叫封閉圖形。

前面的4條線段一段一段排列和這里的“展開(kāi)”是有區(qū)別的，分段羅列后相加是突出各邊長(zhǎng)度累加，而封閉圖形的“一周”被展開(kāi)后是一條線，不僅凸顯了周長(zhǎng)的一維特性，而且滲透了“化曲為直”的策略，也有助于學(xué)生日后將周長(zhǎng)與面積概念進(jìn)行區(qū)分。

片段四：讓學(xué)生明確自己的度量需求，從提供多種工具到放手讓學(xué)生自己想辦法測(cè)量

如果給學(xué)生提供卷尺、線，其實(shí)是給學(xué)生一種暗示：直尺不行了，用另外的工具試試？如果不給學(xué)生提供卷尺和線，學(xué)生就會(huì)自己開(kāi)動(dòng)腦筋，呈現(xiàn)“原始粗糙”的但非常有價(jià)值的測(cè)算方法。因此，將這個(gè)測(cè)算過(guò)程分為兩段：先放手讓學(xué)生測(cè)算5個(gè)圖形或物品表面一周的長(zhǎng)度，交流困難點(diǎn)和策略，初步感知“化曲為直”；再提供曲線測(cè)量工具讓每個(gè)學(xué)生動(dòng)手測(cè)算，進(jìn)一步體驗(yàn)“化曲為直”。

師：請(qǐng)大家拿出1號(hào)信封，里面有1個(gè)瓶蓋，1片樹(shù)葉，1張周長(zhǎng)測(cè)算記錄表（如表1），要求同桌合作，測(cè)算出這5個(gè)圖形的周長(zhǎng)。時(shí)間：5分鐘。開(kāi)始！

表1 周長(zhǎng)測(cè)算記錄表

生：老師，我們只有尺子，只測(cè)算出了3個(gè)圖形的周長(zhǎng)。

生：（齊）我們也是。

師：小組再商量商量，想想辦法。

師：其實(shí)，數(shù)學(xué)家和小朋友們一樣，也是先把這些直線圖形的周長(zhǎng)測(cè)量方法研究出來(lái)了，那我們就先交流一下這3個(gè)圖形的周長(zhǎng)測(cè)量過(guò)程。

（答案交流略。投影1份全部采用線段一一累加方式計(jì)算周長(zhǎng)的表格，關(guān)注周長(zhǎng)概念的理解，不關(guān)注公式化的方法）

師：那這些由曲線圍成的圖形，它們的周長(zhǎng)怎么就不好測(cè)呢？

生：它們是曲曲彎彎的，尺子只能測(cè)量直直的。

師：曲曲彎彎的我們?cè)跀?shù)學(xué)上統(tǒng)稱為“曲”的，直的尺子不方便測(cè)量曲的邊。有沒(méi)有同學(xué)能想出辦法測(cè)量？（有三個(gè)學(xué)生舉手）那就請(qǐng)這三位同學(xué)和大家分享一下自己的方法。

生1：我把直尺轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)繞著瓶蓋，一圈下來(lái)，就可以了。

生2：他動(dòng)了，測(cè)不準(zhǔn)。

師：他能想到把直的尺子轉(zhuǎn)起來(lái)去測(cè)曲的邊，很好，但操作難度比較大。

生3：我是想用剪刀把這個(gè)瓶蓋展開(kāi)來(lái)，像剛才的桌面一樣打開(kāi)，拉成平平的一條線，就可以測(cè)量了。

師：一起想象一下，這一圈展開(kāi)會(huì)怎樣？

生3：展開(kāi)拉直成一條線就能測(cè)量了，可是，不好剪啊。

生4：我的辦法是，把這片樹(shù)葉對(duì)折、對(duì)折、再對(duì)折，再量出一段，數(shù)數(shù)有幾段，就可以算出全部的長(zhǎng)度了。

生5：我覺(jué)得這個(gè)辦法可以，這樣折啊，折啊，每一段就是直直的了。

師：折一折，也是想把曲的轉(zhuǎn)變成直的，把曲邊分割成很多段，每一段越小就越好測(cè)量。這個(gè)法子數(shù)學(xué)家求圓的周長(zhǎng)時(shí)也用過(guò)呢?，F(xiàn)在請(qǐng)你打開(kāi)2號(hào)學(xué)具包（內(nèi)有卷尺、毛線），想想用它們幫忙能否測(cè)量出較為準(zhǔn)確的周長(zhǎng)。

（匯報(bào)交流、小結(jié)略）

如果直接給學(xué)生測(cè)量的多種工具，學(xué)生能少走很多彎路。但是，這段追尋測(cè)算方法的路很有價(jià)值，不走這段路，學(xué)生就不會(huì)想出轉(zhuǎn)動(dòng)尺子、“展開(kāi)”瓶蓋、把軟軟的較對(duì)稱的樹(shù)葉對(duì)折再對(duì)折的方法。這些方法都直擊周長(zhǎng)概念的測(cè)量本質(zhì)，學(xué)生等于像數(shù)學(xué)家一樣走了一段曲線圖形周長(zhǎng)測(cè)算方法的尋求歷程，感受了六年級(jí)求圓的周長(zhǎng)中割圓術(shù)的思想萌芽，這種體驗(yàn)是非常必要的。遵循學(xué)路去認(rèn)識(shí)“周長(zhǎng)”，歸根結(jié)底，學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)、敏感點(diǎn)、興趣點(diǎn)，是引導(dǎo)學(xué)生去建構(gòu)概念本質(zhì)的重要的路徑導(dǎo)向點(diǎn)。

【本文系浙江省教育科研課題“小學(xué)數(shù)學(xué)相異構(gòu)想調(diào)正策略的行動(dòng)研究”（課題編號(hào)：02259）的階段性研究成果之一】

（作者單位：浙江寧波市奉化區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)。作者系朱樂(lè)平名師工作室“一課研究”團(tuán)隊(duì)成員）