■陜西省洋縣中學(xué) 朱永明 劉大鳴((特級教師))

聚焦高考變換中的解析幾何大題

■陜西省洋縣中學(xué) 朱永明 劉大鳴((特級教師))

高考中的解析幾何題,難度為中檔以上,主要考查求曲線軌跡方程的方法,圓錐曲線的定義與性質(zhì)應(yīng)用,各圓錐曲線之間的聯(lián)系,直線與圓錐曲線間的位置關(guān)系及弦長、中點弦、最值、定點、定值的探索問題等,其中直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是考查的重點和熱點,常與平面向量、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、方程、不等式等知識聯(lián)系在一起,考查知識點多,運算量大,能力要求高,本文圍繞如何尋找解決這種題型的技巧與捷徑來展開。

聚焦1——利用“點差法”簡化求解中點弦的有關(guān)問題

(1)求橢圓的標準方程;

(2)如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F,求直線l的方程。

解析：(1)由已知可得所以故橢圓的標準方程為

(2)橢圓的右焦點F(2,0)在橢圓內(nèi),滿足恒相交的前提,用點差法探究。如圖1,設(shè)線段MN的中點為Q(x0, y0),由三角形重心的性質(zhì)知又B(0,4),所以(2,-4)= 2(x0-2,y0),得x0=3,y0=-2,求得Q的坐標為(3,-2)。設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=6,y1+y2=-4。

圖1

感悟:求中點弦方程或垂直平分線的問題時常選用“點差法”。“點差法”必須以直線和圓錐曲線相交為前提,且注意直線斜率是否存在,當不存在時要特別驗證。“點差法”揭示了弦的斜率可以用弦的中點坐標來表示,在橢圓中,以P(x0,y0)為中點的弦所在直線的斜率為在雙曲線中,以P(x0,y0)為中點的弦所在直線的斜率為在拋物線y2= 2px(p〉0)中,以P(x0,y0)為中點的弦所在直線的斜率為。

聚焦2——由特殊情況猜想定值,再通過檢驗證明一般情況

解析：①當直線l過原點時,由橢圓的對稱性,可知

感悟:對于定值的探索性問題,我們可先特殊化處理,猜想問題的存在性,再作一般性的證明。這樣處理能為探究提供具體的方向,減少運算量。如本題中取平行直線系恒過原點,利用P、Q重合得到使探究是定值的問題簡單明朗化。

聚焦3——合理選擇參變量探究曲線恒過定點問題

解析：設(shè)直線PQ的方程為y=kx,由解得交點P、Q的坐標分別為

設(shè)M(0,yM),由A、M、P三點共線,得

設(shè)N(0,yN),同理由A、N、Q三點共線,得

感悟:本題探究以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點,需要將圓的方程(含參數(shù))寫出來,然后重點求M、N兩點的坐標。而M、N兩點是由直線PA、QA派生出來的,我們需要先探討P、Q的坐標。設(shè)直線PQ的方程為y=kx,通過解方程組求得各個量,引入?yún)⒘縦;直接設(shè)出P、Q的坐標,用參量x0,y0表示其他量,從而順利解決問題。

聚焦4——構(gòu)建兩條曲線交點的曲線系方程證明直線恒過定點

在平面直角坐標系xOy中,從拋物線C:y2=4x上的點P(1,2)引斜率分別為k1、k2的兩條直線l1、l2,直線l1、l2與C的異于點P的另一個交點分別為A、B,若k1k2=4,試探究:直線AB是否恒過定點?若恒過定點,請求出該定點的坐標;若不恒過定點,請說明理由。

解析：直線恒過定點的探究,建立直線系方程解出交點。設(shè)直線PA的方程為y-2= k1(x-1),直線PB的方程為y-2=k2(x-1),由整理得k1y2-4y+同理,得

因為k1k2=4,所以故所以直線AB的斜率,直線AB的方程為x-2,解出其交點為(0,-2),所以直線AB恒過定點(0,-2)。

感悟:利用題設(shè)寫出已知點(或直線)的坐標(或方程),設(shè)出未知點(或直線)的坐標(或方程),此時設(shè)的變量為參量,結(jié)合已知條件求出目標曲線的含參方程。常常將含參方程化成m(k)·f(x,y)+g(x,y)=0型,令與參數(shù)式m(k)相乘的式子f(x,y)=0,且g(x,y)=0解出交點,從而證明直線恒過定點。

聚焦5——構(gòu)建二元目標函數(shù)求最值

動點Q在橢圓C:2x2+y2=5上移動,兩定點為A(-,1),B,-1)。求△ABQ的面積最大時點Q的坐標。

解析：設(shè)點Q(x0,y0),則有5。直線AB的方程為x+2y=0,則點Q(x0,y0)到AB的距離且則△ABQ的面積:

根據(jù)能力提升規(guī)律，首先通過隨堂案例，進行單元知識的學(xué)習(xí)，每一/幾個模塊學(xué)習(xí)完成后，通過單元項目/階段實訓(xùn)，進行知識的鞏固和提升，課程學(xué)完之后，通過課程綜合實訓(xùn)，完成知識的靈活運用。

感悟:設(shè)出動點Q的坐標后,將目標轉(zhuǎn)化為二元函數(shù),可以不消元,將乘積2x0y0轉(zhuǎn)化為然后利用基本不等式求得△ABQ的面積的最大值,最后由2x+ y=5獲得定值。

聚焦6——利用平面幾何三點共線的條件求最值

圖2

感悟:橢圓上的點到橢圓內(nèi)一定點和一個焦點的距離之和的最小值,用定義轉(zhuǎn)化為橢圓上的點到另一個焦點和橢圓內(nèi)定點的距離之差的最大值,再用“兩邊之差小于或等于第三邊”求最值,即用求解。

聚焦7——探索性問題求解中的“特殊位置猜定點”和“肯定順推法”

圖3

(1)求橢圓E的方程。

(2)當直線l與x軸平行時,設(shè)直線l與橢圓相交于C、D兩點。如果存在定點Q滿足條件,則。所以Q點在y軸上,可設(shè)Q點的坐標為(0,y0)。

當直線l與x軸垂直時,設(shè)直線l與橢圓相交于M、N兩點,則M,解得y0=1或y0=2。

所以,若存在不同于點P的定點Q滿足條件,則Q點的坐標只可能為Q(0,2)。

當直線l的斜率不存在時,由上可知,結(jié)論成立。

當直線l的斜率存在時,可設(shè)直線l的方程為y=kx+1,A、B的坐標分別為(x1, y1)、(x2,y2)。聯(lián)立得(2k2+ 1)x2+4kx-2=0。其判別式Δ=16k2+ 8(2k2+1)〉0,所以因此2k。易知,點B關(guān)于y軸對稱的點的坐標為B1(-x2,y2)。

感悟:圓錐曲線中的探索性問題,首先用特殊位置探究定點或定值,然后采用“肯定順推法”進行推理。假設(shè)滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在,然后利用這些條件并結(jié)合題目的其他已知條件進行推理與計算,若不出現(xiàn)矛盾,就說明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值存在;若在推理與計算中出現(xiàn)了矛盾,則說明滿足條件的幾何元素或參數(shù)值不存在,同時推理與計算的過程就是說明理由的過程。本題中利用斜率不存在或斜率為0探究出滿足條件的特殊點Q,然后再進行推理,推理證明中用到直線和圓錐曲線位置研究的通法,特別引入對稱點證明三點共線將長度比值轉(zhuǎn)化為坐標的絕對值的比使問題簡單化,值得借鑒。

(責任編輯 王福華)