芮利翔
[摘 要]模糊貼近度的常用方法主要包括最大最小貼近度、算術(shù)平均最小貼近度、幾何平均最小貼近度、Hamming貼近度。本文在討論模糊對(duì)稱交互熵的數(shù)值特征基礎(chǔ)上,提出模糊對(duì)稱交互熵貼近度的概念和計(jì)算公式;在討論三角模糊集及權(quán)重、正態(tài)模糊集及權(quán)重的基礎(chǔ)上,提出模糊貼近度OWA加權(quán)平均的方法。最后以企業(yè)管理領(lǐng)域的模式識(shí)別為例,應(yīng)用專家測(cè)評(píng)方法,進(jìn)行被測(cè)樣本模式歸屬的實(shí)證研究。
[關(guān)鍵詞]模糊貼近度;OWA加權(quán);模式識(shí)別
doi:10.3969/j.issn.1673 - 0194.2017.12.060
[中圖分類號(hào)]F279.23 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]1673-0194(2017)12-0-03
模糊貼近度作為一種處理客觀研究對(duì)象不確定性的數(shù)學(xué)工具,在企業(yè)管理的控制、決策、推理等多個(gè)環(huán)節(jié)中有著廣泛的應(yīng)用。本文主要研究模糊貼近度在工商企業(yè)管理領(lǐng)域進(jìn)行模式識(shí)別的應(yīng)用。當(dāng)一個(gè)對(duì)象在諸多樣本標(biāo)準(zhǔn)中與某一樣本標(biāo)準(zhǔn)的貼近度最大,則認(rèn)為這一對(duì)象歸屬這一樣本是合理的,這就是最大貼近度原則。趙沁平對(duì)模糊集合的貼近度進(jìn)行了梳理和歸納。盧國祥提出了一種基于模糊信息的距離測(cè)度,即模糊對(duì)稱交互熵,指出模糊對(duì)稱交互熵可用于模式識(shí)別。本文的創(chuàng)新之處在于對(duì)模糊對(duì)稱交互熵進(jìn)行深入研究,揭示其數(shù)值的形態(tài)特征,提出模糊對(duì)稱交互熵貼近度的概念和方法,同時(shí),提出以下的論題:本文的任務(wù)不是羅列各種模式識(shí)別的方法,得出各種模式識(shí)別的結(jié)論,而是要在各種方法的基礎(chǔ)上,綜合出一種更為合理的結(jié)論。
1 模糊貼近度
常見的模糊貼近度用以下各式進(jìn)行表示。
定義1:設(shè)離散論域X={x1,x2,x3,…,xn},?和為X上的模糊子集,∨和∧表示通常的格運(yùn)算。
(1)最大最小貼近度
(1)
(2)算術(shù)平均最小貼近度
(2)
(3)幾何平均最小貼近度
(3)
(4)Hamming貼近度
(4)
2 模糊對(duì)稱交互熵貼近度
2.1 模糊對(duì)稱交互熵
盧國祥闡述了模糊對(duì)稱交互熵的定義。
定義2:設(shè)A=(μA(x1),μA(x2),…,μA(xn));B=(μB(x1),μB(x2),…,μB(xn))為兩個(gè)模糊向量。
對(duì)于某個(gè)xi,定義μA(xi)對(duì)μB(xi)的交互熵為:
于是兩個(gè)模糊集A對(duì)B的模糊交互熵(Fuzzy Cross Entropy,F(xiàn)CE)可定義為:
(5)
上述定義的模糊交互熵(FCE)只滿足非負(fù)性,但不滿足對(duì)稱性和三角不等式。所以對(duì)其進(jìn)行改進(jìn),提出如下的模糊對(duì)稱交互熵定義。
定義3:設(shè)A=(μA(x1),μA(x2),…,μA(xn));B=(μB(x1),μB(x2),…,μB(xn))為兩個(gè)模糊向量。
F(A||B)和F(B||A)分別是A對(duì)B和B對(duì)A的模糊交互熵。由此對(duì)應(yīng)A與B的模糊對(duì)稱交互熵(Fuzzy Symmetric Cross Entropy,F(xiàn)SCE)為:
D(A||B)=F(A||B)+F(B||A)(6)
文[2]中證明了模糊對(duì)稱交互熵具有非負(fù)性、對(duì)稱性,滿足三角不等式,因此構(gòu)成兩個(gè)模糊向量的度量。這在某種意義上可以表現(xiàn)為兩個(gè)模糊向量之間的距離。當(dāng)距離較大時(shí),可以認(rèn)為其較不“貼近”或“貼近”的度量較小;當(dāng)距離較小時(shí),可以認(rèn)為其較“貼近”或“貼近”的度量較大。顯然,模糊對(duì)稱交互熵用于模式識(shí)別也是可行的,只是它的度量和貼近度的度量意義正好相反。為了使模糊對(duì)稱交互熵和貼近度在相同意義下用于模式識(shí)別,對(duì)兩者的數(shù)值特性進(jìn)行比較是必要的。一個(gè)問題是模糊對(duì)稱交互熵的數(shù)值是不是和貼近度一樣滿足0≤σ≤1,下文進(jìn)行一個(gè)具體的數(shù)值計(jì)算。
2.2 模糊對(duì)稱交互熵的數(shù)值討論
例1:設(shè):A=(0.2,0.4,0.5,0.1);B=(0.2,0.3,0.5,0.2)
同樣可計(jì)算F(B||A)=0.066,于是D(A||B)=0.1254。
這一模糊對(duì)稱交互熵正好在[0,1],但是一般情況需要深入討論。從模糊對(duì)稱交互熵的計(jì)算公式可以看出,模糊對(duì)稱交互熵是關(guān)于兩個(gè)模糊向量的2n個(gè)隸屬度的多元函數(shù)。為了簡(jiǎn)化討論,又不失一般性,這里僅對(duì)兩個(gè)一元互補(bǔ)模糊向量進(jìn)行討論。
例2:設(shè):
例3:設(shè)
從例2和例3可以看出,模糊對(duì)稱交互熵是超出[0,1]的。并且當(dāng)A的隸屬度取值在0~0.5,隸屬度趨向于0時(shí),F(xiàn)(A||B)是增加的,隸屬度趨向于0.5時(shí),F(xiàn)(A||B)是減少的。
定理1:設(shè)模糊向量A=(1-x),B=(x);x∈[0,0.5]則:
(1)F(A||B)在所論區(qū)間上是遞減函數(shù);
(2);
(3);
證:(1)
求導(dǎo)數(shù)
故為遞減函數(shù)。
(2)
故,
(3)代入即可。
定理2:設(shè)模糊向量A=(1-x),B=(x);x∈[0,0.5]
則F(A||B)=F(B||A),于是D(A||B)=2F(A||B)=2F(B||A)證:
即得證明。
2.3 模糊對(duì)稱交互熵貼近度
有了上述簡(jiǎn)明情況作為基礎(chǔ),為了和貼近度有同樣的數(shù)值性質(zhì),現(xiàn)定義以下的模糊對(duì)稱交互熵的貼近度變換式是合適的。
定義4:設(shè)A=(μA(x1),μA(x2),…,μA(xn));B=(μB(x1),μB(x2),…,μB(xn))為兩個(gè)模糊向量。稱:
(7)
為模糊對(duì)稱交互熵貼近度,可記為FSCE貼近度,在本文中FSCE貼近度記為σ5(A,B)。
3 OWA加權(quán)平均
有了文中5種貼近度,可以進(jìn)行5種模式識(shí)別。它們的差別表達(dá)了各種不同方法對(duì)對(duì)象和樣本之間相似狀況的各種不同視角的反映。人們似乎不必在意其間的所謂優(yōu)劣,轉(zhuǎn)而對(duì)其進(jìn)行綜合處理是一種可行的方法。在處理時(shí),可以采取抑制極端值,提升中間值的OWA加權(quán)平均方法。
3.1 三角模糊集及權(quán)重
設(shè)有模糊集合B=(b1,b2,…,bi,…,bn)
bi為第i位評(píng)分者的評(píng)分值。0≤bi≤1,i=1,2,…,n?,F(xiàn)在論域U=R上建立三角模糊集
(8)
顯然,這是一個(gè)三角模糊集以為軸的對(duì)稱分布的圖形。
如,n=5,則其分布為:
(0.2, 0.6, 1, 0.6, 0.2)(9)
由于權(quán)重wi必須滿足wi∈[0,1],
所以對(duì)(8)式進(jìn)行歸一化處理,得基于三角模糊數(shù)的權(quán)重分布
(10)
由此,可得(9)式的權(quán)重分布為
(0.077 0,0.203 8,0.384 6,0.203 8,0.077 0)(11)
3.2 正態(tài)模糊集及權(quán)重
設(shè)有模糊集合B=(b1,b2,…,bi,…,bn)
bi為第i位評(píng)分者的評(píng)分值。0≤bi≤1,i=1,2,…,n現(xiàn)在論域U=R上建立正態(tài)模糊集:
(12)
其中
顯然,這是一個(gè)正態(tài)模糊集以為軸的對(duì)稱分布的圖形。
如,n=5,則其:
則其分布為:
(0.367 9,0.778 8,1,0.778 8,0.3679)(13)
對(duì)(12)式進(jìn)行歸一化處理,得基于正態(tài)模糊數(shù)的權(quán)重分布:
(14)
其中,i=1,2,…,n
于是式(13)變換為:
(0.112 0,0.236 0,0.304 0,0.236 0,0.112 0) (15)
3.3 OWA加權(quán)平均
1989年美國學(xué)者Yager提出OWA算子
設(shè)F:Rn→R,如果
(16)
其中,(a1,a2,…,an)為模糊向量,w=(w1,w2,…,wn)T是權(quán)重向量,其是與F相關(guān)聯(lián),由F所決定的。顯然,,aj∈[0,1]wj∈[0,1],且(j=1,2,…,n)。(b1,b2,…,bn)是把(a1,a2,…,an)重新由大到小排列后得到的,其第j大的數(shù)記為bj,即bj=σ(j)。
上述的F稱為n維OWA算子。OWA算子的關(guān)鍵之處在于,要對(duì)(a1,a2,…,an)這一表示評(píng)語集的數(shù)組按大到小重新排列,而對(duì)第j大的數(shù)據(jù)bj賦予wj的權(quán)重。這里wj只與第j個(gè)位置相關(guān),而這一位置放置的數(shù)據(jù)即為第j個(gè)大,或由大到小排列時(shí)居第j位。
第(16)式給出的加權(quán)是通常采用的(·,+)型加權(quán)。如果權(quán)重采用上述的三角模糊數(shù)型,或正態(tài)模糊數(shù)型,由于其中間位置取值較大,兩側(cè)對(duì)稱地取逐次遞減的較小的值。加權(quán)時(shí),將使中間位置的數(shù)值得以提升,而兩側(cè)、較大、較小的值得以抑制,達(dá)到了減弱極端值在整體評(píng)價(jià)中的比重的作用。
例,在對(duì)某一指標(biāo)評(píng)價(jià)中,有5位評(píng)分者,得到的評(píng)分向量為
(0.2,0.7,0.5,0.9,0.4)
按數(shù)值由大到小,重新排列后,得(0.9,0.7,0.5,0.4,0.2)
應(yīng)用(11)式所示的權(quán)向量,應(yīng)用OWA算子,所得的F值為:
(17)
bij為(a1j,a2j,a3j,a4j,a5j)依大到小,重新排列后第i大的值。即bij=σ(i)。
cj表示B與Aj的OWA綜合加權(quán)平均貼近程度。用它于模式識(shí)別具有抑制極端值,提升中間值的作用,比較科學(xué)客觀。
5 應(yīng)用實(shí)例
在工商企業(yè)管理領(lǐng)域有眾多需要進(jìn)行模糊模式識(shí)別的領(lǐng)域,如產(chǎn)業(yè)集群發(fā)展模式的識(shí)別、并購中目標(biāo)企業(yè)的評(píng)估、中小企業(yè)技術(shù)創(chuàng)新模式的選擇、新興商業(yè)模式的評(píng)測(cè),以及市場(chǎng)營(yíng)銷中難以通過準(zhǔn)確量化進(jìn)行衡量的質(zhì)量判定問題等。本文試通過實(shí)例確立基于OWA加權(quán)平均的模糊貼近度在模式識(shí)別問題領(lǐng)域的數(shù)學(xué)應(yīng)用模型。在管理學(xué)中常見的模式識(shí)別問題中,以A1、A2、A3、A4、A5、A6分別代表不同的標(biāo)準(zhǔn)模式;本實(shí)證研究選取各模式中最具代表性特征的Z1、Z2、Z3三個(gè)指標(biāo)為測(cè)評(píng)指標(biāo);B表示待估樣本。依據(jù)專家打分取均值的方法,確立標(biāo)準(zhǔn)模式及待估樣本的指標(biāo)數(shù)據(jù),并標(biāo)準(zhǔn)化到[0,1],從而建立模糊集合。如表2所示。
即σ5(A1,B)=0.6646
對(duì)于數(shù)據(jù)進(jìn)行從大到小的排列,且采用式(11)賦予的權(quán)重,根據(jù)式(17)計(jì)算得:C1=0.7631×0.0770+0.7452×0.2038+0.69×0.3846
+0.6646×0.2038+0.5939×0.0770=0.6572
同理可求C2、C3、C4、C5、C6。
的計(jì)算結(jié)果看,樣本的OWA綜合加權(quán)平均貼近度C2最高,表示樣本與A2集合最為貼近,可以判定待估樣本為A2標(biāo)準(zhǔn)模式。表中的其他數(shù)據(jù)提供了樣本與其他標(biāo)準(zhǔn)貼近的不同情況的信息,也有價(jià)值。
6 結(jié) 語
模糊貼近度是模糊數(shù)學(xué)中的重要理論,在模糊數(shù)學(xué)以及模糊信息處理中具有重要的理論和實(shí)際意義。本文梳理了各種模糊貼近度,還在此基礎(chǔ)上提出了模糊對(duì)稱交互熵貼近度的概念和方法。并且運(yùn)用OWA加權(quán)平均的方法,對(duì)5種模糊貼近度進(jìn)行均衡處理,得出了較為合理的識(shí)別結(jié)果。
主要參考文獻(xiàn)
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[2]盧國祥.一種基于模糊信息的距離測(cè)度及應(yīng)用[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2014(1).