劉迎春, 鄧世林, 張文福, 計(jì) 靜, 盧召紅, 李 洋

( 1. 東北石油大學(xué) 黑龍江省防災(zāi)減災(zāi)工程與防護(hù)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,黑龍江 大慶 163318； 2. 東北石油大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院,黑龍江 大慶 163318； 3. 南京工程學(xué)院 建筑工程學(xué)院, 江蘇 南京 211167 )

集中荷載作用下扭轉(zhuǎn)支撐懸臂梁彎扭屈曲分析

劉迎春1,2, 鄧世林1,2, 張文福1,3, 計(jì) 靜1,2, 盧召紅1,2, 李 洋1,2

( 1. 東北石油大學(xué) 黑龍江省防災(zāi)減災(zāi)工程與防護(hù)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,黑龍江 大慶 163318； 2. 東北石油大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院,黑龍江 大慶 163318； 3. 南京工程學(xué)院 建筑工程學(xué)院, 江蘇 南京 211167 )

采用能量變分法，建立集中荷載作用下扭轉(zhuǎn)支撐懸臂鋼梁彎扭屈曲的總勢(shì)能方程，選取6項(xiàng)三角級(jí)數(shù)表達(dá)的位移函數(shù)和轉(zhuǎn)角函數(shù)，引入無(wú)量綱參數(shù)，計(jì)算扭轉(zhuǎn)支撐懸臂鋼梁彎扭屈曲的無(wú)量綱臨界彎矩解析解；采用1stOpt數(shù)學(xué)優(yōu)化分析軟件,擬合扭轉(zhuǎn)支撐懸臂鋼梁無(wú)量綱臨界彎矩計(jì)算公式；采用ANSYS有限元分析軟件進(jìn)行驗(yàn)證，研究荷載作用位置對(duì)懸臂鋼梁彎扭屈曲強(qiáng)度的影響。結(jié)果表明，扭轉(zhuǎn)支撐懸臂鋼梁無(wú)量綱臨界彎矩計(jì)算公式具有較高的精確性，為懸臂梁設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性研究提供參考。

彎扭屈曲； 懸臂鋼梁； 扭轉(zhuǎn)支撐； 集中荷載； 能量變分法； 有限元法

0 引言

懸臂鋼梁是工程常用的結(jié)構(gòu)構(gòu)件之一，人們關(guān)注其穩(wěn)定性理論與試驗(yàn)研究。Clark J W等[1]把簡(jiǎn)支梁臨界彎矩公式用于懸臂梁計(jì)算，給出集中荷載和均布荷載作用下系數(shù)的取值范圍；對(duì)于矩形截面懸臂梁，Timoshenko S P等[2]利用Bessel函數(shù),研究?jī)煞N作用于截面剪心的橫向荷載，給出臨界荷載計(jì)算公式；Woolcock S T等[3]給出矩形截面和雙軸對(duì)稱(chēng)的工字型截面梁彎扭屈曲的數(shù)值解和試驗(yàn)解；對(duì)于橫向荷載作用于截面上翼緣、剪心和下翼緣三種工況，Wang C M等[4]利用能量法研究單軸對(duì)稱(chēng)懸臂梁的穩(wěn)定性，提出屈曲荷載的計(jì)算公式；Trahair N S[5]利用有限元分析方法，考慮荷載作用于截面不同高度的影響，研究雙軸對(duì)稱(chēng)懸臂梁，得到近似計(jì)算公式；Zhang L等[6]提出一種新的薄壁截面梁理論，利用能量法研究懸臂梁的整體穩(wěn)定性，得到懸臂梁的近似計(jì)算公式；秦樺等[7]考慮集中荷載作用于上翼緣、下翼緣工況，分析單軸對(duì)稱(chēng)工字型截面懸臂鋼梁的整體穩(wěn)定性，得到懸臂梁彎扭屈曲的臨界荷載，提出懸臂梁的等效彎矩系數(shù)、彈性整體穩(wěn)定系數(shù)和彈塑性整體穩(wěn)定系數(shù)的計(jì)算公式。

這些研究未考慮懸臂梁自由端受約束情況，在實(shí)際工程中，懸臂鋼梁通常在端部與其他構(gòu)件相連，如在常見(jiàn)的鋼結(jié)構(gòu)雨篷或其他懸挑結(jié)構(gòu)中，有縱向鋼梁或支撐構(gòu)件與橫向懸臂鋼梁連接，為鋼梁提供側(cè)向約束或扭轉(zhuǎn)約束作用，能夠提高懸臂鋼梁的穩(wěn)定性。Taylor A C等[8]用有限元方法研究受不同荷載作用的、跨中受約束作用的鋼梁的整體穩(wěn)定性；Mutton B R等[9]研究跨中設(shè)置側(cè)向支撐和扭轉(zhuǎn)約束的簡(jiǎn)支梁，用近似理論推導(dǎo)鋼梁的臨界荷載；Valentino J等[10]對(duì)跨中設(shè)置側(cè)向扭轉(zhuǎn)支撐的簡(jiǎn)支鋼梁進(jìn)行彈塑性彎扭屈曲分析，當(dāng)跨中設(shè)置扭轉(zhuǎn)支撐時(shí)，可以提高鋼梁的屈曲強(qiáng)度；吳勇軍[11]研究不同荷載作用下工字型截面簡(jiǎn)支鋼梁，當(dāng)跨中設(shè)置一道支撐且考慮支撐位置沿截面高度變化時(shí)，得出支撐作用位置對(duì)整體穩(wěn)定性的影響規(guī)律；趙滇生等[12]對(duì)兩端固定且受壓翼緣板有剛性側(cè)向支撐的H型截面鋼梁進(jìn)行整體穩(wěn)定承載力分析；岳潤(rùn)慧等[13]用有限元方法，采用兩種側(cè)向支撐的設(shè)置方案對(duì)狗骨式鋼梁進(jìn)行非線性屈曲分析，得到側(cè)向支撐間距對(duì)狗骨式鋼梁穩(wěn)定承載力的影響規(guī)律；陳紹蕃[14-15]對(duì)無(wú)側(cè)向約束和有側(cè)向約束的工字型截面鋼梁進(jìn)行承載力分析；Mohammadi E等[16]研究純彎作用下單軸對(duì)稱(chēng)的簡(jiǎn)支梁，提出彎扭屈曲公式和支撐剛度需求公式；Zhang W F等[17]利用能量變分原理，研究集中荷載和均布荷載作用下、具有側(cè)向彈性支撐懸臂梁的彎扭屈曲，并提出理論公式。

目前，對(duì)懸臂梁彎扭屈曲的研究較多，但是對(duì)懸臂鋼梁作用扭轉(zhuǎn)支撐研究的報(bào)道較少。筆者采用能量變分法，分析集中荷載作用下、具有扭轉(zhuǎn)支撐的懸臂鋼梁的彎扭屈曲，選取6項(xiàng)三角級(jí)數(shù)表達(dá)的位移函數(shù)和轉(zhuǎn)角函數(shù)，引入無(wú)量綱參數(shù)，得到集中荷載作用下懸臂鋼梁的無(wú)量綱臨界彎矩解析解；通過(guò)非線性數(shù)據(jù)擬合，提出集中荷載作用下扭轉(zhuǎn)支撐懸臂梁無(wú)量綱彎扭屈曲公式，并采用ANSYS有限元分析軟件進(jìn)行驗(yàn)證；同時(shí)研究荷載作用位置對(duì)懸臂鋼梁彎扭屈曲強(qiáng)度的影響。

1 能量變分法

圖1 集中荷載下扭轉(zhuǎn)支撐懸臂梁計(jì)算模型

Fig.1 Calculation diagram of cantilever beam with torsional bracing under concentrated load

懸臂梁截面為雙軸對(duì)稱(chēng)的工字型截面，其剪心S(0,0)和形心C(0,0)重合，扭轉(zhuǎn)支撐布置在懸臂梁懸臂端截面的剪心處，集中荷載作用下扭轉(zhuǎn)支撐懸臂梁計(jì)算模型見(jiàn)圖1，其中，L為懸臂鋼梁梁長(zhǎng)；Py為懸臂端集中荷載；R為扭轉(zhuǎn)支撐剛度；h為上下兩個(gè)翼緣形心之間的距離。集中荷載作用下扭轉(zhuǎn)支撐懸臂梁的彎扭變形見(jiàn)圖2，其中,u為截面剪

圖2 集中荷載作用下扭轉(zhuǎn)支撐懸臂梁的彎扭變形Fig.2 Flexural-torsional deformations of cantilever beam with torsional bracing

心的側(cè)向位移；θ為截面繞剪心的扭轉(zhuǎn)角；yF為以形心C(0,0)為坐標(biāo)原點(diǎn)的荷載作用點(diǎn)的y坐標(biāo)值；a為荷載作用位置參數(shù)，由截面剪心S(0,0)的y坐標(biāo)值減去橫向荷載作用點(diǎn)的y坐標(biāo)值得到。

1.1 基本假設(shè)

材料滿足胡克定律；鋼梁的側(cè)扭變形是微小的；發(fā)生側(cè)向彎曲和扭轉(zhuǎn)時(shí)，構(gòu)件截面形狀不變；忽略平面內(nèi)截面變形。

1.2 位移函數(shù)和轉(zhuǎn)角函數(shù)

選取6項(xiàng)三角級(jí)數(shù)的位移函數(shù)和轉(zhuǎn)角函數(shù)：

(1)

式中：Ai為平面外側(cè)向位移的不確定常量；Bi為扭轉(zhuǎn)角的不確定常量；z為懸臂梁在跨度方向所在截面到荷載作用點(diǎn)之間的距離，0≤z≤L。

6項(xiàng)三角級(jí)數(shù)位移函數(shù)和轉(zhuǎn)角函數(shù)應(yīng)滿足懸臂梁的邊界條件：

(2)

1.3 總勢(shì)能

無(wú)扭轉(zhuǎn)支撐作用的懸臂梁懸臂端受集中荷載作用的總勢(shì)能Πu表達(dá)式[18]為

(3)

扭轉(zhuǎn)支撐作用的懸臂梁扭轉(zhuǎn)支撐總勢(shì)能Ur表達(dá)式為

(4)

式(3-4)中：E為彈性模量；Iy為鋼梁繞y軸的慣性矩；u為截面剪心的側(cè)向位移；Iw為截面的翹曲慣性矩；θ為截面繞剪心的扭轉(zhuǎn)角；G為剪切模量；Jk為截面自由扭轉(zhuǎn)常數(shù)；Mx為繞截面強(qiáng)軸x的彎矩。

1.4 彎矩表達(dá)式

集中荷載作用下懸臂梁繞截面強(qiáng)軸x的彎矩Mx為

Mx(z)=-Py(L-z)。

(5)

1.5 無(wú)量綱屈曲方程

首先，將式(1)和式(5)代入式(3)，無(wú)扭轉(zhuǎn)支撐作用的懸臂梁懸臂端受集中荷載作用的總勢(shì)能表達(dá)式為

Πu=Π1+Π2+Π3+Π4+Π5,

(6)

其中

Π5=-Pyaθ2(L)=-(B1+B3+B5+B7+B9+B11)2Pya。

扭轉(zhuǎn)支撐作用的、懸臂梁懸臂端受集中荷載作用的總勢(shì)能Π表達(dá)式為

Π=Πu+Ur,

(7)

由最小勢(shì)能駐值原理[19-21]有

(8)

式(6-8)中：Π1、Π2、Π3為線性應(yīng)變能；Π4為屈曲后彎矩分量Mxθ在側(cè)彎曲率作的功；Π5為屈曲時(shí)外力作的功。

然后，引進(jìn)無(wú)量綱參數(shù)[22-23]有

(9)

將式(8)乘以L3/(EIyh2)，將式(9)代入式(8)并整理，寫(xiě)成分塊矩陣的形式，得到無(wú)量綱彎扭屈曲方程：

(10)

2 扭轉(zhuǎn)支撐懸臂鋼梁無(wú)量綱臨界彎矩計(jì)算公式

無(wú)扭轉(zhuǎn)支撐作用的懸臂梁臨界彎矩的計(jì)算公式[6]：

(11)

式中：a為荷載作用點(diǎn)到截面剪心(形心)的距離，當(dāng)荷載作用點(diǎn)位于剪心上時(shí)為正；C1、C2為與荷載作用方式相關(guān)的因數(shù)，其計(jì)算公式為

(12a)

(12b)

對(duì)于受扭轉(zhuǎn)支撐作用的懸臂梁，采用1stOpt擬合軟件，對(duì)獲得的79 526組無(wú)量綱彎扭屈曲強(qiáng)度解析解進(jìn)行非線性回歸，擬合集中荷載作用下扭轉(zhuǎn)支撐作用的懸臂梁無(wú)量綱臨界彎矩計(jì)算公式：

(13)

式中：a1,a2,a3,a4,a5為因數(shù)，取值見(jiàn)表1。

表1 式(13)量綱一臨界彎矩參數(shù)取值

3 模型驗(yàn)證

3.1 有限元模型建立

采用ANSYS有限元軟件的SHELL63單元模擬工字型懸臂鋼梁。SHELL63作為薄壁單元，對(duì)彎曲變形采用經(jīng)典的直線法假定，具有考慮板件彎曲變形和板面內(nèi)薄膜變形的能力；每個(gè)單元有6個(gè)自由度，具有大變形和應(yīng)力剛化的能力。采用COMBINE14彈簧單元模擬扭轉(zhuǎn)支撐，定義繞z軸的扭轉(zhuǎn)剛度R的取值，扭轉(zhuǎn)支撐設(shè)置在懸臂梁懸臂端剪心處。在單元?jiǎng)澐诌^(guò)程中，沿翼緣寬度方向分為8份，沿腹板高度方向分為8份，沿長(zhǎng)度方向分為240份。建立的有限元模型見(jiàn)圖3。為滿足剛周邊假定，采用ANSYS有限元軟件的 CERIG 命令，沿梁跨度方向在各個(gè)截面建立繞z軸約束方程，以形成剛性區(qū)域。剛性區(qū)域沿梁長(zhǎng)方向的分布見(jiàn)圖4。

3.2 邊界約束

為滿足理想的邊界條件,對(duì)于懸臂梁固定端支座，約束該截面上各節(jié)點(diǎn)所有自由度，即限制固定端截面在x、y和z方向的位移，以及繞x、y和z方向的轉(zhuǎn)角。自由端截面無(wú)任何約束。施加的懸臂梁邊界條件見(jiàn)圖5。

3.3 結(jié)果驗(yàn)證

首先選取兩種國(guó)標(biāo)H型鋼，分別為H500 mm×200 mm×10 mm×16 mm(L=8 m)和H600 mm×200 mm×11 mm×17 mm(L=10 m)，進(jìn)行特征值屈曲分析[24]，計(jì)算臨界屈曲荷載，進(jìn)而獲得臨界彎矩有限元解析解。然后進(jìn)行集中荷載作用的屈曲彎矩理論值與有限元解析解對(duì)比，荷載作用點(diǎn)分別取上翼緣、剪心、下翼緣，結(jié)果見(jiàn)圖6和表2。懸臂梁作用扭轉(zhuǎn)支撐屈曲模態(tài)見(jiàn)圖7。

圖3 懸臂梁作用扭轉(zhuǎn)支撐有限元模型Fig.3 FEM model of cantilever steel beam with torsional bracing

圖4 懸臂梁剛性區(qū)域沿梁長(zhǎng)方向的分布Fig.4 Distribution of the rigid region along the length of beam

圖5 懸臂梁邊界條件Fig.5 Boundary conditions of cantilever beam

由圖6和表2可以看出，在一定范圍內(nèi)，隨著扭轉(zhuǎn)支撐剛度的增加，懸臂梁的屈曲彎矩也隨之增加，施加扭轉(zhuǎn)支撐能夠提高懸臂梁的彎扭屈曲強(qiáng)度。同時(shí)，有限元計(jì)算結(jié)果與理論結(jié)果吻合良好，且計(jì)算的最大誤差在工程允許誤差(±5%)內(nèi)，表明文中公式有較高的精確度。

3.4 荷載位置

選取兩種國(guó)標(biāo)H型鋼，分別為H300 mm×200 mm×8 mm×12 mm(L=6 m)和H496 mm×199 mm×9 mm×14 mm(L=8 m)，研究荷載作用位置對(duì)懸臂梁彎扭屈曲強(qiáng)度的影響，結(jié)果見(jiàn)圖8。由圖8可以看出，荷載位置對(duì)懸臂梁彎扭屈曲強(qiáng)度的影響較大，荷載作用于下翼緣時(shí)，懸臂梁彎扭屈曲強(qiáng)度最大；作用于剪心時(shí)，次之；作用于上翼緣時(shí)，懸臂梁彎扭屈曲強(qiáng)度最小。

圖6 懸臂梁理論分析與有限元分析結(jié)果Fig.6 Comparison of theoretical analysis and finite element analysis

圖7 懸臂梁作用扭轉(zhuǎn)支撐屈曲模態(tài)

aH500mm×200mm×10mm×16mm(L=8m)H600mm×200mm×11mm×17mm(L=10m)RMcr(FEM)/(kN·m)Mcr(式(13))/(kN·m)相對(duì)誤差/%RMcr(FEM)/(kN·m)Mcr(式(13))/(kN·m)相對(duì)誤差/%0.50-0.50243.82248.872.030235.62240.221.9120429.79448.094.0820373.22382.722.4840522.78520.67-0.4140445.93444.26-0.3860570.54559.80-1.9260485.78478.18-1.5980597.70584.70-2.2280509.53500.06-1.89100614.71602.02-2.11100524.92515.42-1.84150637.83628.54-1.48150546.45539.16-1.35200649.38643.34-0.94200557.52552.53-0.90250656.31652.54-0.58250564.20560.89-0.590433.29438.771.250383.69387.390.9620540.07544.480.8120462.39470.821.7940583.44585.980.4340498.13505.641.4860606.81606.75-0.0160518.43522.790.8380621.33619.38-0.3180531.47533.160.32100631.20627.95-0.52100540.55540.17-0.07150646.06640.94-0.80150554.46550.81-0.66200654.32648.40-0.91200562.33556.97-0.96250659.54653.38-0.94250567.40561.13-1.120558.68564.070.960479.48484.120.9620595.44594.45-0.1720509.45509.850.0840614.92612.30-0.4340526.30525.12-0.2260627.17623.41-0.6060537.23534.79-0.4680635.62631.08-0.7280544.93541.52-0.63100641.81636.72-0.80100550.66546.51-0.76150651.85646.03-0.90150560.16554.85-0.96200657.94651.84-0.94200565.98560.09-1.05250661.99655.91-0.93250569.91563.79-1.09

圖8 懸臂梁荷載作用位置的影響Fig.8 Effect of loading position of cantilever beam

4 結(jié)論

(1)根據(jù)扭轉(zhuǎn)支撐懸臂梁的能量方程，采用能量變分法，引入無(wú)量綱參數(shù)，對(duì)集中荷載作用下扭轉(zhuǎn)支撐懸臂梁進(jìn)行彎扭屈曲分析，給出不同荷載作用位置的集中荷載作用下扭轉(zhuǎn)支撐懸臂梁無(wú)量綱彎扭屈曲的理論計(jì)算公式。經(jīng)過(guò)有限元分析驗(yàn)證，公式具有較高的精度，可為工程設(shè)計(jì)提供參考。

(2)隨著扭轉(zhuǎn)支撐剛度的增加，懸臂梁的彎扭屈曲強(qiáng)度也隨之增大。在工程實(shí)踐中，在懸臂梁端設(shè)置扭轉(zhuǎn)支撐(如與之側(cè)向連接的工字型鋼梁)對(duì)提高懸臂鋼梁的穩(wěn)定性是有利的。

(3)對(duì)于具有扭轉(zhuǎn)支撐的懸臂鋼梁，荷載作用位置影響彎扭屈曲的臨界彎矩。當(dāng)荷載作用于懸臂梁端的下翼緣時(shí)，臨界彎矩最大；作用于剪心時(shí)，次之；作用于上翼緣時(shí)，臨界彎矩最小。

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2017-02-27；編輯：任志平

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51178087；51578120)；中國(guó)石油科技創(chuàng)新基金研究項(xiàng)目(2016D-5007-0608)；東北石油大學(xué)校青年科學(xué)基金項(xiàng)目(NEPUQN2014-25)；南京工程學(xué)院科研基金項(xiàng)目(YKJ201617)；國(guó)家自然科學(xué)基金東北石油大學(xué)校培育基金項(xiàng)目(NEPUPY-1-16)；東北石油大學(xué)校級(jí)研究生創(chuàng)新科研項(xiàng)目(YJSCX2016-031NEPU)；黑龍江省教育廳科研專(zhuān)項(xiàng)經(jīng)費(fèi)東北石油大學(xué)優(yōu)勢(shì)科研方向凝練基金項(xiàng)目(2016YSFX-02)；黑龍江省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練重點(diǎn)項(xiàng)目(201610220015)

劉迎春(1980-)，女，博士研究生，副教授，主要從事土木結(jié)構(gòu)工程方面的研究。

TU392.1;TU311.2;TU318.1

A

2095-4107(2017)03-0103-08

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2017.03.011