邱光琦 黃思? 古瑩奎

(1．華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院, 廣東 廣州 510640;2.江西理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院, 江西 贛州 341000)

多狀態(tài)系統(tǒng)的動態(tài)可靠性度量及重要度分析*

邱光琦1黃思1?古瑩奎2

(1．華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院, 廣東 廣州 510640;2.江西理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院, 江西 贛州 341000)

為有效表征性能退化條件下多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠性,確定各組件(狀態(tài))對系統(tǒng)的影響,文中對性能狀態(tài)進(jìn)行分析,提出了新的動態(tài)可靠性度量指標(biāo)和性能水平限制下的重要度計算方法.首先,針對多狀態(tài)系統(tǒng)馬爾可夫過程的組合爆炸問題,應(yīng)用通用生成函數(shù)法求解系統(tǒng)(組件)各狀態(tài)的概率和可靠度、性能狀態(tài)期望值、性能狀態(tài)平均期望值和性能狀態(tài)駐留時間長度等4種動態(tài)可靠性度量指標(biāo).然后,為滿足系統(tǒng)(組件)的不同性能需求,綜合評估各組件(狀態(tài))對系統(tǒng)的影響,用性能期望值定義了給定性能水平下的Birnbaum重要度、Fussell-Vesely重要度、風(fēng)險業(yè)績值和風(fēng)險降低值.四缸柴油機(jī)燃油供給系統(tǒng)的實(shí)例結(jié)果表明,文中方法既可準(zhǔn)確地求解系統(tǒng)及其組件(油泵和噴油閥)的性能狀態(tài)概率,以及性能退化條件下各性能狀態(tài)的可靠度、期望值、平均期望值和駐留時間長度,又能根據(jù)性能水平限制下的4種重要度綜合評估各性能狀態(tài)及組件對系統(tǒng)的影響,有助于識別出系統(tǒng)最薄弱的環(huán)節(jié),提高系統(tǒng)可靠性.

多狀態(tài)系統(tǒng);可靠性;馬爾可夫過程;動態(tài)可靠性度量;性能水平約束;重要度

傳統(tǒng)可靠性理論將系統(tǒng)假設(shè)為工作狀態(tài)和完全失效狀態(tài),在此假設(shè)條件下涌現(xiàn)出了大量的可靠性評估方法,如故障樹和貝葉斯方法等[1],并應(yīng)用于核電站、宇航、機(jī)械和化工等領(lǐng)域.然而,深入研究工程實(shí)際問題后發(fā)現(xiàn),傳統(tǒng)可靠性理論表現(xiàn)出諸多局限性,如無法描述多失效模式和多性能系統(tǒng)[2].實(shí)際上，由于振動沖擊、負(fù)載以及疲勞損傷等的作用,使得系統(tǒng)性能逐漸劣化,系統(tǒng)從正常工作到完全失效需要經(jīng)歷一系列中間過渡狀態(tài)(即性能狀態(tài)),這些中間狀態(tài)既可能是連續(xù)的,如系統(tǒng)隨著損傷累積而不斷連續(xù)衰退,也可以是離散的,如系統(tǒng)從性能較高的狀態(tài)跳轉(zhuǎn)到性能較低的狀態(tài),并且各個狀態(tài)的失效規(guī)律可能不盡相同,此時系統(tǒng)呈現(xiàn)出多狀態(tài)特性,而多狀態(tài)信息往往對揭示復(fù)雜系統(tǒng)失效機(jī)理、剩余使用壽命以及提高系統(tǒng)效率和經(jīng)濟(jì)性至關(guān)重要[3].

多狀態(tài)系統(tǒng)的定義及可靠性概念在20世紀(jì)70年代首次被提出[4],隨后幾十年其可靠性理論不斷完善和發(fā)展.現(xiàn)有多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠性建模方法主要有由二態(tài)系統(tǒng)布爾模型擴(kuò)展而成的多值模型[5]、隨機(jī)過程模型[6]、通用生成函數(shù)法[7]和Monte-Carlo仿真[8]等,文獻(xiàn)[9]已對現(xiàn)有多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性建模方法進(jìn)行了分析和總結(jié).然而,由于外部環(huán)境和設(shè)備老化等因素的影響,系統(tǒng)(組件)性能往往處于動態(tài)變化的過程,現(xiàn)有多狀態(tài)可靠性度量指標(biāo)多數(shù)由傳統(tǒng)可靠性度量指標(biāo)擴(kuò)展而來[10],未考慮系統(tǒng)性能退化的影響,均無法有效地描述和表征系統(tǒng)性能的退化程度.目前,人們已對多狀態(tài)系統(tǒng)重要度做了大量的研究工作,如曾亮等[11]給出了其定義及計算公式,Li等[12]給出了多狀態(tài)系統(tǒng)多值決策圖的重要度計算方法.然而,系統(tǒng)在運(yùn)行過程中受到各因素的影響而導(dǎo)致性能需求不同,因此研究性能水平限制下的重要度計算方法更貼近現(xiàn)實(shí)[13].

文中在已有研究[9,13- 16]基礎(chǔ)上,充分考慮了系統(tǒng)性能的退化規(guī)律,結(jié)合通用生成函數(shù)法給出了能表征系統(tǒng)性能退化程度的動態(tài)可靠性度量指標(biāo),并探討在不同性能水平劃分下各組件(狀態(tài))的重要度,確定組件(狀態(tài))對系統(tǒng)的影響,識別出系統(tǒng)的最薄弱環(huán)節(jié),以提高多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠性.

1 基于通用生成函數(shù)法的多狀態(tài)系統(tǒng) 可靠性分析

多狀態(tài)系統(tǒng)由多狀態(tài)組件通過布爾邏輯關(guān)系組合而成,不同組件有不同的性能狀態(tài),而每個性能狀態(tài)都對應(yīng)一個性能水平值[13].假設(shè)系統(tǒng)由n個組件構(gòu)成,第j(j∈{1,2,…,n})個組件有i(i∈{1,2,…,Kj})個性能狀態(tài)(Kj為第j個組件的最佳性能狀態(tài),1為最差性能狀態(tài),從最佳性能狀態(tài)到最差性能狀態(tài)Kj→1,組件的性能水平逐漸下降);在t時刻,第j個組件的性能狀態(tài)i的性能水平值為gji,則第j個組件的性能水平分布為Gj(t)={gj1,gj2,…,gjKj}.Ln={g11,g12,…,g1k1}×{g21,g22,…,g2k2}×…×{gn1,gn2,…,gnkn}為多狀態(tài)系統(tǒng)所有可能的性能水平值集合,此時多狀態(tài)系統(tǒng)性能狀態(tài)集為{1,2,…,K},共有K個性能狀態(tài)(K表示系統(tǒng)最佳性能狀態(tài),1表示最差性能狀態(tài),從性能狀態(tài)K→1時系統(tǒng)性能水平逐漸下降),K個性能狀態(tài)相應(yīng)的性能水平值集為WK={g1,g2,…,gK}.注意系統(tǒng)及其組件性能狀態(tài)必須大于等于2,即K≥2和Kj≥2.實(shí)際上,傳統(tǒng)可靠性理論假設(shè)為工作和完全失效兩種狀態(tài),是多狀態(tài)系統(tǒng)的最簡形式,即系統(tǒng)及其組件性能狀態(tài)等于2的情況(K=2和Kj=2),它們之間的唯一區(qū)別在于結(jié)構(gòu)函數(shù):

(1)

目前多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性分析大多假定系統(tǒng)服從馬爾可夫性質(zhì),然后根據(jù)布爾邏輯關(guān)系建立柯爾莫哥洛夫微分方程組,從而求解出各性能狀態(tài)的可靠性度量指標(biāo).此方法計算繁瑣且費(fèi)時,并且由于系統(tǒng)及其組件結(jié)構(gòu)復(fù)雜,系統(tǒng)及其組件之間往往存在交互、耦合等情況,隨著組件數(shù)的增加,系統(tǒng)性能狀態(tài)呈指數(shù)增加.如一個含有n個組件的系統(tǒng),每個組件有n個性能狀態(tài),則系統(tǒng)將擁有nn個性能狀態(tài),存在狀態(tài)空間組合爆炸問題[17].采用通用生成函數(shù)法在一定程度上可緩解狀態(tài)空間組合爆炸問題,因此先根據(jù)馬爾可夫過程理論建立柯爾莫哥洛夫微分方程組對組成系統(tǒng)的各組件進(jìn)行可靠性分析,再根據(jù)組件布爾邏輯關(guān)系組合，利用通用生成函數(shù)法對系統(tǒng)可靠性進(jìn)行分析,可有效地減輕計算復(fù)雜度[18].多狀態(tài)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)為串聯(lián)時,其輸出性能水平等于最壞單元性能,其通用生成函數(shù)User為[7]

(2)

式中,pji(t)表示t≥0時第j個組件處于第i個性能狀態(tài)的失效概率.

多狀態(tài)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)為并聯(lián)時,其輸出性能水平有兩種情況:協(xié)同型或競爭型.當(dāng)為協(xié)同型時,輸出性能水平具有相加性;當(dāng)為競爭型時,輸出性能水平為最壞單元性能.通用生成函數(shù)Upar為[7]

(3)

2 多狀態(tài)系統(tǒng)的可靠性度量和重要度 分析

2.1 動態(tài)可靠性度量

多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性度量指標(biāo)(如可靠度、失效概率、平均壽命和有效度等)未考慮到系統(tǒng)性能退化的影響,無法有效地描述和表征性能退化程度[10].文中考慮了劣化(衰退)或外部環(huán)境因素對系統(tǒng)的影響,認(rèn)為系統(tǒng)及其組件的性能水平處于動態(tài)變化的過程,系統(tǒng)從最佳性能狀態(tài)到完全失效狀態(tài)需要經(jīng)歷K個性能狀態(tài),性能狀態(tài)從K變到1時系統(tǒng)及其組件性能水平逐漸降低,可以從較高的性能狀態(tài)退化到更低的相鄰性能狀態(tài)或更低的其他性能狀態(tài),正常情況下無法從較低性能狀態(tài)遷移到較高的性能狀態(tài).為有效地表征系統(tǒng)及其組件性能退化情況下的可靠性,文中對性能退化情況下的性能狀態(tài)做進(jìn)一步分析,從概率角度定義,假定性能狀態(tài)服從馬爾可夫性質(zhì),從而給出不同性能狀態(tài)需求下系統(tǒng)及其組件的可靠度、性能狀態(tài)期望值、性能狀態(tài)平均期望值、性能狀態(tài)駐留時間長度等動態(tài)可靠性度量指標(biāo).可靠度表示系統(tǒng)在規(guī)定條件和規(guī)定時間內(nèi)完成規(guī)定功能的概率,定義在不同性能狀態(tài)i(i=1,2,…,K)下系統(tǒng)的可靠度為

(4)

式中,pi+1(t)為i+1性能狀態(tài)的失效概率.

為表征系統(tǒng)及其組件的平均性能狀態(tài)水平,定義性能狀態(tài)期望為

(5)

為表征給定時間[0,t0]內(nèi)系統(tǒng)及其組件性能狀態(tài)的退化程度,定義瞬態(tài)性能狀態(tài)平均期望值為

(6)

狀態(tài)i累積駐留時間期望或者說平均壽命(MTTF)為

(7)

則性能狀態(tài)i駐留時間長度為

(8)

2.2 性能水平α劃分下的重要度

(9)

式中,ph(t)為性能狀態(tài)h的失效概率,p≤α(t)為≤α的失效概率,p>α(t)為>α的失效概率.此時,系統(tǒng)(組件)的狀態(tài)概率為p(t)=p≤α(t)+p>α(t).

在性能水平α劃分下,系統(tǒng)(組件)的輸出性能水平期望為[15]

(10)

此時,系統(tǒng)(組件)的輸出性能水平期望為E(G(t))=p≤α(t)E≤α(G(t))+p>α(t)E>α(G(t)).

在性能水平α劃分下,系統(tǒng)(組件)的u函數(shù)為[15]

(11)

重要度表示由于系統(tǒng)中某個或多個組件發(fā)生失效或狀態(tài)改變時,其對系統(tǒng)性能的影響程度,是時間、部件的可靠性參數(shù)以及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的函數(shù),可用于識別系統(tǒng)薄弱環(huán)節(jié),提高系統(tǒng)可靠性[13,15- 16].在不同的系統(tǒng)或者同一系統(tǒng)中,分析對象或研究目的不同,重要度的定義也不同,下面詳細(xì)介紹給定性能水平α下Birnbaum重要度、Fussell-Vesely重要度、風(fēng)險業(yè)績值(RAW)和風(fēng)險降低值(RRW).

Birnbaum重要度又稱概率重要度,描述了組件(狀態(tài))由>α性能水平值變?yōu)椤堞列阅芩街禃r,系統(tǒng)性能水平的變化值,即

(12)

Fussell-Vesely重要度描述組件(狀態(tài))性能對系統(tǒng)性能的貢獻(xiàn),表示為

(13)

組件(狀態(tài))≤α性能水平值被剔除后系統(tǒng)性能與原來系統(tǒng)性能的比值稱為RAW,即

(14)

組件≤α性能水平被替換為完美性能時與系統(tǒng)≤α性能水平值的比值稱為RRW,即

(15)

3 案例分析

由于組件2和3為同一類型元件,具有相同的性能狀態(tài)和轉(zhuǎn)移強(qiáng)度,因此它們的狀態(tài)概率相同,只需求出一個組件即可,根據(jù)馬爾可夫過程理論建立柯爾莫哥洛夫微分方程組,代入初始條件和全概率公式可求出各組件的狀態(tài)概率,如圖2所示,組件1的狀態(tài)概率為p1(t)={p11(t),p12(t),p13(t),p14(t),p15(t)},組件2和組件3的狀態(tài)概率為p2(t)={p21(t),p22(t),p23(t)}.

根據(jù)式(4)-(8)及通用生成函數(shù)法可分別得到系統(tǒng)及其組件的可靠度、性能狀態(tài)期望值、性能狀態(tài)駐留時間長度和性能狀態(tài)平均期望值.由于篇幅有限,文中僅列出組件1的結(jié)果,如圖3所示.

從圖3(a)可知,系統(tǒng)在不同的性能要求下有不同的可靠度,系統(tǒng)性能要求越低,其可靠度越高;從圖3(b)可知,在t=0時刻組件有最佳的性能,隨著時間的延長,組件的性能狀態(tài)逐漸遷移,在t=0.5 a后性能狀態(tài)期望趨于穩(wěn)定,約為3.3;從圖3(c)可知,隨著時間的延長,組件的性能逐漸退化,得到性能狀態(tài)駐留時間長度后可估算出組件1的剩余使用壽命,如性能要求為大于狀態(tài)1的輸出性能水平,此時處在性能狀態(tài)5,則可估算出剩余使用壽命區(qū)間[0.354 0,0.437 3].從圖3(d)可知,平均性能水平期望值是一個歸一化值,表征了系統(tǒng)及其組件的性能狀態(tài)變化值,變化值越大說明系統(tǒng)退化程度越嚴(yán)重.

圖2 各組件的狀態(tài)概率

當(dāng)任務(wù)時間T=1時,系統(tǒng)及其組件的狀態(tài)概率和輸出性能水平期望值見表1.其中系統(tǒng)為串-并聯(lián)結(jié)構(gòu),并聯(lián)關(guān)系為協(xié)同型,系統(tǒng)輸出性能水平結(jié)構(gòu)函數(shù)為G=min{u1(z,1),u2(z,1)+u3(z,1)},根據(jù)式(5)和(6)以及全概率公式可得系統(tǒng)共有8個性能狀態(tài),輸出性能水平為G={0,20,25,40,50,60,75,80}.

圖1 四缸柴油機(jī)燃油供給系統(tǒng)的可靠性框圖

圖3 組件1的可靠性度量

類型概率狀態(tài)1狀態(tài)2狀態(tài)3狀態(tài)4狀態(tài)5狀態(tài)6狀態(tài)7狀態(tài)8E(G(1))系統(tǒng)0．14690．14510．15420．22210．12390．13410．04420．029535．56組件10．10460．19500．26160．26290．1759?55．26組件2/30．21740．37270．4099?23．85

根據(jù)式(9)-(11)可求得在性能水平α劃分下系統(tǒng)及其組件的狀態(tài)概率和輸出性能水平期望值,由于篇幅有限,僅列出在性能水平α劃分下組件1的狀態(tài)概率和輸出性能水平期望,如表2所示.從表中可知,組件1有5個性能狀態(tài),性能閾值取1、2、3和4.可根據(jù)在不同劃分水平下各狀態(tài)的概率以及處于某性能水平劃分下的輸出性能水平確定各性能狀態(tài)在系統(tǒng)(或組件)的地位,從而為可靠性分配提供理論參考.

根據(jù)式(12)-(15)可求得在性能水平α下系統(tǒng)及其組件的Birnbaum重要度、Fussell-Vesely重要度、RAW和RRW,如表3所示.

從表3可知:對于組件,從Birnbaum重要度、Fussell-Vesely重要度和RRW看,組件1比組件2(或3)重要;對于系統(tǒng),從Fussell-Vesely重要度、RAW和RRW看,隨著α的增大,性能狀態(tài)重要度逐漸降低,而Birnbaum重要度反映了組件性能變化對整個系統(tǒng)的影響,性能狀態(tài)重要性先降低后增加.根據(jù)上述4種重要度的計算結(jié)果,可以從多方面綜合評估各組件(狀態(tài))對系統(tǒng)的影響,準(zhǔn)確地確定各組件(狀態(tài))在系統(tǒng)所處的地位,識別出系統(tǒng)最薄弱的元件,為系統(tǒng)可靠性預(yù)測和分配、運(yùn)行和維修、貯存和管理起著指導(dǎo)性作用.

表2 組件1在性能水平α劃分下的狀態(tài)概率及輸出性能水平期望值

Table 2 State probability and output performance level expectation of component 1 under performance levelαrestriction

α概率狀態(tài)1狀態(tài)2狀態(tài)3狀態(tài)4狀態(tài)5E1(G(1))≤11．00000．00000．00000．00000．00000．00>10．00000．21780．29220．29360．196461．72≤20．34910．65090．00000．00000．000016．27>20．00000．00000．37350．37540．251171．94≤30．18640．34750．46610．00000．000031．99>30．00000．00000．00000．59910．400985．02≤40．12690．23660．31750．31900．000045．72>40．00000．00000．00000．00001．0000100．00

表3 系統(tǒng)(組件)在性能水平α劃分下的重要度

4 結(jié)論

(1)利用馬爾可夫理論和通用生成函數(shù)法計算得到系統(tǒng)及其組件狀態(tài)概率,一定程度上緩解了組合空間的爆炸問題.

(2)針對性能退化規(guī)律提出的新動態(tài)可靠性度量,能定量地反映系統(tǒng)及其組件的退化程度、所處狀態(tài)以及各性能狀態(tài)駐留時間長度,為可靠性診斷和預(yù)測提供了量化數(shù)據(jù).

(3)在性能水平劃分下求得系統(tǒng)及其組件狀態(tài)概率和性能期望值,并用性能期望值定義重要度,有助于確定組件(狀態(tài))對系統(tǒng)的影響,識別出系統(tǒng)最薄弱環(huán)節(jié),從而優(yōu)化系統(tǒng)結(jié)構(gòu),提高系統(tǒng)可靠性.

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Dynamic Reliability Metric and Importance Analysis of Multi-State Systems

QIUGuang-qi1HUANGSi1GUYing-kui2

(1.School of Mechanical and Automotive Engineering, South China University of Technology, Guangzhou 510640, Guangdong, China; 2. School of Mechanical and Electrical Engineering, Jiangxi University of Science and Technology, Ganzhou 341000, Jiangxi, China)

In order to characterize the reliability of multi-state system in performance degradation condition effectively and determine the effects of each component (state) on the system, this paper makes a performance state analysis and presents dynamic reliability metrics as well as an importance calculation method considering perfor-mance level restrictions. Firstly, the failure probability, reliability, performance state expectation, average performance state expectation and performance state duration of system (component) are calculated by using the universal generating function to avoid the combinatorial explosion of Markov model in multi-state system. Then, four importance indexes under certain performance level restrictions, namely Birnbaum importance, Fussell-Vesely importance, risk assessment worth and risk reduction worth, are defined with performance expectation value to comprehensively evaluate the effects of each component (state) on the system and meet different performance requirements of system (component). The application results to the fuel supply system of four-cylinder diesel engine indicate that the proposed approach can not only accurately solve the failure probability, reliability, performance state expectation, average performance state expectation and performance state duration of system (component), but also comprehensively assess the effects of each component (state) on the system according to the four importance values under performance level restrictions. Therefore, it helps improve system reliability through identifying the weakest parts in the system.

multi-state system; reliability;Markov processes; dynamic reliability metric; performance level restriction; importance

2016- 09- 12

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61164009,61463021) Foundation items: Supported by the National Natural Science Foundation of China(61164009,61463021)

邱光琦(1987-),男,博士生,主要從事系統(tǒng)可靠性優(yōu)化及故障預(yù)測研究.E-smail:qiuguangqi@sina.cn

?通信作者: 黃思(1962-),男,教授,博士生導(dǎo)師,主要從事流體機(jī)械可靠性和數(shù)值計算研究.E-mail:huangsi@scut.edu.cn

1000- 565X(2017)05- 0052- 07

TB 114.3

10.3969/j.issn.1000- 565X.2017.05.008