關(guān)英姿 朱 凱

1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱 150001 2. 北京空天技術(shù)研究所，北京 100074

輸入受限高超聲速飛行器指數(shù)收斂狀態(tài)反饋控制

關(guān)英姿1朱 凱2

1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱 150001 2. 北京空天技術(shù)研究所，北京 100074

對具有不確定性的高超聲速飛行器在輸入受限情況下的穩(wěn)定控制問題，基于線性矩陣不等式(LMI)技術(shù)提出了一種具有指數(shù)收斂速率的控制器設(shè)計方法。將飛行器模型中的不確定性視為總和擾動，針對存在不確定性的輸入受限系統(tǒng)給出了一種具有指數(shù)收斂速度的不變集條件，并利用LMI技術(shù)將控制器的設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為受限系統(tǒng)吸引域的最優(yōu)化問題。仿真結(jié)果表明，在氣動參數(shù)攝動和控制量存在飽和的情況下，本文設(shè)計的指數(shù)收斂控制器具有良好的動態(tài)特性和魯棒性。 關(guān)鍵詞 高超聲速飛行器；輸入受限；不確定性；線性矩陣不等式；指數(shù)收斂

高超聲速飛行器跨大馬赫數(shù)、大空域飛行，其氣動參數(shù)存在較大不確定性，且外界力、熱環(huán)境較為嚴酷。因此,在對高超聲速飛行器建模過程中不可避免地要考慮不確定性的影響。同時，高超聲速飛行器飛行環(huán)境復(fù)雜，突風(fēng)干擾會引起氣動攻角的瞬態(tài)變化，進而造成明顯的氣動力矩變化，并且在超燃沖壓發(fā)動機點火、級間分離等時刻，飛行器可能需要承受較為明顯的外部擾動。這些瞬時力矩變化容易引起執(zhí)行機構(gòu)飽和，使控制系統(tǒng)不能實現(xiàn)預(yù)期的反饋控制，導(dǎo)致控制系統(tǒng)的動態(tài)性能降低，甚至?xí)茐目刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)定性。

目前的文獻中，針對高超聲速飛行器的姿態(tài)控制問題，采用的控制方法主要有自適應(yīng)控制[1-2]、反饋線性化控制[3]、模型預(yù)測控制[4]、滑膜控制[5]和增益調(diào)度控制[6]，這些控制方法不同程度地解決了高超聲速飛行器姿態(tài)控制中模型的強非線性和不確定性問題。

近年來，飛行器姿態(tài)控制中的輸入受限問題也引起了廣泛關(guān)注[6-10]。文獻[6]針對具有不確定性的輸入受限飛行器模型，研究了魯棒變增益控制算法。針對BTT導(dǎo)彈的輸入受限問題，文獻[7]提出了一種二階滑模自適應(yīng)反演控制來解決姿態(tài)控制系統(tǒng)的輸入受限和不確定性問題。針對控制受限的撓性航天器姿態(tài)控制問題，文獻[8]給出了一種自適應(yīng)滑模控制方法，顯式地考慮了控制的飽和特性，證明了控制受限情況下系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻[9]針對近空間飛行器這一類存在外部干擾、輸入飽和以及參數(shù)不確定的多輸入多輸出線性系統(tǒng), 提出了一種基于干擾觀測器的抗飽和控制方法，保證了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。盡管國內(nèi)外學(xué)者針對姿態(tài)控制中的輸入受限問題和模型的不確定性問題進行了大量研究，給出了一些有效的控制方法，但是這些研究中幾乎沒有特別關(guān)注系統(tǒng)的動態(tài)特性問題。

在解決控制系統(tǒng)的輸入受限問題中，線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequalities，簡稱LMI)作為一種有效的數(shù)學(xué)工具被廣泛地應(yīng)用于抗飽和補償器以及狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計[11-19]。文獻[11]利用LMI技術(shù)給出了一種抗飽和控制器的綜合設(shè)計方法。文獻[12]研究了輸入受限系統(tǒng)的L2增益特性及穩(wěn)定區(qū)域。文獻[16]推導(dǎo)了輸入受限系統(tǒng)在受擾情況下的不變集條件，研究了輸入受限系統(tǒng)的抗干擾問題，但文中沒有考慮系統(tǒng)軌跡的收斂速度和收斂時間，在受到干擾時無法保證控制系統(tǒng)具有滿意的超調(diào)量和振蕩次數(shù)等動態(tài)性能。

針對飛行器的輸入受限和不確定性問題，本文將系統(tǒng)中的不確定性視為總和擾動，并針對輸入受限受擾系統(tǒng)提出了一種具有收斂速度因子的不變集條件，將控制器的設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為不變集的最優(yōu)化問題。

1 問題描述

飛行器的縱向運動方程為：

α=?-θ

(1)

(2)

考慮系統(tǒng)式(2)中，舵偏角范圍受到如下約束：

-ua≤u≤ua

(3)

式中，ua>0表示輸入幅值約束的上限。

為了便于推導(dǎo)式(2)表示的輸入受限系統(tǒng)的不變集條件，通過對式(2)中的B矩陣進行處理，得到式(4)表示的輸入受單位約束的系統(tǒng)模型：

(4)

式(4)給出的飛行器縱向姿態(tài)模型中未考慮氣動參數(shù)攝動、外界干擾以及線性化處理所帶來的誤差等不確定性。

將飛行器模型中存在的各種不確定性作為總和擾動進行考慮，則輸入幅值受限系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

(5)

其中，w為干擾。

假設(shè)系統(tǒng)所受干擾能量有界，且滿足：

wTw≤χ

(6)

其中，χ為已知正數(shù)。

對于存在輸入受限以及能量有界不確定性的系統(tǒng)(5)，采用常用的狀態(tài)反饋形式控制律來保證系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性，即：

u=Fx

(7)

式中，F(xiàn)∈Rm×n。

在式(7)所示控制律的作用下，系統(tǒng)的閉環(huán)形式可描述為：

(8)

本文針對式(8)描述的幅值受限系統(tǒng)設(shè)計狀態(tài)反饋控制器，使輸入受限系統(tǒng)在狀態(tài)反饋控制律的作用下，在受到有界擾動時仍能獲得一個滿意的收斂區(qū)域，且在該收斂區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)軌跡以一定速度漸進收斂到原點，在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的同時獲得良好的動態(tài)特性。

2 輸入受限系統(tǒng)指數(shù)收斂控制器設(shè)計

當動力學(xué)模型中存在干擾時，系統(tǒng)的運動軌跡受到干擾的影響而發(fā)生變化，不變集條件與干擾的能量大小有關(guān)。本文綜合考慮系統(tǒng)的不確定性和動態(tài)特性，針對不確定性系統(tǒng)給出了一種具有指數(shù)收斂性能的不變集條件。在此基礎(chǔ)上，針對輸入受限系統(tǒng)(5)的控制器設(shè)計問題，將不變集的最大化問題轉(zhuǎn)化為具有LMI約束的凸優(yōu)化問題，以最大收斂域為優(yōu)化目標，通過求解最優(yōu)問題，獲得幅值受限系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制律。

2.1 不確定系統(tǒng)的指數(shù)收斂不變集條件

吸引域、收縮不變集和線性區(qū)域的定義如下：

定義1 從初始狀態(tài)x(0)=x0出發(fā)的系統(tǒng)軌跡為ψ(t,x0)，關(guān)于原點的吸引域定義為：

顯然，若橢圓Ω(P,ρ)為收縮不變集，則橢圓Ω(P,ρ)位于吸引域內(nèi)，飽和系統(tǒng)的吸引域可以通過不變橢圓進行近似。

定義如下輔助矩陣[7]：

在不變集條件的推導(dǎo)過程中引入收斂速度因子，針對存在干擾的輸入受限系統(tǒng)給出如下不變集條件。

(9)

則ε(P,ρ)為收縮不變集，且從橢圓ε(P,ρ)內(nèi)出發(fā)的系統(tǒng)軌跡將指數(shù)收斂到原點。

證明：

取Lyapunov函數(shù)V(x)=xTPx，由式(5)可得：

(10)

綜上可得：

由上式及P為正定陣可得：

(11)

由于：

再利用式(6)可得：

(12)

將式(11)和(12)代入式(10)可得：

(13)

利用式(9)和(13)可得：

(14)

積分式(14)可得：

V(t)

(15)

(16)

因此，橢圓ε(P,ρ)為收縮不變集，并且從橢圓ε(P,ρ)內(nèi)出發(fā)的系統(tǒng)軌跡將指數(shù)收斂到原點。在此不變集內(nèi)系統(tǒng)軌跡的收斂速度與參數(shù)β密切相關(guān)。β越大，系統(tǒng)軌跡越快趨近于原點，控制系統(tǒng)的動態(tài)性能越好。

2.2 控制器設(shè)計

借鑒參考文獻[11]，利用形狀參考集來尋找吸引域內(nèi)的最大橢圓，進而利用最大橢圓來近似輸入受限系統(tǒng)的吸引域。

通過求解具有指數(shù)收斂特性的最大橢圓來優(yōu)化輸入受限系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制律，從而達到改善系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)特性的目的。一方面，對于存在有界不確定性的輸入受限系統(tǒng)保證其初值從一個較大范圍出發(fā)時系統(tǒng)軌跡將收斂于原點；另一方面，保證系統(tǒng)軌跡具有指數(shù)收斂特性。

引入橢圓形狀參考集：

XS=ε(S,1)={x∈Rn:xTSx≤1}

其中，S為正定矩陣。

針對輸入受限系統(tǒng)(8)，將求解滿足定理給出的不變集條件的最大橢圓問題轉(zhuǎn)化為如下優(yōu)化問題：

s.t.

1)αXS?ε(P,ρ);

?v∈；

(17)

α越大，意味著橢球ε(P,ρ)的“質(zhì)量”越大。

為了便于求解式(17)給出的優(yōu)化問題，需將式(17)給出的約束條件轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式形式。

令γ=1/α2，Q=P-1，G=HP-1，gi表示G的第i行。將約束轉(zhuǎn)化為LMI形式為：

(18)

3 仿真研究

為了說明本文方法的有效性，對β=0和β=3這2種情況進行對比仿真。其中，β=0對應(yīng)未考慮系統(tǒng)動態(tài)特性下進行的控制器設(shè)計，β=3對應(yīng)考慮系統(tǒng)動態(tài)特性的控制器設(shè)計方法，即本文提出的控制器設(shè)計方法。

仿真中氣動參數(shù)攝動范圍為±50%，舵偏角幅度約束為±20°。仿真結(jié)果如圖1～3所示，圖1為攻角響應(yīng)曲線，圖2為俯仰角速度響應(yīng)曲線，圖3為舵偏角響應(yīng)曲線。其中，虛線對應(yīng)β=0，即不考慮動態(tài)特性時的響應(yīng)曲線；實線對應(yīng)β=3，即考慮動態(tài)特性時的響應(yīng)曲線。

圖1 攻角響應(yīng)曲線

圖2 俯仰角速度響應(yīng)曲線

圖3 舵偏角響應(yīng)曲線

從仿真曲線可以看出，在氣動參數(shù)大范圍攝動且存在外界干擾的情況下，攻角回路是穩(wěn)定的。引入收斂速度因子后，系統(tǒng)的動態(tài)特性得到明顯改善，系統(tǒng)軌跡快速收斂，并且振蕩次數(shù)明顯減少。本文給出的控制方法表現(xiàn)出良好的穩(wěn)定性和動態(tài)性能，具有很強的魯棒性，且當控制輸入觸發(fā)飽和邊界時系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的。

4 結(jié)論

針對高超聲速飛行器動力學(xué)模型存在不確定性以及執(zhí)行機構(gòu)存在控制受限等問題，基于LMI技術(shù)給出了一種具有指數(shù)收斂吸引域的控制器設(shè)計方法。將系統(tǒng)中的不確定性視為總和擾動，針對輸入受限受擾系統(tǒng)提出了一種具有指數(shù)收斂速度因子的不變集條件，將控制器的設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為受限系統(tǒng)吸引域的最優(yōu)化問題，通過求解“質(zhì)量”最大的不變橢圓獲得狀態(tài)反饋矩陣。在氣動參數(shù)攝動和控制量存在飽和的情況下，該控制方法具有良好的動態(tài)特性和魯棒性。

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Exponential Convergence State Feedback Control for Hypersonic Vehicle with Input Constraints

Guan Yingzi1， Zhu Kai2

1. School of Astronautics, Harbin Institude of Technology, Harbin 150001, China 2. Beijing Institute of Aerospace Technology, Beijing 100074, China

Regardingstabilitycontrolofahypersonicvehicleinthepresenceofinputsaturationanduncertainties,acontrollerwithexponentialconvergencerateisdesigned,whichisbasedonLMItechnique.Theuncertaintiesofhypersonicvehiclemodelareregardedas“totaldisturbance”,anexponentialconvergenceconditionforinvariantsetofsystemssubjecttoinputsaturationanddisturbanceisderived.ByusingLMItechnique,controllerdesignistransformedintomaximizationofthedomainofattraction.Thesimulationresultsshowgooddynamiccharacteristicsandrobustnessoftheproposedmethodinthepresenceofaerodynamicdispersionandcontrolinputsaturation.

Hypersonicvehicle;Inputconstraints;Uncertainties;Linearmatrixinequalities(LMI);Exponentialconvergence

2016-12-12

關(guān)英姿(1968-)，女，哈爾濱人，博士，教授，主要研究方向為航天器動力學(xué)與控制；朱 凱(1982-)，女，哈爾濱人，博士，工程師，主要研究方向為先進控制理論在導(dǎo)彈制導(dǎo)和控制中的應(yīng)用。

V448

A

1006-3242(2017)03-0034-06