安玉蓮　李俊玲

摘 要：本文圍繞“以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)”“以教學(xué)效果為導(dǎo)向”的教學(xué)思想，總結(jié)了常微分方程教學(xué)中的一些思考和做法，探討常微分方程課的教學(xué)方法改革。

關(guān)鍵詞：常微分方程；教學(xué)方法；教學(xué)效果

常微分方程是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的重要分支之一，它是研究客觀世界量與量之間關(guān)系的重要工具，廣泛地應(yīng)用于物理、化學(xué)、生物、工程、航空航天、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)和金融等領(lǐng)域。常微分方程課程是我校應(yīng)用數(shù)學(xué)系的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，同時(shí)又是數(shù)學(xué)分析的后繼課程。這門課程不僅可以讓學(xué)生領(lǐng)略到豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且引導(dǎo)學(xué)生用新的視角認(rèn)識(shí)世界，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維起到了非常重要的作用。

如何在常微分方程的教學(xué)中，提高學(xué)生的積極主動(dòng)性，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，使教學(xué)方式由教學(xué)投入，即以教學(xué)內(nèi)容、學(xué)習(xí)年限為導(dǎo)向，轉(zhuǎn)變?yōu)榻虒W(xué)產(chǎn)出，即以學(xué)習(xí)效果為導(dǎo)向，是教學(xué)改革中大家比較關(guān)注的問題。在常微分方程課程的教學(xué)過程中，筆者有以下的構(gòu)想和嘗試。

一、“任務(wù)式”教學(xué)——突出學(xué)生主體，體現(xiàn)教師主導(dǎo)

目前，課堂教學(xué)的一大弊端是教師包辦和代勞太多，而學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣不高，“學(xué)生的主體作用”和“教師的主導(dǎo)”體現(xiàn)得都不明顯。學(xué)生習(xí)慣被動(dòng)地接受知識(shí)，而不是主動(dòng)地學(xué)習(xí)和探索知識(shí)，很難從學(xué)習(xí)中感受到快樂。為了改變這一現(xiàn)狀，教師在教學(xué)過程中，有意識(shí)地布置一些學(xué)習(xí)任務(wù)，要求學(xué)生去完成。這個(gè)任務(wù)絕不局限于課后的習(xí)題。

比如，常微分方程第一節(jié)緒論課，主要介紹微分方程的背景知識(shí)和基本概念。常規(guī)為兩課時(shí)，課堂上能夠介紹的內(nèi)容非常有限。教師在教學(xué)中布置學(xué)習(xí)任務(wù)：

了解常微分方程在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用；

了解常微分方程的發(fā)展歷史和關(guān)鍵人物；等等。

學(xué)生可以利用各種資源，主動(dòng)查找和學(xué)習(xí)相關(guān)的資料，以作為課堂內(nèi)容的有效補(bǔ)充。為了督促學(xué)生完成任務(wù)，教師要求學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)以論文、PPT、影像資料等多種形式提交學(xué)習(xí)成果，并及時(shí)記錄和交流，任務(wù)完成情況作為學(xué)習(xí)成績的一部分加以體現(xiàn)。教師則在有限的課堂時(shí)間內(nèi)，重點(diǎn)講解“數(shù)學(xué)單擺”“人口模型”“傳染病模型”等幾個(gè)非常經(jīng)典的微分方程模型，使學(xué)生了解和認(rèn)識(shí)應(yīng)用微分方程“思考問題--建立模型—解決問題”的過程。這樣的設(shè)計(jì)，突出了教師講解畫龍點(diǎn)睛的主導(dǎo)作用，也調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，充分發(fā)揮其主體作用。

課后學(xué)生分兩次完成作業(yè)，找到了鑒別名畫的真?zhèn)巍y定考古發(fā)掘物的年齡、深水炸彈在水下的運(yùn)動(dòng)、物資的供給、紅綠燈問題、需求與物價(jià)之間的關(guān)系、減肥的數(shù)學(xué)模型等諸多課本上沒有的例子；制作了精美的PPT，介紹常微分方程的發(fā)展歷程；從方法論的角度出發(fā)，學(xué)習(xí)和總結(jié)利用常微分方程建模的常用方法。通過學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)常微分方程背景知識(shí)和廣泛的應(yīng)用性有了更充分的認(rèn)識(shí)，對(duì)應(yīng)用這個(gè)工具解決問題的方法有了更加深刻的理解。這樣的作業(yè)，突破課堂限制，不僅使學(xué)生學(xué)到了知識(shí)，更主要的是，在學(xué)習(xí)的過程中學(xué)會(huì)了資料的搜集與整理以及論文撰寫的基本知識(shí)與格式，提高了協(xié)作完成任務(wù)的能力。這樣的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主角，而教師在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的主導(dǎo)和組織作用也得到了充分的發(fā)揮。

二、構(gòu)建以教材為中心的“輻射式”教學(xué)內(nèi)容體系

除教材知識(shí)外，“輻射式”構(gòu)建本課程外圍學(xué)習(xí)內(nèi)容，建設(shè)一個(gè)以教材為中心，以外圍資料為輔助的教學(xué)內(nèi)容體系。微分方程的發(fā)展歷久彌新，是一門前沿性非常強(qiáng)的課程。教材知識(shí)雖然經(jīng)典，但是比較陳舊，不能體現(xiàn)這門課程前沿性的特點(diǎn)。為此，教師在授課過程中應(yīng)給學(xué)生提供比較恰當(dāng)?shù)?、既結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容又比較新或者比較經(jīng)典的論文資料，供學(xué)生閱讀學(xué)習(xí)。在搜集資料的過程中，注重提供一定比例的外文資料。通過閱讀與學(xué)習(xí)這些資料，使學(xué)生提高了學(xué)習(xí)興趣，開闊了視野。同時(shí)，積累了專業(yè)詞匯，培養(yǎng)了閱讀外文學(xué)術(shù)文獻(xiàn)的能力，提升了學(xué)習(xí)品質(zhì)，為今后的學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)。這個(gè)教學(xué)內(nèi)容體系，隨著教學(xué)與科研的發(fā)展不斷更新和補(bǔ)充“新鮮血液”，經(jīng)過幾輪的積累，就會(huì)形成一個(gè)豐富的、動(dòng)態(tài)的常微分方程課程資料庫。

不僅如此，還應(yīng)要求學(xué)生學(xué)習(xí)Matlab、Maple、Mathematic等常用的工具類數(shù)學(xué)軟件，并且能夠把它應(yīng)用到常微分方程課程的學(xué)習(xí)中，解決一些基本問題，如畫相圖、積分曲線（面）、求各類常微分方程的近似解等。

三、“過程化”教學(xué)——注重學(xué)習(xí)過程的管理和引導(dǎo)

為了體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，改變單一的考試辦法，應(yīng)分階段分任務(wù)進(jìn)行考核?？己藘?nèi)容有：

第一，期中、期末考試。

第二，作業(yè)考核。

過程考核分課內(nèi)作業(yè)和課外作業(yè)。課內(nèi)作業(yè)是常規(guī)的課后習(xí)題；課外作業(yè)有課堂筆記、文獻(xiàn)閱讀、本課程相關(guān)資料整理等。

第三，課外學(xué)習(xí)內(nèi)容考核。

主要有數(shù)學(xué)軟件學(xué)習(xí)、實(shí)驗(yàn)課內(nèi)容學(xué)習(xí)和操作等。各類學(xué)習(xí)內(nèi)容在考核中都占有一定的比例，以此調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使得總評(píng)成績能夠比較全面地反映學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。

在考核方式的比例分配和成績評(píng)定過程中，引入學(xué)生的意見，甚至部分展示內(nèi)容中可以讓學(xué)生的評(píng)分占一小部分。

四、“建模化”教學(xué)——突出應(yīng)用，提高能力

微分方程來自于實(shí)踐，主要解決實(shí)踐中遇到的各種問題，建模是利用微分方程解決問題的第一步，也是關(guān)鍵一步。常微分方程教學(xué)應(yīng)該盡可能地體現(xiàn)這一特點(diǎn)。

筆者在每一部分的教學(xué)中都盡可能引入實(shí)例，展現(xiàn)建模過程。完成知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)之后，每一章也都以解決一個(gè)實(shí)例問題作為結(jié)束。

在教學(xué)過程中，筆者根據(jù)教學(xué)進(jìn)度，設(shè)計(jì)了四節(jié)“實(shí)驗(yàn)課”內(nèi)容，體現(xiàn)出微分方程課程的實(shí)用性的特點(diǎn)。比如，在學(xué)習(xí)了解對(duì)初值的連續(xù)依賴性之后，為了使學(xué)生了解參數(shù)變化對(duì)方程解的影響，教學(xué)中增加了關(guān)于“混沌”的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容。通過對(duì)經(jīng)典的Logistic模型數(shù)值解的計(jì)算，在計(jì)算機(jī)上讓學(xué)生看到混沌現(xiàn)象的發(fā)生。在學(xué)習(xí)了微分方程組之后，增加了以了解微分方程組的應(yīng)用和求解為目的的實(shí)驗(yàn)課——“鹽水濃度計(jì)算”。在這個(gè)試驗(yàn)中，一個(gè)復(fù)雜過程被拆分成較簡單的子系統(tǒng)，一個(gè)獨(dú)立的微分方程描述一個(gè)子系統(tǒng)，于是一個(gè)微分方程組描述整個(gè)系統(tǒng)。

實(shí)驗(yàn)課環(huán)節(jié)比較完整地體現(xiàn)了問題的提出、分析、建模、解決等過程。學(xué)生使用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行模擬或者近似解計(jì)算，提高了解決問題的能力。

五、“開放式”教學(xué)

學(xué)生的學(xué)習(xí)不拘泥于課堂，除了前面介紹的幾種方法外，筆者還注重營造學(xué)術(shù)氛圍，使學(xué)生感受到研究學(xué)習(xí)的樂趣。

一是請校內(nèi)外專家為學(xué)生作比較通俗的學(xué)術(shù)報(bào)告，介紹微分方程領(lǐng)域的前沿工作、發(fā)展動(dòng)態(tài)、趨勢和應(yīng)用，以及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法等。通過這些學(xué)術(shù)活動(dòng)，使學(xué)生在了解前沿的數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，能夠感受數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)家的魅力，寓教于樂、寓教于趣。

二是組織小型“學(xué)術(shù)活動(dòng)”，通過分組學(xué)習(xí)，對(duì)于作業(yè)完成比較好的學(xué)生，在課堂上留5～10分鐘時(shí)間，請他們給班級(jí)同學(xué)介紹成果。這項(xiàng)活動(dòng)極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和表現(xiàn)欲望，效果非常好。

六、“研究式”教學(xué)——通過師生的科研活動(dòng)，促進(jìn)教學(xué)，培養(yǎng)興趣

微分方程課程是一門前沿性非常強(qiáng)的課程，即便是基本的知識(shí)點(diǎn)，也可以挖掘出可以研究的科研課題。

首先，在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生選擇課題，參與科研活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)和完成一些小的科研任務(wù)，學(xué)生的創(chuàng)造力得到了很好的開發(fā)和提高。比如：課題組教師指導(dǎo)學(xué)生完成論文《冪級(jí)數(shù)法求解微分方程的近似解》《一類雙反饋系統(tǒng)正解的穩(wěn)定性研究》《人口流動(dòng)對(duì)傳染病的影響》等，基于課堂教學(xué)，又高于課本經(jīng)典內(nèi)容，這些研究成果的整理發(fā)表，極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

其次，我們認(rèn)識(shí)到科研活動(dòng)是教師保持創(chuàng)造性的重要保障，教師應(yīng)該科研與教學(xué)并重，教學(xué)相長。只有知識(shí)淵博，富有創(chuàng)造性的教師，才有可能培養(yǎng)出具有創(chuàng)新精神的人才。只有富有教育責(zé)任感和工作熱情的教師，才有可能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行富有成效的學(xué)習(xí)。在工作中，常微分方程教學(xué)團(tuán)隊(duì)的教師成立有非線性分析研究所，每個(gè)人都主持有省部級(jí)或者國家級(jí)科研項(xiàng)目，為不斷提高這門課程的教學(xué)質(zhì)量提供了重要保障。

總之，經(jīng)過幾年的教學(xué)實(shí)踐，我校努力踐行“學(xué)生為學(xué)習(xí)主體、教師為學(xué)習(xí)主導(dǎo)”的原則，以課堂教學(xué)為核心，同時(shí)突破課堂有限的時(shí)空限制，通過各種教學(xué)形式，促使學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，積極探索。在鼓勵(lì)和幫助學(xué)生獲得知識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、分析解決問題的能力，獲得了有效的學(xué)習(xí)成果。同時(shí)也真正體現(xiàn)出教師在教學(xué)過程中引導(dǎo)、指導(dǎo)、主導(dǎo)的作用。

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