丁毓琪

1 問題背景

在圓錐曲線問題中，“點(diǎn)差法”即代點(diǎn)相減法，對于解決中點(diǎn)弦方程、弦中點(diǎn)軌跡方程以及對稱問題等方面都非常有效，堪稱利器[1，2].然而，“點(diǎn)差法”有時(shí)卻會失效，導(dǎo)致錯誤的答案[3].以筆者所在學(xué)校的高二數(shù)學(xué)月考題為例：

例1 已知直線l經(jīng)過定點(diǎn)（0，1），被雙曲線x2-y24=1所截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程是 .

大部分學(xué)生由“點(diǎn)差法”可求出軌跡方程，結(jié)果是4x2-y2+y=0，但正確答案是4x2-y2+y=0，y∈（-∞，-4）∪[1，+∞）.標(biāo)準(zhǔn)答案給出的做法是聯(lián)立直線與雙曲線法求方程，利用判別式判斷直線是否與雙曲線有兩個交點(diǎn)，再消除參數(shù)獲得結(jié)果.然而，此種做法的計(jì)算過程相當(dāng)繁瑣，并且消去參數(shù)并不容易.“點(diǎn)差法”求解軌跡方程很方便，但卻無法得出正確的取值范圍.從而，學(xué)生對使用這種方法心存恐懼，讓如此有效的方法淪為雞肋.通過查閱文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)雖然有關(guān)于改進(jìn)“點(diǎn)差法”的研究[4]，但是給出的結(jié)果對此類“過定點(diǎn)”問題卻無能為力.因此，在本文中，筆者試圖對“點(diǎn)差法”進(jìn)行詳細(xì)的探索以及有效的改進(jìn)，尤其是討論了“過定點(diǎn)”問題，使其能夠更廣泛應(yīng)用.

2 “點(diǎn)差法”初探

以本題為例，大部分學(xué)生可以通過“點(diǎn)差法”得出下面的結(jié)果.