王玉婷， 郝成功

(山西大學 數(shù)學科學學院， 山西 太原 030006)

關(guān)于內(nèi)冪零群結(jié)構(gòu)定理的一個注記

王玉婷， 郝成功

(山西大學 數(shù)學科學學院， 山西 太原 030006)

研究了極小非平凡的群作用. 將域F上有限維向量空間線性變換不可約的等價條件推廣到初等交換p-群上， 再結(jié)合極小非平凡作用的定義, 得到了Hall-Higman簡化定理的充要條件形式， 從而給出了極小非平凡作用的另一種刻畫， 利用此種刻畫探討了p-群的一個p′-自同構(gòu)何時在Frattini商群上的誘導(dǎo)作用不可約， 重新證明了Schmidt定理.作為上述兩個結(jié)果的綜合應(yīng)用， 給出了內(nèi)冪零群結(jié)構(gòu)定理的一個新的描述和簡化證明.

內(nèi)冪零群； 極小非平凡作用； 不可約； 自同構(gòu)

0 引 言

本文所使用的符號術(shù)語大部分是標準的， 可參考Isaacs的群論教程[1-2].

設(shè)G為有限群， 如果G的每個真子群均為冪零群， 但其本身不是冪零群， 則稱G為一個內(nèi)冪零群.這是非常重要的一類臨界群， 有關(guān)臨界群的系統(tǒng)研究， 可參考陳重穆的專著[3]， 本文對此不展開討論. 1924年， Schmidt首次研究了內(nèi)冪零群， 因此內(nèi)冪零群在很多文獻中也被稱為Schmidt群， 在很多群論教科書[4]中均有關(guān)于內(nèi)冪零群的結(jié)構(gòu)描述， 但并沒給出完整的刻畫.事實上， 關(guān)于內(nèi)冪零群有很多學者都做了深入的研究[5-13]， 如何立國[5]證明了當內(nèi)冪零群正規(guī)Sylow子群中元為廣義中心元時， 其為超可解， 并且給出了內(nèi)冪零群中心的幾個性質(zhì)； 王坤仁[6]給出了內(nèi)冪零群的若干充分條件； 李千路[7]證明了廣義極小非冪零群可解； 羅馳[8]討論了內(nèi)冪零群的正規(guī)Sylow子群的換位子群， 確定了換位子群的一個生成元集. 直到2005年， Ballesterbolinches A等[14]利用極小非PST群類的定理， 最終得到了內(nèi)冪零群結(jié)構(gòu)的完整刻畫， 但該證明比較復(fù)雜.

本文從一個新的角度給出了內(nèi)冪零群結(jié)構(gòu)定理的簡化證明.特別地， 我們將從線性代數(shù)和分裂域的角度， 給出p元域上n維向量空間的可逆線性變換為不可約的充要條件， 以此為主要技術(shù)， 再結(jié)合改造的Hall-Higman簡化定理， 最終得到內(nèi)冪零群定理的初等證明.

本文第一個主要結(jié)果是將經(jīng)典的Hall-Higman簡化定理加以改進， 獲得其充要條件形式， 從而得到了極小非平凡作用的一個刻畫.

1)Cp(A)=Φ(P)， 其中Φ(P)為P的Frattini子群；

2)A在P/Φ(P)上的誘導(dǎo)作用不可約.

作為定理1的應(yīng)用， 我們可得到下述內(nèi)冪零群結(jié)構(gòu)定理的一個簡化證明.

定理 2 設(shè)G為有限群， 則G為內(nèi)冪零群當且僅當下述三個條件同時成立:

2)CQ(P)=Φ(Q)，CP(Q)=P′， 其中Φ(Q)為Q的Frattini子群；

3)d(p)=ordq(p)， 其中d(p)為P的最小生成元個數(shù)，ordq(p)為滿足同余方程pr≡1(modq)的最小正整數(shù)r.

值得指出的是， 我們給出的定理2的表述， 與經(jīng)典的內(nèi)冪零群結(jié)構(gòu)定理(見本文中Schmidt 定理)相比， 用數(shù)論條件3)替代了原先的不可約條件(即Schmidt定理中的“Q在P/P′上的作用不可約”條件)， 這在技術(shù)和應(yīng)用上都是很便利的， 有一定的價值和意義.

1 定理及證明

我們先給出一些基本概念及結(jié)論.

定義 1 設(shè)φ∈EndF(V)是域F上有限維向量空間V的一個線性變換， 如果V的φ-不變子空間僅有0和V本身， 則稱φ是V的一個不可約線性變換， 也稱V是φ-不可約的.

下面是不可約線性變換的一個刻畫.

引理 1 設(shè)F為任意域，V是F上的一個有限維向量空間，φ∈EndF(V)為V的一個F-線性變換， 則V是φ-不可約的當且僅當φ的特征多項式在F上不可約.

證明 設(shè)dimV=n，c(x)為φ在V上的特征多項式.

先證充分性.假設(shè)c(x)不可約. 任取W?V為φ-不變非零子空間， 再取W的一組基ε1,…,εk， 并將其擴充為V的一組基ε1,…,εk；εk+1,…,εn， 則φ在這組基下的矩陣為

其中,A為k×k階矩陣，B為(n-k)×k階矩陣，D為(n-k)×(n-k)階矩陣. 從而

c(x)=|xEk-A|·|xEn-k-D|,

式中：Ek和En-k分別表示k階和n-k階單位矩陣. 因為c(x)不可約， 故而必有k=n， 即W=V， 因此V是φ-不可約的.

再證必要性.假設(shè)V是φ-不可約的.設(shè)c(x)=c1(x)c2(x)為一個非平凡分解， 則Vc1(φ)是一個φ-不變子空間， 從而有Vc1(φ)=0或Vc1(φ)=V. 對于后一種情形，Vc2(φ)=Vc1(φ)Vc2(φ)=0.所以， 不失一般性， 假設(shè)Vc1(φ)=0. 設(shè)degc1(x)=m， 則必有m

W=span{v,vφ,…,vφm-1}

是一個φ-不變子空間， 且1≤dimW≤m

其次， 我們考慮基域F=GF(p)為p元域的情形， 其中p為素數(shù). 設(shè)m為正整數(shù)， 使得(m,p)=1. 再設(shè)E為多項式xm-1在F上的分裂域， 熟知E/F為Galois擴張， 并且Galois群

Gal(E/F)=〈σ〉

為循環(huán)群， 其中σ如下定義

σ∶E→E,σ(a)=ap,

σ為E的Frobenius自同構(gòu)， 這些都是域論中的經(jīng)典結(jié)果， 細節(jié)可見文獻[15]. 若令

|E∶F|=o(σ)=r,

則熟知r為滿足同余方程

pr≡1(modm)

的最小正整數(shù)， 即r=ordm(p)為p模m的階.

我們需要的是引理2的下述推論.

引理 3 設(shè)V為初等交換p-群， |V|=pn， 并且α∈Aut(V)的階o(α)=pe， 其中q≠p為素數(shù)， 則α在V上不可約當且僅當n=ordqe(p).

證明 因為V是pn階初等交換p-群， 故可視為p元域F=GF(p)上的向量空間， 其線性結(jié)構(gòu)由其加群結(jié)構(gòu)所決定， 并且dimF(V)=n. 因此， 如果α∈Aut(V)， 則α可視為V上的可逆線性變換. 根據(jù)上述引理2即得所證結(jié)論. 證畢.

本文將研究極小非平凡作用， 為此先回顧一下相關(guān)概念.

定義 2 如果有限群A在有限群G上的作用是非平凡的， 但在G的每個A-不變的真子群上的作用都是平凡的， 則稱A在G上的作用為一個極小非平凡的作用.

有了上述準備， 即可證明本文的主要定理.

定理1的證明 充分性. 因為Φ(P)

從證明過程不難看出， 上述定理條件下總有Φ(P)=P′， 據(jù)此可得定理1另一個等價形式.

1)CP(A)=P′；

2)A在P/P′上的誘導(dǎo)作用不可約.

使用定理1， 我們先給出內(nèi)冪零群結(jié)構(gòu)定理的一個簡潔證明.

Schmidt定理 設(shè)G為有限群， 則G為內(nèi)冪零群當且僅當G滿足下述兩個條件:

1) |G|=paqb， 其中p,q為互異素數(shù)，a,b≥1. 若取P∈Sylp(G)，Q∈Sylq(G)， 則P?G,Q循環(huán)；

2)CQ(P)=Φ(Q)，CP(Q)=P′， 并且Q在P/P′上的作用不可約.

證明 充分性. 假設(shè)條件1)， 2)成立， 下面證明G為內(nèi)冪零群.

首先， 由條件CQ(P)=Φ(Q)

i) 若Q1

ii) 若Q1=Q， 則P1

必要性. 根據(jù)文獻[16]第四章的定理4.2可知條件1)成立， 下面證明條件2)成立.

假設(shè)G為內(nèi)冪零群， 則PΦ(Q)

現(xiàn)在使用引理3， 進一步改進Q在P/P′上的作用不可約的條件， 即證定理2.

定理2的證明 充分性. 根據(jù)引理3， 由條件3)可知Q在P/P′上的作用不可約， 再根據(jù)上述Schmidt定理， 即證G為內(nèi)冪零群.

必要性. 若G為內(nèi)冪零群， 則根據(jù)Schmidt定理， 知條件1)和2)均成立， 并且Q在P/P′上的作用不可約， 此時再利用引理3， 即證條件3)也成立. 證畢.

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A Note on the Structural Theorem of Minimal Nonnilpotent Groups

WANG Yu-ting， HAO Cheng-gong

(School of Mathematical Sciences， Shanxi University， Taiyuan 030006， China)

Minimal nontrivial actions were studied. The equivalent conditions of irreducibility of linear transformations of finite dimensional vector spaces over a fieldFwere generalized to the elementary abelianp-groups. Combining with the concept of minimal nontrivial actions, a necessary and sufficient condition of Hall-Higman’s theorem was obtained. As a corollary, a new characterization of the minimal nontrivial actions was given. This new characterization was applied to study when the induced action of ap′-automorphism of ap-group on the Frattini quotient is irreducible. Furthermore, a new proof of Schmidt's theorem is obtained. As a consequence, a new criterion (with a simplified proof) of minimal nonnilpotent groups is developed.

minimal nonnilpotent group; minimal nontrivial action; irreducible; automorphism

2016-08-12

山西省自然科學基金資助項目(201601D011006)

王玉婷(1991-)， 女， 碩士生， 主要從事群論的研究.

1673-3193(2017)02-0099-04

O152.1

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.02.001