葛 正 王維銳

(浙江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，杭州310027)

行星飛輪式滾珠絲杠慣容器設(shè)計(jì)與特性分析

葛 正 王維銳

(浙江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，杭州310027)

為提高滾珠絲杠型慣容器的慣容系數(shù)與飛輪質(zhì)量之比(慣-質(zhì)比)，提出了行星飛輪式滾珠絲杠慣容器設(shè)計(jì)方案。建立了慣容器力學(xué)模型，研究了慣容器各結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)飛輪慣-質(zhì)比的影響規(guī)律，通過(guò)增加行星輪數(shù)量或厚度、減小銷軸半徑等提高行星輪自轉(zhuǎn)慣量占飛輪總慣量比重的方法，有效提高了慣-質(zhì)比;根據(jù)行星輪數(shù)量、厚度和銷軸半徑，計(jì)算得到最優(yōu)的行星輪與外齒圈齒數(shù)比，令慣-質(zhì)比達(dá)到最大。對(duì)比了行星飛輪和傳統(tǒng)單飛輪慣容器的力學(xué)特性，表明在同等飛輪徑向尺寸下，行星飛輪可獲得更大慣-質(zhì)比。最后通過(guò)試驗(yàn)，驗(yàn)證了理論分析的正確性。

慣容器;行星飛輪;滾珠絲杠;慣-質(zhì)比

引言

2002年劍橋大學(xué)SMITH［1］根據(jù)電容的數(shù)學(xué)模型提出了一種新型的兩端點(diǎn)機(jī)械裝置Inerter，該裝置的受力與兩端點(diǎn)相對(duì)加速度成正比。由于慣容器在機(jī)械網(wǎng)絡(luò)中的動(dòng)力學(xué)特性與電容在電學(xué)網(wǎng)絡(luò)中的特性相同，陳龍等［2］引入這一概念時(shí)，將其翻譯為慣性蓄能器或慣容器。

慣容器一方面具有質(zhì)量塊所不具備的兩端特性(質(zhì)量塊相當(dāng)于單端接地的慣容器)，另一方面能取代質(zhì)量塊并以較小的自身質(zhì)量實(shí)現(xiàn)大慣性體的動(dòng)力學(xué)特性，因此豐富了機(jī)械振動(dòng)網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)理論。如將動(dòng)力吸振器中的質(zhì)量塊替換為慣容器后，整體質(zhì)量可降低90%以上，令輕型動(dòng)力吸振器成為可能。該技術(shù)已被應(yīng)用到車輛懸架、建筑等多個(gè)領(lǐng)域［3－7］。慣容器運(yùn)用在車輛零部件的力學(xué)測(cè)試系統(tǒng)中，可進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)測(cè)試臺(tái)架與被測(cè)零部件的機(jī)械阻抗匹配，從而提高試驗(yàn)臺(tái)架綜合性能。

當(dāng)前慣容器的結(jié)構(gòu)形式有滾珠絲杠型［8］、齒輪齒條型［9］、液壓馬達(dá)型［10］、液力發(fā)生型［11］、液力回旋型［12］等。其中滾珠絲杠型慣容器的摩擦力較小，能夠利用螺母的預(yù)緊力減小背隙影響，同等質(zhì)量慣容系數(shù)較大，綜合表現(xiàn)較優(yōu)［13］。由于滾珠絲杠慣容器的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，目前針對(duì)安裝單個(gè)飛輪的滾珠絲杠慣容器的理論研究相對(duì)較為深入，并成為多種新型慣容器的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)。一些學(xué)者研究了滾珠絲杠慣容器的固有特性［14－17］。一些學(xué)者則在滾珠絲杠慣容器的基礎(chǔ)上增設(shè)調(diào)節(jié)部件，形成可動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)的新型慣容器［18－20］。

盡管當(dāng)前對(duì)滾珠絲杠式慣容器有了較多研究，但對(duì)如何用更小的飛輪質(zhì)量實(shí)現(xiàn)更大慣容系數(shù)的研究鮮有見(jiàn)述。尤其當(dāng)飛輪徑向尺寸受限時(shí)，單飛輪慣容器無(wú)法通過(guò)改變其結(jié)構(gòu)參數(shù)或增設(shè)定軸輪系提高其慣-質(zhì)比放大能力。為進(jìn)一步提高滾珠絲杠型慣容器的飛輪慣-質(zhì)比，本文提出一種行星飛輪式滾珠絲杠慣容器，利用行星輪的公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)復(fù)合運(yùn)動(dòng)，增大慣容器的飛輪慣-質(zhì)比。通過(guò)理論分析，建立慣容系數(shù)和慣-質(zhì)比的數(shù)學(xué)模型，探明結(jié)構(gòu)要素對(duì)慣-質(zhì)比的影響規(guī)律。最后通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證理論分析的正確性。

1 慣容器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及慣容系數(shù)的理論分析

1.1 慣容器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

如圖1所示，行星飛輪式滾珠絲杠慣容器的活塞桿和外殼分別為慣容器的2個(gè)運(yùn)動(dòng)端?；钊麠U左端加工有螺紋，外殼上設(shè)置有安裝法蘭，用于同其他部件連接。當(dāng)慣容器2個(gè)運(yùn)動(dòng)端之間發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，活塞桿沿著直線軸承和直線導(dǎo)軌方向推動(dòng)螺母左右移動(dòng)，螺母繼而將直線運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為絲杠的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。飛輪由行星飛輪架和多個(gè)行星飛輪共同組成，行星飛輪架與絲杠一端固定，行星輪則通過(guò)外齒與外齒圈的內(nèi)齒相嚙合。運(yùn)動(dòng)中，絲杠與行星飛輪架等速旋轉(zhuǎn)，行星飛輪則在飛輪架以及外齒圈的共同作用下，形成既有公轉(zhuǎn)又有自轉(zhuǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)。

圖1 行星飛輪式滾珠絲杠慣容器結(jié)構(gòu)Fig．1 Structure of ball screw type inerter with planetary flywheel

1.2 慣容器的慣容系數(shù)解析

當(dāng)齒輪模數(shù)相對(duì)于飛輪組徑向尺度較小時(shí)，為便于分析，假設(shè)行星輪、飛輪架及其上的軸銷都是均質(zhì)圓柱體，外齒圈內(nèi)半徑和飛輪架外半徑近似等于外齒圈分度圓半徑，行星輪半徑近似等于自身分度圓半徑。慣容器的原理簡(jiǎn)圖如圖2所示(隱去了外殼僅保留行星飛輪、絲杠螺母和活塞桿部分)。

圖2 行星飛輪式滾珠絲杠慣容器原理圖Fig．2 Schematic diagram of planetary flywheel inerter

圖2中，x1、x2為兩端位移，R為外齒圈分度圓半徑，r為行星輪分度圓半徑，s為飛輪架軸銷半徑，l為行星輪厚度，L為飛輪架厚度，H為飛輪總厚度。

根據(jù)能量守恒定律得

式中 F——慣容器輸出力

N——行星輪數(shù)量

Js——飛輪架轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(含軸銷)

Jp——行星輪自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

Jr——行星輪公轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

ωs——飛輪架-螺母相對(duì)角速度

ωp——行星輪自轉(zhuǎn)角速度

兩側(cè)同取微分得

式中 v1、v2——兩端速度

αs——飛輪架-螺母相對(duì)角加速度

αp——行星輪自轉(zhuǎn)角加速度

根據(jù)行星輪系的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系有

將式(3)代入式(2)得

根據(jù)絲杠傳動(dòng)關(guān)系有

式中 P——絲杠導(dǎo)程

a1、a2——兩端加速度將式(5)代入式(4)得

設(shè)飛輪架、行星輪密度為ρ，分別計(jì)算其質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

將式(8)代入式(6)得

因此行星飛輪式滾珠絲杠慣容器的輸出力與兩端相對(duì)加速度成正比，符合慣容器力學(xué)特性定義。其慣容系數(shù)為

由材料密度、絲杠導(dǎo)程、外齒圈分度圓半徑、行星輪分度圓半徑和厚度、飛輪架厚度和銷軸半徑、行星輪數(shù)量確定。

對(duì)式(10)做歸一化處理，得到慣容系數(shù)計(jì)算模型

其中

式中 Z1——行星輪齒數(shù) Z2——外齒圈齒數(shù)

β——銷軸與行星輪分度圓半徑比

λ——行星輪與外齒圈齒數(shù)比

τ——行星輪與飛輪架厚度比

2 慣容器最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)解析

機(jī)械網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)時(shí)，需根據(jù)使用要求，確定慣容器的慣容系數(shù)。由于慣容器能用小質(zhì)量的飛輪實(shí)現(xiàn)大質(zhì)量物體的動(dòng)力學(xué)特性，因此慣容系數(shù)與飛輪質(zhì)量比越大，則減質(zhì)量效果愈加明顯。行星飛輪式滾珠絲杠慣容器的最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)求解問(wèn)題可以等效為慣容器在目標(biāo)慣容系數(shù)約束下，求解結(jié)構(gòu)參數(shù)令慣容器的慣-質(zhì)比達(dá)到最大。

2.1 慣-質(zhì)比的計(jì)算

對(duì)行星飛輪滾珠絲杠慣容器來(lái)說(shuō)，其慣-質(zhì)比為

式中 mp——行星輪質(zhì)量

ms——飛輪架質(zhì)量(含軸銷)

可見(jiàn)，行星飛輪式滾珠絲杠慣容器的慣-質(zhì)比包括兩部分:第一部分受絲杠導(dǎo)程P和外齒圈分度圓半徑R影響;第二部分受飛輪數(shù)量N、行星輪與飛輪架厚度比τ、行星輪與外齒圈齒數(shù)比λ、銷軸與行星輪分度圓半徑比β影響。

減小絲杠導(dǎo)程能提高慣-質(zhì)比，但會(huì)引起絲杠壽命和傳動(dòng)效率降低，所以確定絲杠導(dǎo)程后，提高慣-質(zhì)比的最有效途徑是增大飛輪的徑向尺寸，由于飛輪的徑向尺寸不可能無(wú)限增大。因此優(yōu)化問(wèn)題應(yīng)在特定的絲杠導(dǎo)程和飛輪徑向尺寸下進(jìn)行討論。

根據(jù)式(14)，當(dāng)絲桿導(dǎo)程和飛輪徑向尺寸確定時(shí)，慣容器的慣-質(zhì)比與G正相關(guān)，結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)G的影響規(guī)律等效于結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)慣-質(zhì)比的影響規(guī)律，因

此慣容器的參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題可表示為

2.2 結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)慣-質(zhì)比的影響規(guī)律

將式(13)右側(cè)上下同除以Nτ得

可見(jiàn)慣-質(zhì)比與行星輪數(shù)量N、行星輪與飛輪架厚度比τ正相關(guān);同銷軸與行星輪分度圓半徑比β負(fù)相關(guān)。因此增大N、τ或減小β，即增加行星輪自轉(zhuǎn)慣量占飛輪總慣量的比重，有助于提高慣-質(zhì)比。

λ、N、τ和β與G關(guān)系如圖3～5所示。

圖3 λ、N與G關(guān)系(τ=2，β=0.2)Fig．3 Relationship betweenλ，N and G(τ=2，β=0.2)

圖4 λ、τ與G關(guān)系(N=4，β=0.2)Fig．4 Relationship betweenλ，τand G(N=4，β=0.2)

圖5 λ、β與G關(guān)系(N=4，τ=2)Fig．5 Relationship betweenλ，βand G(N=4，τ=2)

由圖3～5可見(jiàn)，當(dāng)λ∈(0，λmax)時(shí)，存在最優(yōu)λopt令G達(dá)到最大。

2.3 行星飛輪慣容器的參數(shù)設(shè)計(jì)流程

根據(jù)上述分析，行星飛輪慣容器的參數(shù)設(shè)計(jì)流程為:①根據(jù)絲杠受力條件，選定導(dǎo)程P。②選定徑向空間允許的最大飛輪徑向尺寸Rmax。③選擇較大的飛輪數(shù)N和行星輪與飛輪架厚度比τ、較小的銷軸半徑比β。④根據(jù)式(20)計(jì)算最優(yōu)齒數(shù)比λopt。⑤根據(jù)式(11)計(jì)算飛輪架厚度L。⑥根據(jù)目標(biāo)慣容系數(shù)計(jì)算確定其他結(jié)構(gòu)參數(shù)。

2.4 單飛輪和行星飛輪慣容器對(duì)比

對(duì)圖6所示的單飛輪滾珠絲杠慣容器來(lái)說(shuō)，其慣-質(zhì)比為

圖6 單飛輪滾珠絲杠型慣容器Fig．6 Ball screw type inerter with single flywheel

慣-質(zhì)比由絲杠導(dǎo)程和飛輪徑向尺寸確定，與飛輪厚度無(wú)關(guān)。較小的絲杠導(dǎo)程或較大的飛輪徑向尺寸能獲得較大的慣-質(zhì)比。

2種慣容器實(shí)現(xiàn)相同慣容系數(shù)時(shí)有

兩者飛輪徑向尺寸相同時(shí)，R=R'。由式(21)可知，當(dāng)飛輪徑向尺寸受限時(shí)，單飛輪慣容器的慣-質(zhì)比被鎖定，無(wú)法通過(guò)結(jié)構(gòu)參數(shù)調(diào)整。2種慣容器的慣-質(zhì)比關(guān)系為

兩者飛輪厚度關(guān)系為

因此，在飛輪徑向尺寸約束下，為達(dá)到相同的慣容系數(shù)，行星飛輪式慣容器的飛輪質(zhì)量小于單飛輪慣容器，但需要相對(duì)較大的飛輪厚度。

3 試驗(yàn)

3.1 樣機(jī)制作與臺(tái)架試驗(yàn)

采用圖1所示結(jié)構(gòu)方案，設(shè)計(jì)并制作行星飛輪慣容器。作為參照，同時(shí)制作4種采用不同結(jié)構(gòu)參數(shù)的行星飛輪，以及與1號(hào)行星飛輪徑向尺寸和總厚度均相同的單飛輪。主要結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 行星飛輪式滾珠絲杠慣容器零件結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab．1 Structure parameters of parts of ball screw typeinerter w ith planetary flywheel

通過(guò)對(duì)慣容系數(shù)的理論計(jì)算，并實(shí)測(cè)飛輪質(zhì)量可知:對(duì)比2號(hào)和1號(hào)飛輪，行星輪數(shù)量從2增加到4后，飛輪慣-質(zhì)比提高了20.4%;對(duì)比1號(hào)和3號(hào)飛輪，行星輪與飛輪架厚度比τ下降了66.7%，飛輪慣-質(zhì)比降低了10.1%;對(duì)比1號(hào)和4號(hào)飛輪，雖然4號(hào)飛輪的銷軸半徑比β更大，但其齒數(shù)比(λ= 0.26)更接近最優(yōu)齒數(shù)比(λopt=0.24)，飛輪慣-質(zhì)比提高了4.6%;對(duì)比4號(hào)飛輪和單飛輪，在相同的徑向尺寸情況下，4行星飛輪的慣-質(zhì)比相對(duì)單飛輪提高了17.3%，表現(xiàn)出顯著的減質(zhì)量?jī)?yōu)勢(shì)。

制作2種飛輪以及慣容器樣機(jī)，如圖7、8所示。

圖7 行星飛輪與單飛輪樣機(jī)Fig．7 Prototype of planetary flywheel and single flywheel

搭建試驗(yàn)臺(tái)架(圖9、10)，液壓缸固定在試驗(yàn)臺(tái)承載框架的一端，慣容器通過(guò)前端法蘭面與試驗(yàn)臺(tái)承載框架的另一端固定，液壓杠的作動(dòng)桿前端安裝力傳感器，并通過(guò)連接器與慣容器的活塞桿連接。通過(guò)MOOG Portable控制器控制液壓缸，液壓缸驅(qū)動(dòng)慣容器的活塞桿與其殼體產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)。由NICompact-RIO數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)實(shí)時(shí)采集慣容器活塞桿的位移和力信號(hào)并發(fā)送給計(jì)算機(jī)，供后續(xù)數(shù)據(jù)分析。

圖8 慣容器樣機(jī)Fig．8 Prototype of inerter

圖9 試驗(yàn)臺(tái)架原理圖Fig．9 Schematic of test bed

圖10 慣容器樣機(jī)及試驗(yàn)臺(tái)架Fig．10 Prototype of inerter and test bed

3.2 正弦輸入試驗(yàn)

通過(guò)液壓作動(dòng)缸，令慣容器活塞桿與外殼之間發(fā)生幅值為7 mm，頻率為5 Hz的正弦運(yùn)動(dòng)。記錄過(guò)程中慣容器兩端相對(duì)位移和作用力，作用力的時(shí)間響應(yīng)曲線如圖11所示。

圖11 慣容器輸出力的時(shí)間響應(yīng)(位移幅值7mm，頻率5 Hz)Fig．11 Time responses of output force of inerters

由圖11可見(jiàn)，慣容器輸出力均基本與理論計(jì)算結(jié)果相吻合，表明對(duì)慣容系數(shù)的理論計(jì)算是正確的。

3.3 隨機(jī)輸入試驗(yàn)

通過(guò)液壓作動(dòng)缸給1號(hào)行星飛輪和單飛輪慣容器輸入如圖12所示，頻率范圍為0.5～15 Hz的速度白噪聲，其功率譜密度函數(shù)(m2/Hz)為

式中 f——頻率，Hz

分析試驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到輸出力的功率譜密度和位移-輸出力傳遞特性(圖13)。由圖13可見(jiàn)，行星飛輪和單飛輪慣容器位移-力傳遞特性相似，表明在該頻段行星式飛輪可以替代單飛輪作為滾珠絲杠慣容器的慣性部件。其中低頻段，兩者的輸出特性基本相同，這主要是因?yàn)槟Σ亮Φ挠绊戄^大，慣容特性體現(xiàn)尚不明顯［14］;高頻段，兩者的位移頻響均隨頻率提高而增大，符合理想慣容器的特性規(guī)律，增益的差異主要是因?yàn)?種慣容器的慣容系數(shù)不同。

圖12 隨機(jī)輸入Fig．12 Radom inputs

圖13 慣容器輸出力的頻率響應(yīng)Fig．13 Frequency response of output force of inerters

綜合圖11和圖13來(lái)看，行星飛輪與單飛輪慣容器的動(dòng)態(tài)特性相似，但由于摩擦、粘滯等非線性因素，導(dǎo)致輸出力響應(yīng)曲線均發(fā)生一定程度的畸變，輸出與理想慣容器有一定差異，其形成機(jī)理應(yīng)進(jìn)一步研究。

4 結(jié)論

(1)行星飛輪能用作滾珠絲杠慣容器中的慣性部件，并且相對(duì)單飛輪來(lái)說(shuō)，能大幅提高滾珠絲杠慣容器的飛輪慣-質(zhì)比。

(2)行星飛輪慣容器的慣-質(zhì)比可通過(guò)多個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)，增加行星輪數(shù)量、加厚行星輪、減小飛輪架銷軸半徑，即提高行星輪的自轉(zhuǎn)慣量占飛輪總慣量比重，均能提高慣-質(zhì)比。根據(jù)以上3個(gè)參數(shù)，可計(jì)算得到最優(yōu)的行星輪與外齒圈齒數(shù)比，令慣-質(zhì)比達(dá)到最大。

(3)相同徑向尺寸限制下，達(dá)到相同的慣容系數(shù)，行星飛輪組厚度大于單個(gè)飛輪。因此行星飛輪慣容器適用于對(duì)慣容器自重敏感而軸向空間相對(duì)充裕的場(chǎng)合。

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15 PAPAGEORGIOU C，SMITH M．Laboratory experimental testing of inerters［C］∥Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision and Control，and the European Control Conference，2005:3351－3356．

16 孫曉強(qiáng)，陳龍，汪若塵，等．滾珠絲杠式慣容器試驗(yàn)及力學(xué)性能預(yù)測(cè)［J］．振動(dòng)與沖擊，2014，33(14):61－65，83．SUN Xiaoqiang，CHEN Long，WANG Ruochen，et al．Experiment and mechanical properties prediction on ball-screw inerter［J］．Journal of Vibration and Shock，2014，33(14):61－65，83．(in Chinese)

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19 PIRESL，SMITH M，HOUGHTON N E，etal．Design trade-offs for energy regeneration and control in vehicle suspensions［J］．International Journal of Control，2013，86(11):2022－2034．

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Design and Characteristics Analysis of Ball Screw Type Inerter w ith Planetary Flywheel

GE Zheng WANGWeirui
(College of Mechanical Engineering，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China)

The inerter can replace the mass block and realize the dynamic characteristic of large inertia body with small mass，thus greatly enriching the design theory of mechanical vibration network．To achieve the same inertance，the larger the inertia-mass ratio is，the lighter the mass of the flywheel is，and the advantage ismore obvious．In order to improve the inertia-mass ratio of ball screw type inerter，a new design of ball screw type inerterwith planetary flywheelwas put forward．By themechanicalmodel of inerter，the influence of structure parameters on the inertia-mass ratio of flywheelwas researched．Result showed that the inertia-mass ratio could be improved by three methods:increasing the number or thickness of the planet gears，reducing the pin diameter，which increased the proportion of planet gear rotation inertia in the total inertia of flywheel．Themaximum inertia-mass ratio could be obtained by the optimal gear ratio of planet gear to ring gear，which was calculated by the number and thickness of planet wheel and the pin diameter．Themechanical properties of planetary flywheel inerter were compared with those of traditional inerter．Analysis of result indicated that the inertia-mass ratio of planetary flywheel inerter was larger than that of traditional inerter with the same diameter of flywheel．But for the same radial size，the planetary flywheel was thicker than the traditional single flywheel．Therefore，the planetary flywheel inerter was suitable for the weight sensitive，and the axial space-rich application occasions．The theoretical analysiswas verified by experiment at last．

inerter;planetary flywheel;ball screw;inertia-mass ratio

O313;TH113

A

1000-1298(2017)07-0391-08

2016-09-13

2017-01-10

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51005206)

葛正(1986—)，男，博士生，主要從事車輛零部件試驗(yàn)技術(shù)研究，E-mail:gezheng01@126．com

王維銳(1978—)，男，高級(jí)工程師，主要從事車輛工程和汽車零部件測(cè)試方法研究，E-mail:wwrzju@126．com

10．6041/j．issn．1000-1298．2017．07．050