黃江

(廣東海洋大學電子與信息工程學院,湛江 524088)(2016年8月11日收到;2016年9月14日收到修改稿)

弱測量對四個量子比特量子態(tài)的保護?

黃江?

(廣東海洋大學電子與信息工程學院,湛江 524088)(2016年8月11日收到;2016年9月14日收到修改稿)

廖湘萍等(Chin.Phys.B 23 020304,2014)指出弱測量和弱測量反轉(zhuǎn)操作可以保護三個量子比特的糾纏,提高保真度.本文將弱測量方法推廣至四個量子比特的情況,研究了幾種典型四個量子比特量子態(tài)的演化.結(jié)果表明：在振幅阻尼通道中,弱測量方法能夠有效地提高系統(tǒng)量子態(tài)的保真度.分析了影響量子態(tài)保真度的各種因素,對比了不同量子態(tài)的演化特征,劃分了量子態(tài)保真度提高的敏感區(qū)域.最后,對弱測量方法抑制量子態(tài)衰減的內(nèi)在機制做了合理的物理解釋.

弱測量,四量子比特,振幅阻尼,保真度

1引 言

量子態(tài)可以得出量子體系的所有性質(zhì)[1].作為量子力學的基本假定之一,量子態(tài)及其演化一直是研究者們關(guān)注的對象.量子態(tài)可分為糾纏態(tài)和可分離態(tài),糾纏態(tài)的概念由愛因斯坦等[2]引入.隨著量子理論的深入和實驗水平的提高,量子糾纏[3?12]這種純粹的量子效應(yīng)已經(jīng)得到了驗證.量子糾纏不僅僅是區(qū)分量子與經(jīng)典現(xiàn)象的重要依據(jù),也是量子信息和量子計算的關(guān)鍵資源.隨著量子信息技術(shù)的發(fā)展,量子糾纏因其優(yōu)越的特性而得到了廣泛的研究.眾所周知,任何真實的量子系統(tǒng)都可以認為是開放系統(tǒng),相互作用環(huán)境會不可避免地影響系統(tǒng)的糾纏,從而導致退相干,甚至出現(xiàn)糾纏猝死[13?16].如何有效地保護系統(tǒng)的相干性成為研究者們關(guān)注的課題.目前,關(guān)于系統(tǒng)相干性[17?28]的理論研究取得了長足的進步,部分研究成果已經(jīng)進入實用階段,中國研發(fā)的世界首顆量子通信衛(wèi)星便是其代表性成果.

Korotkov等[29,30]提出了一種全新的抑制量子系統(tǒng)退相干的方法——弱測量與弱測量反轉(zhuǎn),能夠使一個超導相位量子態(tài)在振幅阻尼通道中得以概率性地恢復(fù).這種方法有效地增強了量子態(tài)抑制退相干的能力,雖然其結(jié)果是概率性的,但此方法卻為抑制退相干提供了一個全新的處理思路.弱測量是在馮·諾依曼測量和半正定算子值測量(POVM)的基礎(chǔ)上發(fā)展出來的一種部分坍縮測量.弱測量從量子系統(tǒng)中提取的信息比較有限,能夠有效防止測量系統(tǒng)的量子態(tài)隨機地坍縮至其本征態(tài).因此,在適當?shù)牟僮飨驴梢詫⒘孔討B(tài)以一定的概率反轉(zhuǎn)至其初始態(tài).自弱測量方法提出以來,與此相關(guān)的實驗和理論工作均得到了迅速發(fā)展.隨著研究的深入,各種性質(zhì)逐步明確,諸多應(yīng)用也受到了高度的關(guān)注.實驗上,利用弱測量方法來抑制退相干已經(jīng)在固體系統(tǒng)[31]、線性光學系統(tǒng)[32?34]和超導相位比特[35,36]中成功實現(xiàn).弱測量的理論工作也取得了豐碩成果,Korotkov和Keane[37]提出了一種利用量子反轉(zhuǎn)測量來抑制單量子比特零溫環(huán)境下的退相干方案;Wang等[38]提出了一種在較低溫度環(huán)境中利用弱測量方法來保護單量子比特退相干的方法;Sun等[39]提出了利用弱測量及弱測量反轉(zhuǎn)的方法來保護低維量子系統(tǒng)的糾纏;Kim等[40]在理論和實驗上均證明了在振幅阻尼通道中弱測量方法能夠有效保護兩個量子比特的糾纏;近期,Xiao和Li[41]以及Liao等[42]將弱測量方案推廣至兩體三能級和三體二能級系統(tǒng).

然而,目前關(guān)于四體二能級原子系統(tǒng)量子態(tài)保護的研究工作并不多.由于四體二能級原子系統(tǒng)的基矢有16個,演化時會生成16×16的密度矩陣.因此,四體系統(tǒng)的計算量較大,討論會更加復(fù)雜.另外,四體二能級系統(tǒng)的度量還沒有統(tǒng)一的判據(jù),這也增加了研究的難度.幸運的是,本文得到了在振幅阻尼衰減通道中四體二能級系統(tǒng)保真度的解析解,劃分了保真度保護的區(qū)域.通過引入保真度提高的概念,對比弱測量前后的結(jié)果,得到了四體二能級系統(tǒng)的保真度在大部分情況下都能得到有效保護的結(jié)論.本文對弱測量抑制退相干的物理機制也做了相應(yīng)的解釋.本文的安排如下：第二部分給出與本文相關(guān)的基礎(chǔ)理論;第三部分研究弱測量對初始處于糾纏態(tài)和可分離態(tài)的幾種典型的四體二能級原子保真度的影響;最后,對本文作簡單的總結(jié).

2基礎(chǔ)理論

2.1 振幅阻尼

振幅阻尼通道[3]是描述量子系統(tǒng)與環(huán)境相互作用耗散過程的一個重要模型,在開放量子系統(tǒng)中有著諸多應(yīng)用.在Born-Markov近似下,可以用Kraus算符來模擬單量子比特的演化過程:

其中ρ(0)和ρ(t)分別表示量子態(tài)初始時刻和任意時刻的密度矩陣,Ei(i=1,2)為Kraus算符,

D為衰減率,取值范圍為D∈[0,1].Kraus算符滿足完備性關(guān)系根據(jù)方程(1)和方程(2),可以得到四個量子比特的演化

2.2 保真度

為了度量在相互作用過程中輸出量子態(tài)與輸入量子態(tài)的接近程度,引入保真度[43]的概念:

其中,F∈[0,1],|ψin〉為相互作用之前的初始輸入量子態(tài),ρout表示相互作用后的輸出量子態(tài).保真度的值越高,表示系統(tǒng)的量子態(tài)保持得越完整.反之,則衰減得越嚴重.保真度是衡量兩量子態(tài)接近程度的物理量,不僅可以度量輸入態(tài)為糾纏態(tài)的情況,也適用于輸入態(tài)為可分離態(tài)的情形.因此,對于糾纏態(tài)而言,保真度在一定程度上能夠反映糾纏的演化、衰減及保護情況.本文將分別對這兩類量子態(tài)進行研究.

2.3 弱測量及弱測量反轉(zhuǎn)

四個量子比特的弱測量和弱測量反轉(zhuǎn)過程[40,42]可以表示為

其中Mwk(p1,p2,p3,p4)為弱測量算符,p1,p2,p3,p4分別為弱測量強度;Mrev(pr1,pr2,pr3,pr4)表示弱測量反轉(zhuǎn)算符,pr1,pr2,pr3,pr4分別為弱測量反轉(zhuǎn)強度.由于兩個算符Mwk、Mrev均為非幺正算符,操作的成功率因而小于1.弱測量操作能使輸入量子態(tài)以一定的概率躍遷至基態(tài),減少了振幅阻尼的影響,而弱測量反轉(zhuǎn)則可使輸出量子態(tài)恢復(fù)至初始輸入量子態(tài).因此,理論上前置弱測量和后置弱測量操作可以起到削弱振幅阻尼衰減、保護系統(tǒng)量子態(tài)的效果.文獻[40]已經(jīng)證明：當弱測量反轉(zhuǎn)強度取時,系統(tǒng)的量子態(tài)能夠得到最大程度的保持.為了計算方便,本文取此最佳值.同時,假設(shè)四個量子比特是全同的,即p=p1=p2=p3=p4,pr=pr1=pr2=pr3=pr4.方程(5)和(6)可寫成如下較為簡潔的形式

3四個量子比特量子態(tài)的保護

本節(jié)闡述論文的核心思想,將詳細研究弱測量前后幾種典型的四個量子比特量子態(tài)在振幅阻尼通道中的保真度.通過對比,得到量子態(tài)保真度的演化規(guī)律,劃分保真度提高區(qū)域,并解釋其物理原因.首先介紹弱測量的實驗方案圖,如圖1所示.實驗方案分為三個步驟：第一步,在初始制備的四比特量子態(tài)上執(zhí)行弱測量操作,激發(fā)態(tài)將概率性的躍遷至基態(tài);第二步,將弱測量后的量子態(tài)通過振幅阻尼通道,系統(tǒng)的退相干在此過程中發(fā)生;第三步,再對此量子態(tài)執(zhí)行弱測量反轉(zhuǎn)操作,以一定的概率將量子態(tài)恢復(fù)至初態(tài),從而實現(xiàn)了量子態(tài)的保護.

圖1 四量子比特弱測量保護的實驗方案圖Fig.1.Experiment schemes for protecting four-qubit using weak measurement and quantum weak measurement reversal.

3.1 輸入態(tài)為糾纏態(tài)

3.1.1 Greenberger-Horne-Zeilinger(GHZ)態(tài)考慮初始量子態(tài)為GHZ態(tài)[44]的情況首先,GHZ態(tài)直接經(jīng)歷振幅阻尼衰減通道,用ρG表示四個量子比特在此過程中的演化量子態(tài),則

選取基矢{|abcd〉},其中a,b,c,d=0,1.由于矩陣ρG較大,此處只給出非零的密度矩陣元:

結(jié)合方程(4),很容易計算GHZ態(tài)直接通過振幅阻尼衰減通道的保真度

接下來對GHZ態(tài)執(zhí)行弱測量操作,即：弱測量+振幅阻尼+弱測量反轉(zhuǎn).用ρG(WM),ρG(AD)和ρG(WR)分別表示四個量子比特弱測量、振幅阻尼和弱測量反轉(zhuǎn)過程中的演化量子態(tài)

整理ρG(WR)的計算結(jié)果,并歸一化處理后,得到如下非零的矩陣元:

其中C1=(1?pr)4+(1?p)4[(1?D)+D(1?pr)]4為歸一化因子.計算弱測量后的保真度為

為了更直觀地表示弱測量對保真度的保護效果,引入保真度提高[45]的概念

圖2給出了弱測量前后保真度隨參數(shù)D和p變化的曲面,其中兩個曲面相交的曲線表示F(ρG(WR))=F(ρG). 由圖可以看出,對于GHZ態(tài)而言,弱測量并不是在任何時候都能提高保真度,而是在一定區(qū)域范圍內(nèi)成立.圖3進一步說明了這一點,參考平面以上區(qū)域為保真度可以得到提高的區(qū)域,平面以下則反之.圖2和圖3清晰地劃分了弱測量提高保真度的區(qū)域,為GHZ糾纏態(tài)的制備、演化、弱測量等方面的研究提供了理論依據(jù).

圖2 (網(wǎng)刊彩色)GHZ態(tài)的保真度隨參數(shù)D和p的演化曲面,其中紅色曲面表示弱測量后的F,綠色曲面表示弱測量前的FFig.2.(color online)The fidelity of GHZ states is plotted against the parameters D and p.The red curve respects F after weak measurement,and the green curve is the F before weak measurement.

圖3 (網(wǎng)刊彩色)GHZ態(tài)的保真度提高隨參數(shù)D和p的演化曲面,其中紅色曲面表示Fimp,綠色曲面表示零參考面Fig.3.(color online)The fidelity improvement of GHZ states is plotted against the parameters D and p.The red curve respects Fimp,and the green curve is zero reference plane.

3.1.2 W態(tài)

用ρW表示W(wǎng)態(tài)直接通過振幅阻尼衰減通道的演化態(tài),則

接下來研究W態(tài)[44]

經(jīng)計算可得ρW的非零矩陣元:

容易計算振幅阻尼衰減W態(tài)的保真度為

接下來,做弱測量操作.計算過程較為復(fù)雜,此處不一一寫出.歸一化后的非零矩陣元為

其中C2=[(1?D)+D(1?pr)]為歸一化因子.此時的保真度為

保真度提高為

圖4分別繪出了弱測量前后的保真度和弱測量保真度提高隨參數(shù)D和p變化的演化圖像.令人驚訝的是,與GHZ態(tài)不同,W態(tài)經(jīng)過弱測量后保真度在任意情況下都高于弱測量操作之前,Fimp也因此恒大于0.由此證明,W態(tài)的弱測量在整個演化區(qū)域都能使保真度得到有效的保護,保護的效果與參數(shù)D和p的取值有關(guān).D,p的取值越接近于1,保真度越能得到明顯提高.將此結(jié)論與三體GHZ態(tài)和W態(tài)的演化規(guī)律[42]相比,可以發(fā)現(xiàn)兩者的結(jié)論幾乎是一致的,這也進一步證明了本文結(jié)論是可靠的.同時,可以推斷此結(jié)論應(yīng)該對四體以上的量子態(tài)的保真度也成立.當然,相關(guān)的證明會較為復(fù)雜.另外,三體與四體量子態(tài)弱測量演化特性的相似性表明初始制備量子態(tài)的結(jié)構(gòu)對其保真度的演化起決定性影響.不同特性的糾纏態(tài)有著相互各異的演化規(guī)律.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)(a)W態(tài)弱測量前后的保真度F和(b)保真度提高FimpFig.4.(color online)(a)The fidelity F of W states before and after weak measurement,and(b)the fidelity improvement Fimp.

3.1.3 簇態(tài)(CL)

進一步研究四個量子比特CL態(tài)[46]的演化

用ρC表示CL態(tài)直接經(jīng)歷振幅阻尼通道的演化態(tài),類似于GHZ態(tài)和W態(tài)的步驟,容易解出CL態(tài)弱測量前的歸一化非零矩陣元:

用ρC(WR)表示CL態(tài)弱測量后的演化態(tài),由于CL態(tài)的弱測量非零矩陣元較為復(fù)雜,歸一化因子表達式龐大,此處只給出弱測量反轉(zhuǎn)強度pr取最佳值時的化簡結(jié)果.

其中C3=1+2(D?Dp)+2(D?Dp)2+(D?Dp)3+(D?Dp)4/4為歸一化因子.CL態(tài)弱測量的保真度及保真度提高分別為

圖5分別給出了CL態(tài)的保真度F(ρC(WR))和保真度提高Fimp隨參數(shù)D和p的演化曲面.容易發(fā)現(xiàn),與GHZ態(tài)和W態(tài)都不同的是,CL態(tài)在絕大部分區(qū)域保真度都能得到有效的提高,僅僅在D→1,p→0的極小區(qū)域衰減.由此可見,量子態(tài)的結(jié)構(gòu)不同,弱測量對保真度的影響也各異.

圖5 (網(wǎng)刊彩色)(a)CL態(tài)弱測量前后的保真度F和(b)保真度提高FimpFig.5.(color online)(a)The fidelity F of CL states before and after weak measurement,and(b)the fidelity improvement Fimp.

最后,簡單地研究四體Dick態(tài)[44]|ψD〉=|1010〉).重復(fù)以上操作,容易證明,Dick態(tài)的弱測量規(guī)律類似與CL態(tài),所不同的是保真度提高的區(qū)域略小而已.

3.2 輸入態(tài)為可分離態(tài)

現(xiàn)在研究輸入的四個量子比特為可分離態(tài)的弱測量方案.考慮四個全同量子比特,初始分別處于狀態(tài)則系統(tǒng)的量子態(tài)可寫為

可分離態(tài)|ψS〉比較具有代表性,其構(gòu)成的16×16個密度矩陣元均為非零值.其他量子態(tài)可在此基礎(chǔ)上,通過調(diào)節(jié)歸一化系數(shù)并取部分矩陣元得到.因此,本處只討論此可分離態(tài)|ψS〉.由于處理方法與上一節(jié)類似,不難求解其演化密度矩陣元,得到弱測量前后的保真度和保真度提高的表達式.

圖6 (網(wǎng)刊彩色)(a)可分離態(tài)弱測量前后的保真度F和(b)保真度提高FimpFig.6.(color online)(a)The fidelity F of separable states before and after weak measurement,and(b)the fidelity improvement Fimp.

圖6表明,在振幅阻尼通道中弱測量方案下的保真度在全區(qū)域內(nèi)都能得到有效的保護.保真度提高的量與參數(shù)D和p的取值有關(guān).D,p越大,保護效果越佳.另外,對比糾纏態(tài)的弱測量,很容易發(fā)現(xiàn)|ψS〉的弱測量演化與W態(tài)的結(jié)果較為相似.經(jīng)分析,將基矢做適當排列,W態(tài)密度矩陣的結(jié)構(gòu)與|ψS〉一致,可以看成是 |ψS〉的一個分塊矩陣,其他部分矩陣元為零,不參與演化,故兩者之間的相似性也容易理解.由此進一步說明量子態(tài)的結(jié)構(gòu)是弱測量保護效果的決定性因素.

依上述結(jié)論可知,弱測量方法對四能級原子任意形式量子態(tài)的保真度均能起到較明顯的保護作用,其抑制量子態(tài)衰減的物理機制可解釋如下：前置量子弱測量降低了激發(fā)態(tài)所占的權(quán)重,弱測量使得原子處于基態(tài)的概率越大.而基態(tài)原子在通過振幅阻尼通道時不受影響.最后,對量子態(tài)執(zhí)行弱測量反轉(zhuǎn)操作,重新恢復(fù)了激發(fā)態(tài)的權(quán)重,從而有效抑制了量子態(tài)在振幅阻尼通道中的衰減,起到了保護效果.需要說明的是,由于弱測量及弱測量反轉(zhuǎn)為非幺正操作,因此本方法具有一定的成功概率.雖然弱測量方法無法做到百分百成功,但此方法所開辟的新思路對量子信息的發(fā)展有著深遠的影響.到目前為止,已經(jīng)驗證了弱測量方法對四體及四體以下的量子態(tài)的相干性能起到保護作用.由其保護機制可以預(yù)言,弱測量方法對四體以上量子態(tài)的相干性依舊有保護效果.

4結(jié) 論

本文運用弱測量和弱測量反轉(zhuǎn)研究了在振幅阻尼衰減通道中四量子比特量子態(tài)的保真度演化,分別得到了四個量子比特糾纏態(tài)和可分離態(tài)的保真度、保真度提高的解析表達式,繪制了演化曲面,討論了各參數(shù)的影響,并劃分了量子態(tài)保護的敏感區(qū)域.研究結(jié)果表明：量子態(tài)的結(jié)構(gòu)是弱測量效果的決定性因素,不同結(jié)構(gòu)的量子態(tài)對弱測量有著不同的反應(yīng).對于糾纏態(tài),GHZ態(tài)的保真度在較大區(qū)域內(nèi)能得到保護,W態(tài)在全區(qū)域內(nèi)都能有效提高,而CL和Dick態(tài)則介于兩者之間.當輸入特定的四個量子比特可分離態(tài)時,由于其結(jié)構(gòu)類似于W態(tài),演化規(guī)律也與W態(tài)相似,進一步證明了量子態(tài)的結(jié)構(gòu)對弱測量有著至關(guān)重要的影響.本文對四個量子比特量子態(tài)的弱測量做了初步研究,得到了保真度的一些性質(zhì),對多體量子系統(tǒng)的研究有一定的指導意義.

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*Project supported by the natural science foundation of Guangdong province(Grant No.2015A030310354),and the Foundation of Excellent-Young-Backbone Teacher of Guangdong Ocean University,China.

?Corresponding author.E-mail:940038299@qq.com

The protection of qudit states by weak measurement?

Huang Jiang?

(Electronic and Information Engineering College,Guangdong Ocean University,Zhanjiang 524088,China)(Received 11 August 2016;revised manuscript received 14 September 2016)

Liao Xiang-Ping et al.(Chin.Phys.B 23 020304,2014)pointed out that the method of weak measurement and quantum weak measurement reversal can protect entanglement and improve the fidelity of three-qubit quantum state.We generalize the method of weak measurement to the case of qudit state in this paper.By using the operation of weak measurement and quantum weak measurement reversal,we investigate the evolution dynamics of fidelity and fidelity improvement for qudit state under amplitude damping decoherence.We compare two kinds of operations:one is to let the input qudit state cross the amplitude damping decoherence directly,and the other one is that we fi rst make a weak measurement operation on the input qudit state,then through the amplitude damping decoherence, fi nally an operation of quantum weak measurement reversal is done with the output qudit state.We discuss the GHZ state,W state,CL state and some special separable states exactly and obtain the analytic expressions of fidelity and fidelity improvement for qudit state before and after the weak measurement and quantum weak measurement reversal operation.According to the analytic expressions we plot the evolution curves against its corresponding parameters.The e ff ects of corresponding parameters are discussed and a susceptible protection region of the qudit state is also given in the context.The results show that the structure of qudit state is the determined factor to the e ff ect of weak measurement and quantum weak measurement reversal.There are some di ff erent e ff ects on the di ff erent structured qudit states.For entangled state,the fidelity of qudit GHZ state can be protected in a relatively big evolution region,most part of the fidelity improvement is in the upper part of the zero reference plane.While the fidelity of qudit W state can be improved e ff ectively in the whole evolution region,which is a perfect protection.The evolution regulations of qudit CL state and Dick state are between evolution regulations of the GHZ state and W state.When we input some special separable qudit states which have similar structures to W state,their fidelity and fidelity improvement are almost the same as W state’s.It is demonstrated that the structure of qudit state is important for the weak measurement in a step.This work is meaningful for the quantum information process.

weak measurement,qudit,amplitude, fidelity

10.7498/aps.66.010301

?廣東省自然科學基金(批準號:2015A030310354)和廣東海洋大學優(yōu)秀青年骨干教師基金資助的課題.

?通信作者.E-mail:940038299@qq.com