趙秀蘭，呂鳳姣，陳麗娟

（1.黃河科技學(xué)院數(shù)理部，河南 鄭州，450063；2.河南工程學(xué)院理學(xué)院，河南 鄭州，450007）

ZHAO Xiulan1,Lü Fengjiao1,CHEN Lijuan2

（1.Department of Mathematics and Physics,Huanghe Science and TechnologyCollege,Zhengzhou 450063,Henan,China; 2.Henan Institute of Engineering,Zhengzhou 450007,Henan,China）

偽補(bǔ)MS代數(shù)的理想與濾子同余關(guān)系的注記

趙秀蘭1，呂鳳姣1，陳麗娟2

（1.黃河科技學(xué)院數(shù)理部，河南 鄭州，450063；2.河南工程學(xué)院理學(xué)院，河南 鄭州，450007）

依據(jù)偽補(bǔ)MS代數(shù)的核理想及余核濾子判別定理以及核理想和余核濾子所生成的同余關(guān)系表達(dá)式，研究了偽補(bǔ)MS代數(shù)的核理想和余核濾子同余關(guān)系的同余置換性，證明了偽補(bǔ)MS代數(shù)核理想格和余核濾子格是同構(gòu)的.

Ockham代數(shù)；偽補(bǔ)代數(shù)；偽補(bǔ)MS代數(shù)；核理想；余核濾子；同構(gòu)

0引言

在泛代數(shù)研究領(lǐng)域，對(duì)代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究，一直是本專業(yè)學(xué)者關(guān)注的方向.理想和濾子是人們認(rèn)識(shí)Ockham代數(shù)類的結(jié)構(gòu)及同余關(guān)系的一個(gè)重要工具，特別是核理想與余核濾子的同余關(guān)系反映Ockham代數(shù)類的結(jié)構(gòu).在文獻(xiàn)[1-8]中，作者在相應(yīng)的代數(shù)類上引入理想與濾子，以理想與濾子為載體刻畫代數(shù)結(jié)構(gòu).文獻(xiàn)[4-5]研究了偽補(bǔ)MS代數(shù)的理想和濾子，給出了偽補(bǔ)MS代數(shù)具有核理想和余核濾子同余關(guān)系表達(dá)式以及核理想和余核濾子判別定理.文獻(xiàn)[9]首次引入偽補(bǔ)MS代數(shù)的概念，在這篇文獻(xiàn)中，作者定義了偽補(bǔ)MS代數(shù)，描述了偽補(bǔ)MS代數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，給出了偽補(bǔ)MS代數(shù)的主同余表示定理（偽補(bǔ)MS代數(shù)的詳細(xì)信息見文獻(xiàn)[10-12]）.本文作為文獻(xiàn)[4-5]的一個(gè)補(bǔ)充，在偽補(bǔ)MS代數(shù)的理想和濾子已有結(jié)論的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步討論偽補(bǔ)MS代數(shù)核理想與余核濾子同余關(guān)系的性質(zhì).

1 基本知識(shí)

定義1.1[13]設(shè)（L；∧，∨）是一個(gè)格，I是格L的子格，若x，y∈L，y≤x∈I總有y∈I，稱子格I是格L的理想.對(duì)偶地，F(xiàn)是格L的子格，若x，y∈L，y≥x∈F總有y∈F，稱子格F是格L的濾子.

便于闡述，沿用文獻(xiàn)[13]中的符號(hào)，記I（L），F(xiàn)（L）分別代表L的全體理想和全體濾子所構(gòu)成的集合.設(shè)I，J∈I（L），F(xiàn)1，F(xiàn)2∈F（L），定義

定義1.2[10]設(shè)（L；∧，∨，0，1）是一個(gè)有界分配格，其上賦予一個(gè)一元運(yùn)算o，且滿足下列條件：

（1）（?x∈L）x≤xoo；

（2）（?x，y∈L）（x∧y）o＝xo∧yo；

（3）1o＝0.

稱（L；∧，∨，o，0，1）為MS代數(shù).

定義1.3[11-12]一個(gè)偽補(bǔ)代數(shù)（簡(jiǎn)稱p-代數(shù)）是一個(gè)代數(shù)（L；∧，∨，*，0，1），它具有一個(gè)最小元0及一個(gè)映射*：L→L使得x*＝max{y∈L∧y＝0}.

定義1.4[9]設(shè)（L；∧，∨，0，1）是一個(gè)有界分配格，其上賦予兩個(gè)一元運(yùn)算*和o，其中（L；*）是p-代數(shù)，（L；）°是MS-代數(shù)，并且一元運(yùn)算*和o滿足條件（x∈L）x*°＝x°*，稱（L；∧，∨，*，o，0，1）是偽補(bǔ)MS-代數(shù)（簡(jiǎn)稱pMS-代數(shù)）.

定義1.5[9]設(shè)（L；∧，∨，*，o，0，1）是pMS-代數(shù)，θ是L的一個(gè)格同余關(guān)系，若

（x，y）∈θ?（x*，y*）∈θ，（（fx），（fy））∈θ，

則稱θ是L的同余關(guān)系.符號(hào)ConL表示L的全體同余關(guān)系構(gòu)成的集合.

定義1.6[11-12]設(shè)（L；∧，∨，*，o，0，1）是pMS-代數(shù)，對(duì)于L的理想I，若存在L的一個(gè)

對(duì)于L的濾子F，若存在L的一個(gè)同余關(guān)系φ，使得F＝Cokerφ，其中

稱濾子F為L(zhǎng)的余核濾子.

引理1.1[9]設(shè)（L；∧，∨，*，o，0，1）是pMS-代數(shù)，則有下列結(jié)論：

（1）（?a∈L）ao*o＝a*oo＝aoo*＝a*；

（2）（?a∈L）a*o*＝ao**＝a**o＝ao；

（3）（?a∈L）a**＝aoo；

（4）（?a，b∈L）（a∧b）*＝a*∨b*

現(xiàn)給出pMS-代數(shù)核理想，余核濾子的判別定理.

引理1.2[4-5]設(shè)（L；∨，∧，*，o，0，1）是一個(gè)pMS-代數(shù)，I是L的理想，F(xiàn)是L的濾子，則

（1）I是L的核理想，當(dāng)且僅當(dāng)（a∈L）a∈I?{a**，a*°}?I；

（2）F是L的余核濾子當(dāng)且僅當(dāng)（?a∈L）a∈F?a*°∈F.

設(shè)L是pMS-代數(shù)，符號(hào)KI（L）表示L的全體核理想構(gòu)成的集合.符號(hào)CokF（L）表示L的全體余核濾子構(gòu)成的集合.

引理1.3[4-5]

（1）設(shè)L是pMS-代數(shù)，則K（IL）是（IL）的子格.

（2）設(shè)L是pMS-代數(shù)，CokF（L）是F（L）的子格.

引理1.4[4]設(shè)（L；∨，∧，*，o，0，1）是pMS-代數(shù)，I是L的核理想，則下列命題等價(jià)：

（1）（x，y∈L）（x，y）∈θ（I）；

（2）（?i∈I）x∨i＝y(tǒng)∨i；

（3）（?i，j∈I）（x∨i）∧j*＝（y∨i）∧j*.

引理1.5[5]設(shè)（L；∨，∧，*，o，0，1）是一個(gè)pMS-代數(shù)，F(xiàn)是L的余核濾子，則（x，y）∈θ（F）?（?a，b∈F）（x∧a）∨b°＝（y∧a）∨b°.

引理1.6設(shè)（L；∨，∧，*，°，0，1）是一個(gè)pMS-代數(shù)，F(xiàn)是L的余核濾子，則下列命題等價(jià)：

（1）（x，y∈L）（x，y）∈θ（F）；

（2）（?i∈F）x∧i＝y(tǒng)∧i；

（3）（?a，b∈F）（x∧a）∨b°＝（y∧a）∨b°.

證明 由引理1.5知，（1）與（3）等價(jià).易見，（2）?（3），下證（3）?（2）.

假設(shè)（3）成立，則（?a，b∈F）（x∧a）∨b°＝（y∧a）∨b°.由引理1.1知，b°＝b°**，故

[（x∧a）∨b°**]∧b°*＝[（y∧a）∨b°**]∧b°*，根據(jù)分配性及b°**∧b°*＝0，可得x∧a∧b°*＝y(tǒng)∧a∧b°*.由引理1.2知，b°*∈F，又因a∈F，從而a∧b°*∈F，所以（2）成立.

設(shè)（L；∨，∧，*，o，0，1）是一個(gè)pMS-代數(shù)，I是L的核理想，F(xiàn)是L的余核濾子，在L上定義一個(gè)等價(jià)關(guān)系RI和RF如下：（x，y）∈RI?（?i∈I）x∨i＝y(tǒng)∨i；（x，y）∈RF?（?i∈F）x∧i＝y(tǒng)∧i.

在文獻(xiàn)[4]和[5]中，已論證過RI∈ConL，RF∈ConL且I＝KerRI，F(xiàn)＝KerRF.

在第2部分，將分別探討核理想與余核濾子及其對(duì)應(yīng)的核理想同余關(guān)系與余核濾子同余關(guān)系之間的同構(gòu)關(guān)系，偽補(bǔ)MS代數(shù)核理想格與其余核濾子格的同構(gòu)關(guān)系.

2 主要結(jié)果

定理2.1設(shè)（L；∨，∧，*，o，0，1）是1個(gè)pMS-代數(shù)，則

（1）（I，J∈K（IL））I≤J?RI≤RJ；

（2）（F1，F(xiàn)2∈CokF（L））F1≤F2?RF1≤RF2

證明（1）設(shè)I，J∈K（IL），I≤J，由RI，RJ的定義知，RI≤RJ.

另一方面，設(shè)I，J∈KI（L），RI≤RJ，則KerRI≤KerRJ.由文獻(xiàn)[4]知，I＝KerRI，J＝KerRJ，所以I≤J.

（2）設(shè)F1，F(xiàn)2∈CokF（L），由RF1，RF2的定義知，若F1≤F2，則RF1≤RF2.

另一方面，設(shè)F1，F(xiàn)2∈CokF（L），由文獻(xiàn)[5]知，F(xiàn)1＝CokerRF1F2＝CokerRF2.所以，若RF1≤RF2，CokerRF1≤CokerRF2，故RF1≤RF2.

設(shè)L是pMS代數(shù)，θ，φ∈ConL，定義L上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.

（x，y）∈θφ?（?z∈L）（x，z）∈θ，（z，y）∈φ.

易見，θφ是L上的同余關(guān)系.

若θ，φ∈ConL，且θ，φ滿足關(guān)系式θφ＝φ θ，則稱同余關(guān)系θ，φ具有同余置換性.

對(duì)于任意的I1，I2∈K（IL），F(xiàn)1，F(xiàn)2∈CokF（L），則RI1，RI2及RF1，RF2具有同余置換性.

定理2.2設(shè)（L；∨，∧，*，°，0，1）是1個(gè)pMS-代數(shù)，I，J∈K（IL），F(xiàn)1，F(xiàn)2∈CokF（L），則

（1）RIRJ＝RJRI；

（2）RF1RF2＝RF2RF1.

證明（1）令（x，y）∈RIRJ，則存在z∈L，使得（x，z）∈RI，（z，y）∈RJ.于是存在

i∈I，j∈J使得x∨i＝z∨i，z∨j＝y(tǒng)∨j.

所以x∨i∨j＝y(tǒng)∨i∨j

令t＝（x∨j）∧（y∨i），則

x＝x∧（x∨i∨j）≡RJ（x∨j）∧（x∨i∨j）＝（x∨j）∧（y∨i∨j）≡RJ（x∨j）∧（y∨i）.

所以，（x，t）∈RJ.

又因

t∨i＝（（x∨j）∧（y∨i））∨i＝（x∨i1∨i2）∧（y∨i1）＝i∨（（x∨i∨j）∧y），所以

即t≡RIy.因此（x，y）∈RJRI，從而得到RIRJ≤RJRI.類似地，可得到相反的不等式，因此（1）成立.（2）假設(shè)（x，y）∈RF1RF2，則存在z∈L，使得（x，z）∈RF1，（z，y）∈RF2，則存在f1∈F1，f2∈F2，有x∧f1＝z∧f1，z∧f2＝y(tǒng)∧f2.所以x∧f1∧f2＝y(tǒng)∧f1∧f2.

令s＝（x∧f2）∨（y∧f1），從而可得

因此，（x，s）∈RF2.

又因s∧f1＝（x∧f1∧f2）∨（y∧f1）＝（[x∧f1∧f2）∨y]∧f1，

所以s≡RF1（x∧f1∧f2）∨y＝（y∧f1∧f2）∨y＝y(tǒng).

即s≡RF1y.所以（x，y）∈RF2RF1，從而得到RF1RF2≤RF2RF1.

類似地，可得到相反的不等式，因此（2）成立.

定理2.3

（1）K（IL）?Con（kL）；

（2）CokF（L）?Con（FL）.

證明（1）先證I，J∈KI（L），有RI∧RJ＝RI∧J.由引理1.3知，I∧J∈KI（L）.又因I∧J≤I，I∧J≤J，故由定理2.1知，RI∧J≤RI，RI∧J≤RJ，所以RI∧J≤RI∧RJ.

設(shè)（x，y）∈RI∧RJ，由文獻(xiàn)[13]知，（x，y）∈RI且（x，y）∈RJ，則存在i∈I，j∈J使得x∨i＝y(tǒng)∨i，x∨j＝y(tǒng)∨j.從而（x∨i）∧（x∨j）＝（y∨i）∧（y∨j）.于是x∨（i∧j）＝y(tǒng)∨（i∧j）.又因i∧j∈I∧J，故（x，y）∈RI∧J，所以RI∧RJ≤RI∧J.因此RI∧RJ＝RI∧J.

再證對(duì)任意的I，J∈KI（L），有RI∨RJ＝RI∨J.由引理1.3知，I∨J∈K（IL）.

注意到I∨J≥I，I∨J≥J，由定理2.1知，RI∨J≥RI，RI∨J≥RJ，所以RI∨J≥RI∨RJ.

設(shè)（x，y）∈RI∨J，則存在i∈I及i∈J使x∨i∨j＝y(tǒng)∨i∨j，從而有

故（x，y）∈RI∨RJ，所以有RI∨J≤RI∨RJ，因此RI∨RJ＝RI∨J.

又因RI＝RJ當(dāng)且僅當(dāng)I＝KerRI＝KerRJ＝J，所以映射：I→RI建立起K（IL）→Con（kL）的一一對(duì)應(yīng)，所以K（IL）?Con（kL）.（2）對(duì)偶地，可證CokF（L）?Con（FL）.

設(shè)L是pMS代數(shù)，對(duì)于L的每一個(gè)余核濾子F和核理想I，記集合，β（F）＝{x∈（?a∈F）x≤ao}，α（I）＝{x∈L（?a∈I）x≥a*}.

定理2.4設(shè)（L；∨，∧，*，o，0，1）是1個(gè)pMS-代數(shù)，又設(shè)I及F分別是L的核理想與余核濾子，則

（1）α（I）是L的余核濾子；

（2）β（F）是L的核理想.

證明（1）易得，α（I）是L的濾子.設(shè)x∈α（I），則存在a∈I，使得

由引理1.2知，I是L的核理想，則a*o∈I，所以x*o∈α（I）.又有引理1.2可得，α（I）是L的余核濾子.

（2）顯然，β（F）是L的理想.設(shè)x∈β（F），則存在a∈F，使得

x≤ao，x**≤ao**＝（a*）*o，x*o≤ao*o＝（ao）*o，

由引理1.2知，a**，a*o∈F.所以x**，x*o∈β（F）.又有引理1.2得，β（F）是L的核理想.

根據(jù)RI，RF的定義，那么，余核濾子α（I）和核理想β（F）的同余關(guān)系將與核理想I與余核濾子F之間建立下列等式關(guān)系.

定理2.5設(shè)（L；∨，∧，*，o，0，1）是1個(gè)pMS-代數(shù)，I是L的核理想，則θ（I）＝θ（α（I））.

證明 設(shè)（x，y）∈θ（I），由引理1.4知，則有（?i∈I）x∨i＝y(tǒng)∨i，從而得

根據(jù)分配性及i∧i*＝0，故x∧i*＝y(tǒng)∧i*.又因i*∈α（I），故由引理1.6知，（x，y）∈θ（α（I））.所以θ（I）?θ（α（I））.

另一方面，設(shè)（x，y）∈θ（α（I）），由引理1.5知，存在a，b∈α（I），使得

（x∧a）∨b°＝（y∧a）∨b°.由于a，b∈α（I），則存在i，j∈I，有a≥i*，b≥j*，從而bo≤j*o.故（x∧a）∨j*o＝（y∧a）∨j*o.根據(jù)分配性得

故

因?yàn)閍≥i*，所以

由于j*o，i∈I，由引理1.4知，（x，y）∈θ（I）.所以θ（α（I））?θ（I）.因此θ（I）＝θ（α（I））.

對(duì)于θ（β（F）），θ（F），不存在關(guān)系式θ（β（F））＝θ（F），只滿足如下關(guān)系式.

定理2.6 θ（β（F））?θ（F）.

證明 設(shè)（x，y）∈θ（β（F）），由引理1.4知，存在a，b∈β（F），（x∨a）∧b*＝（y∨a）∧b*.由a，b∈β（F），存在i，j∈F，使得a≤io，b≤jo.所以

故

從而（x∧jo）*∨io＝（y∧jo）*∨io.故由引理4知，（x，y）∈θ（F），所以θ（β（F））?θ（F）.

下面，舉反例說明θ（F）?θ（β（F））.設(shè)（L；∨，∧，*，°，0，1）是1個(gè)pMS-代數(shù)，如圖1所示.

令F＝{a，1}，由β（F）的定義知，β（F）＝{0}.易見（a，1）∈θ（F），但（a，1）?θ（β（F））.若（a，1）∈θ（β（F）），則a∨0＝1∨0＝1，故a＝1，此a≠1與相矛盾，故θ（F）?θ（β（F））.

定理2.7（1）β（α（I））＝I；（2）α（β（F））＝F.

證明（1）由定理2.4知，β（α（I））是L的核理想.設(shè)x∈β（α（I）），當(dāng)且僅當(dāng)存在a∈α（I），使得x≤ao.由a∈α（I），當(dāng)且僅當(dāng)存在i∈I，使得a≥i*，所以x≤i*o.由引理1.2知，i*o∈I，從而x∈I，故β（α（I））＝I.

（2）由定理2.4知，α（β（F））是L的余核濾子.設(shè)x∈α（β（F）），當(dāng)且僅當(dāng)存在a∈β（F）使得x≥a*.由a∈β（F），當(dāng)且僅當(dāng)存在j∈F，使得a≤jo，即x≥jo*.由引理1.2知，jo*∈F，從而x∈F，故α（β（F））＝F.

設(shè)L是pMS代數(shù)，對(duì)于L的核理想集KI（L）和余核濾子集CokF（L），有下列定理.

定理2.8 KI（L）?CokF（L）.

證明 定義映射f∶KI（L）→CokF（L）和映射g∶CokF（L）→KI（L），使得

?I∈KI（L），f（I）＝α（I），

?F∈CokF（L），g（F）＝β（F）.設(shè)I1，I2∈KI（L），F(xiàn)1，F(xiàn)2∈CokF（L），由引理1.3知，

I1∧I2，I1∨I2∈KI（L），F(xiàn)1∧F2，F(xiàn)1∨F2∈CokF（L）.

又由定理2.4知，

圖1

由定理2.3和定理2.8，易得下列結(jié)論.

推論2.1 Conk（L）?KI（L）?CokF（L）?ConF（L）.

3 結(jié)論

本文在文獻(xiàn)[4]和[5]的基礎(chǔ)上，利用偽補(bǔ)MS代數(shù)的核理想和余核濾子判別定理以及它們的同余關(guān)系表達(dá)式，論證了偽補(bǔ)MS代數(shù)的核理想和余核濾子同余關(guān)系的同余置換性，獲得

了偽補(bǔ)MS代數(shù)核理想格和余核濾子格同構(gòu)的結(jié)論.這一結(jié)論有助于我們了解偽補(bǔ)MS代數(shù)的結(jié)構(gòu)，同時(shí)豐富了序代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究.

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A Note on the Ideal and Filter Congruence Relations on Pseudo Complement MS Algebras

By using the discriminant theorem of kernel ideals and co-kernel filters on pseudo complemented MS algebras,the expression of the kernel ideals,co-kernel filters congruence relations are obtained.It is shown that the congruence permutation of kernel ideals and co-kernel filters,the lattice of kernel ideals and the lattice of co-kernel filters are isomorphic.

Ockham algebra;pseudo complemented algebra;pseudo complement MS algebra; kernel ideal;co-kernel filter;isomorphism

ZHAO Xiulan1,Lü Fengjiao1,CHEN Lijuan2

（1.Department of Mathematics and Physics,Huanghe Science and TechnologyCollege,Zhengzhou 450063,Henan,China; 2.Henan Institute of Engineering,Zhengzhou 450007,Henan,China）

O151

A

1001-4217（2017）03-0022-07

2016-08-26

趙秀蘭（1982—），女，河南周口人，副教授，碩士，研究方向：格論與序代數(shù).E-mail：xiulanz@126.com.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11302072）.