趙曉輝，聞國椿，楊廣武

(1．河北工程技術(shù)學(xué)院經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，河北石家莊 050091；2．北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)院，北京 100871；3．河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018)

一類二階退化雙曲型方程Darboux問題解的存在唯一性

趙曉輝1，聞國椿2，楊廣武3

(1．河北工程技術(shù)學(xué)院經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，河北石家莊 050091；2．北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)院，北京 100871；3．河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018)

提出和討論了第二Darboux問題為其特殊情形的斜微商問題，使用復(fù)分析（或函數(shù)論）的方法證明了問題解的存在性與唯一性.

退化雙曲型方程；Darboux問題；解的存在唯一性

由于區(qū)域的不同，會(huì)對(duì)描述運(yùn)動(dòng)的微分方程有影響，這便產(chǎn)生了混合型方程問題以及在某個(gè)區(qū)域中退化為何種方程的問題．在航空航天以及其他有關(guān)空氣動(dòng)力學(xué)的問題中，雙曲型方程的應(yīng)用，尤為顯現(xiàn)．Chaplygin方程φ(y)uxx+uyy=0在解決高速空氣動(dòng)力學(xué)中發(fā)揮了重要的作用，而F. Tricomi方程yuxx+uyy=0在空氣動(dòng)力學(xué)中研究跨音速流問題時(shí)，是一個(gè)很好的近似模型[1]．在本文中，我們所討論的方程為：

其中a,b,c,d為x,y的已知函數(shù)．顯然，Chaplygin方程和F. Tricomi方程均為方程（1）的特殊情形，而以上所說的方程均為混合型方程．在F. Tricomi方程中，當(dāng)y＞0時(shí)為橢圓型，當(dāng)y＜0時(shí)為雙曲型，y=0為其退化轉(zhuǎn)型線．

1 二階退化雙曲型方程第一Darboux問題及有關(guān)問題

Bitsadze在文[2]中用實(shí)分析的方法討論了二階一致雙曲型方程

的第一、第二Darboux問題．近年來關(guān)于Darboux問題及相關(guān)問題的研究成果大都是使用實(shí)分析的方法[3-5]，而使用復(fù)分析或函數(shù)論方法的研究成果甚少．

對(duì)于一個(gè)具體的二階雙曲型方程，可通過解一個(gè)常微分方程求出其特征線．因方程（1）中含有K(y)，我們只能用一般形式表示其特征線．我們所討論的平面單連通區(qū)域G，由x軸上的線段Γ0=[0,2]及方程（1）的位于下半平面的兩條特征線：

問題D1求在閉區(qū)域上的一個(gè)復(fù)變實(shí)值函數(shù)u(z)，適合方程（1），且滿足如下邊界條件：

其中φ(z),ψ(x)滿足條件

下面提出的斜微商問題，包含第二Darboux問題為其特殊情形，我們簡記為：

問題P 求在閉區(qū)域上的一個(gè)復(fù)變實(shí)值函數(shù)u(z)，適合方程（1），且滿足如下斜微商條件及點(diǎn)型條件

其中，l是Γ0,Γ1上每一點(diǎn)處給定向量，b0,b1都是實(shí)常數(shù)，而滿足條件

此處α(0＜α＜1),k0,k2都是非負(fù)常數(shù)．

易知，前述問題D1是問題P的一種特殊情形．

2 問題P解的存在唯一性的證明

2.1 區(qū)域?yàn)镚′的情形

先來考慮帶非特征邊界的一般區(qū)域G′，并證明在G′上方程（1）之問題P的解的存在唯一性．這里區(qū)域G′的邊界是Γ0∪Γ′，其中Γ0如前面所述，?！?Γ1′∪?！?，而Γ1′, ?！?的參數(shù)表示為

討論在區(qū)域G′上的方程（1）帶有如下斜微商邊界條件及點(diǎn)型條件的斜微商邊值問題，即問題P′：

于是曲線Γ1′可表示成：作如下變換

其中h,q都是實(shí)變量．該變換的逆變換為

易知，變換（14）把區(qū)域G′映射為區(qū)域G，又變換（14）及它的逆變換（15）可寫成

這是在區(qū)域G′上方程組（13）的另一形式，其中E=F=Cu+d．假設(shè)方程組（18）在G′上滿足條件C，經(jīng)過變換（14），可得，其中ξ=u+q，yq，并得

通過變換（16），邊界條件（11）則轉(zhuǎn)化為

定理1 設(shè)方程（1）在G′上滿足條件C，則方程（1）的問題P′存在唯一解u(z)．

2.2 區(qū)域?yàn)镚′′的情形

再來討論在區(qū)域G′′上的情況，G′′是以Γ0∪Γ′′（?！洹?Γ1′′∪?！?′）為邊界的單連通區(qū)域，這里Γ1′′, ?！?′的表示式為

其中r1(0)=0，r2(2)=0，r1(x)＞0，0＜x≤l，γ1(x)在0≤x≤l,γ2(x)在l≤x≤2連續(xù)，且除了有限個(gè)點(diǎn)外它們的一階導(dǎo)函數(shù)連續(xù)．又其中J1(x),J2(x)分別是x-2=G(y)，x=-G(y)的反函數(shù)．而表示y=-γ2(x)在點(diǎn)p2=[x,-γ2(x)]的斜率大于特征線在點(diǎn)P2處的斜率．記記在G′′上的問題P為問題P′′．我們的方法仍然是將其轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的Riemann-Hilbert問題，為此討論區(qū)域G′′上方程（18）帶有邊界條件：

此處α(0＜α＜1),k0,k2都是非負(fù)常數(shù)．

由條件（21）即求得h=x+G(y)之反函數(shù)即q=2τ(h)-h,0≤h≤2．又曲線Γ2′′可表示為，即

其中h,q都是實(shí)的變量．該變換之逆變換為

則有

又方程組（18）轉(zhuǎn)化為

而通過變換（27），在Γ0∪Γ1′′上的邊界條件轉(zhuǎn)化為

定理2 若方程（1）在以Γ0∪Γ′′∪?！?′為邊界的區(qū)域G′′上適合條件C，且在?！洹?Γ1′′∪Γ′2′上滿足邊界條件（22），則問題P′′有唯一解u(z)．

我們所實(shí)施的變換都是可逆的，具體說經(jīng)過變換（25）、（27）邊界Γ1′′, ?！?′變回為Γ1′, ?！?（仍要求Γ1′, Γ′2滿足（10）中條件），而變換（14）又把G′映射回G，便解決了所提出的問題P．即有

定理3 若方程（1）在以Γ0∪Γ1∪Γ2為邊界的區(qū)域G上適合條件C，則其問題P存在唯一解u(z)．

3 結(jié) 語

由于航空航天和空氣動(dòng)力學(xué)等實(shí)際問題的需要，研究混合型偏微分方程及退化方程是數(shù)學(xué)義不容辭的任務(wù)，Chaplygin方程和F. Tricomi方程都是在這種意義下提出的，并發(fā)揮了重要作用．就方程來說，我們所研究的方程不僅將Chaplygin方程和F. Tricomi方程作為特例，而且將Bitsadze所討論的方程也作為其特殊情形．對(duì)于雙曲型方程，一般來講，邊值問題是沒有意義的，所謂第一Darboux問題是在區(qū)域的一部分邊界上使所求函數(shù)取已知函數(shù)，而在一部分邊界上給出點(diǎn)型條件．所謂第二Darboux問題是在區(qū)域的一部分邊界上使所求函數(shù)在外法線方向的導(dǎo)數(shù)取已知函數(shù)，而在一部分邊界上給出點(diǎn)型條件．顯然，第二Darboux問題為我們所解決問題P的特殊情形．歷來認(rèn)為使用函數(shù)論方法只能解決橢圓型方程問題，本文幾經(jīng)變換，將討論問題劃歸為Riemann-Hilbert問題．從而無論在解決Riemann-Hilbert問題中，還是在討論第一Darboux問題時(shí)，都是建立解的表示式、進(jìn)行先驗(yàn)估計(jì)、使用schauder等不動(dòng)點(diǎn)定理等函數(shù)論的方法來討論解的存在唯一性．

[1] 柯朗，希爾伯特．?dāng)?shù)學(xué)物理方法：卷Ⅱ[M]．熊振翔，楊應(yīng)辰，譯．北京：高等教育出版社，1981：179-187，526-530.

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[7] 聞國椿，楊廣武．二階非線性橢圓型復(fù)方程的黎曼-希爾伯特問題[J]．河北化工學(xué)院學(xué)報(bào)，1980（2）：49-57．

[8] Wen G C. The Riemann-Hilbert problem for mixed complex equations of first order with degenerate rank 0 [J]. Acta Math Appl Sin-E, 2015, 31(1): 31-42.

Abstract:The problem of oblique derivative of the second Darboux problem for its special case is presented and discussed in this paper. And then the method of complex analysis (or function) is applied to prove the existence and uniqueness of the solution of such a problem.

Key words:Degenerate Hyperbolic Equations; Second Darboux Problem; Existence and Uniqueness of Solutions

(編輯：封毅)

The Existence and Uniqueness of Solutions for the Second-order Degenerate Hyperbolic Equations with Darboux Problems

ZHAO Xiaohui1, WEN Guochun2, YANG Gangwu3
(1. School of Economics and Management, Hebei College of Polytechnics, Shijiazhuang,China 050091; 2. Academy of Mathematical Sciences, Peking University, Beijing,China 100871; 3. School of Sciences, Hebei University of Science and Technology, Shijiazhuang, China 050018)

O175.27

A

1674-3563(2017)03-0016-07

10.3875/j.issn.1674-3563.2017.03.003 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

2016-05-13

國家自然科學(xué)基金(10471149)；河北省教委基金(2350044)

趙曉輝(1982-)，女，河北順平人，講師，碩士，研究方向：偏微分方程的函數(shù)論方法