江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校 祁衛(wèi)勇

小學(xué)階段“數(shù)形結(jié)合”思想初探

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校 祁衛(wèi)勇

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”是小學(xué)階段兩個(gè)重要的課程內(nèi)容。從數(shù)學(xué)發(fā)展史中我們可以看出這兩者有著緊密的關(guān)系，利用“數(shù)形結(jié)合”方法能使“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面統(tǒng)一起來(lái)。數(shù)、形都來(lái)自于自然，因此“數(shù)形結(jié)合”更有其現(xiàn)實(shí)意義。

數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)發(fā)展史；數(shù)、形、自然

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中，“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”是小學(xué)階段兩個(gè)重要的課程內(nèi)容。翻開(kāi)數(shù)學(xué)發(fā)展史，我們看到從遠(yuǎn)古人類(lèi)發(fā)現(xiàn)數(shù)、形開(kāi)始，數(shù)與形就從來(lái)沒(méi)有分開(kāi)過(guò)，小學(xué)階段強(qiáng)調(diào)“數(shù)形結(jié)合”不但體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)要符合兒童思維發(fā)展的規(guī)律，更體現(xiàn)了我們探索數(shù)學(xué)之源的方法和古人是一脈相承的。在小學(xué)階段，“數(shù)形結(jié)合”的方法不應(yīng)該只停留在一種解題的策略，更應(yīng)該從歷史中看它的意義，將它提高到一個(gè)應(yīng)有的高度。

一、什么是“數(shù)（式）形結(jié)合”

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中最基本的兩個(gè)研究對(duì)象，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個(gè)聯(lián)系稱(chēng)之為數(shù)形結(jié)合或形數(shù)結(jié)合。借助于“形”的直觀來(lái)理解抽象的“數(shù)”、運(yùn)用“數(shù)”與“式”可以更深刻、細(xì)致地研究“形”的特征，直觀與抽象相互配合，取長(zhǎng)補(bǔ)短，從而順利、有效地解決問(wèn)題。

正如華羅庚先生所說(shuō)：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事非；切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離！”

二、探討“數(shù)形結(jié)合”的內(nèi)涵

1.神奇的“黃金分割”數(shù)告訴了我們什么

大家都知道黃金分割數(shù)，從舞蹈演員的身材到黃金螺線形，從蒙娜麗莎迷人的微笑到宇宙天體的形狀，都可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)神奇的數(shù)字0.618，但是直到現(xiàn)在，人們還是沒(méi)有搞清楚為什么自然界與這個(gè)數(shù)有這么大的關(guān)系。似乎冥冥之中這個(gè)數(shù)字在揭示著宇宙中的奧秘，是偶然巧合，還是一種必然？

如果我們追溯遠(yuǎn)古，想象一下古人是如何認(rèn)識(shí)這個(gè)世界的，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，古人一定是先看到這個(gè)自然界，觀察很多物體的形狀或事物發(fā)生的規(guī)律，將這些用某種圖形描繪下來(lái)，而有的圖形就轉(zhuǎn)化成現(xiàn)在的數(shù)。所以我們發(fā)現(xiàn)，人類(lèi)應(yīng)該是從自然界到圖形、數(shù)這樣一個(gè)認(rèn)知的過(guò)程，再用數(shù)、形去反映、刻畫(huà)他們所看到的世界。現(xiàn)在我們發(fā)現(xiàn)了數(shù)居然與自然界有如此緊密的聯(lián)系并不奇怪，這不是恰恰說(shuō)明我們的數(shù)或形對(duì)自然界的規(guī)律進(jìn)行了簡(jiǎn)潔的總結(jié)和描繪，將自然界的統(tǒng)一規(guī)律用一個(gè)最簡(jiǎn)潔的數(shù)字0.618敘述出來(lái)了嗎？0.618這個(gè)密碼顯示了什么？是事物生長(zhǎng)的規(guī)律還是宇宙起源的秘密？這些需要科學(xué)家去給出答案了，簡(jiǎn)單的結(jié)果可能隱藏著更深?yuàn)W的道理。

2.從一維、二維、三維空間中看“數(shù)形結(jié)合”

小學(xué)階段的幾何知識(shí)從直線上的點(diǎn)開(kāi)始，直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，那么這些點(diǎn)和數(shù)又有什么關(guān)系呢？如果將這條直線規(guī)定了原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度、正方向，這條直線就是一條數(shù)軸，這條數(shù)軸上的點(diǎn)和數(shù)之間是一一對(duì)應(yīng)的。

如果將兩條數(shù)軸互相垂直相交，有同一個(gè)原點(diǎn)，這個(gè)數(shù)軸所在的平面上的任意一點(diǎn)與數(shù)對(duì)之間也是一一對(duì)應(yīng)的。

如果經(jīng)過(guò)一個(gè)原點(diǎn)三條互相垂直的數(shù)軸所在的空間中，任意一點(diǎn)和坐標(biāo)也是一一對(duì)應(yīng)的。

我們看出在直線、平面、空間中的點(diǎn)，都和數(shù)之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而點(diǎn)是最簡(jiǎn)單的圖形，任何圖形都可以看作是由點(diǎn)組成的，顯然圖形和數(shù)之間存在著重要的關(guān)系。

3.式（特殊的數(shù)）與形的關(guān)系

在小學(xué)階段，有一個(gè)章節(jié)是“用字母表示數(shù)”，學(xué)習(xí)了用“式”或“方程”表示數(shù)，它們?cè)谝痪S、二維、三維空間中點(diǎn)與數(shù)又是什么關(guān)系呢？x=5、x+5=6,這些方程的解表示的是一維空間中數(shù)軸上的點(diǎn)；y/x=k(一定)、xy=k(一定)表示的是二維空間平面上特定的線（直線、曲線）；而z=x2+y2得到的曲面是三維空間上的拋物面。從這些方程中我們看出，在線、面、空間中，方程在不同的維度中可以用獨(dú)特的圖形進(jìn)行呈現(xiàn)，這也是數(shù)與圖形獨(dú)特關(guān)系的最好詮釋。

三、小學(xué)階段“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)應(yīng)用

在小學(xué)教學(xué)中，用直觀的形來(lái)研究數(shù)的規(guī)律更加形象清楚。如在《非零自然數(shù)和的奇偶性》教學(xué)中，教師分三種類(lèi)型進(jìn)行教學(xué)：偶數(shù)+偶數(shù)、偶數(shù)+奇數(shù)、奇數(shù)+奇數(shù)。在教學(xué)中，教師充分應(yīng)用幾何直觀進(jìn)行教學(xué)，取得了良好的效果。

教師用點(diǎn)表示數(shù)，兩個(gè)點(diǎn)表示2，成對(duì)出現(xiàn)的圖形就是偶數(shù)，圖形中有不成對(duì)的點(diǎn)就表示奇數(shù)。

如圖：偶數(shù)+偶數(shù)。

兩個(gè)成對(duì)出現(xiàn)點(diǎn)的圖形，合成一個(gè)圖形還是成對(duì)出現(xiàn)，所以偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)。

我們?cè)賮?lái)研究奇數(shù)+奇數(shù)，兩個(gè)不成對(duì)出現(xiàn)的點(diǎn)合并在一起配成一對(duì)，變成了一個(gè)都是成對(duì)出現(xiàn)的圖形，這個(gè)圖形表示的就是偶數(shù)，所以奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)。

同樣方法，我們可以研究偶數(shù)+奇數(shù)等問(wèn)題，這節(jié)課從用點(diǎn)圖表示奇偶性到合成圖形表示的奇偶性，形象直觀地反映出數(shù)字奇偶性求和的規(guī)律。

研究用數(shù)、式可以細(xì)致入微地研究“形”的特征，如用y/x=k(一定)、xy=k(一定)方程研究正反比例圖數(shù)圖象的性質(zhì)等。

老子說(shuō)：“道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物?！睆睦献舆@句樸實(shí)的哲學(xué)思想中，就道出了數(shù)、形（陰陽(yáng)圖）、自然界有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。正是由于數(shù)、形有著緊密的聯(lián)系，我們就不能將二者割裂開(kāi)來(lái)，應(yīng)該將“數(shù)形結(jié)合”作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要組成部分，不僅僅是通過(guò)“幾何直觀”作為解題的一種策略，更應(yīng)該將“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想在小學(xué)階段教給學(xué)生，讓學(xué)生在認(rèn)識(shí)自然、解釋自然中可以充分利用這個(gè)思想工具。