夏舸楊立寇蔚 杜永成

(海軍工程大學(xué)動(dòng)力工程學(xué)院,武漢 430033)

非均勻背景中任意柱狀熱斗篷的研究與設(shè)計(jì)?

夏舸楊立?寇蔚 杜永成

(海軍工程大學(xué)動(dòng)力工程學(xué)院,武漢 430033)

(2016年12月13日收到;2017年2月21日收到修改稿)

在變換熱力學(xué)的基礎(chǔ)上,通過坐標(biāo)變換的方法嚴(yán)格推導(dǎo)出在層狀背景和漸變背景下二維任意形狀熱斗篷導(dǎo)熱系數(shù)的通解表達(dá)式,并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)出非均勻背景下二維非共形熱斗篷.全波仿真結(jié)果表明:在不同背景下,熱流均能繞過保護(hù)區(qū)域流出,保護(hù)區(qū)域的溫度保持不變,而且熱斗篷外的溫度場并沒有破壞,具有很好的熱保護(hù)和熱隱身的效果.這一方法考慮到背景的復(fù)雜性,更加貼近工程實(shí)際應(yīng)用,為未來靈活控制熱流傳遞提供了一種可行的方法,對目標(biāo)熱隱身和熱保護(hù)具有重要借鑒意義.

變換熱力學(xué),非均勻背景,導(dǎo)熱系數(shù),溫度控制

1 引言

近年來,基于波動(dòng)方程形式的不變性,許多學(xué)者通過坐標(biāo)變換方法設(shè)計(jì)介質(zhì)的參數(shù)來控制波的傳遞方向.2006年,Pendry等[1]從麥克斯韋方程的形式不變性出發(fā),設(shè)計(jì)出具有各向異性特性參數(shù)的人工超材料,使得電磁波按照預(yù)先設(shè)定的路徑傳播,從而達(dá)到電磁隱形的目的.之后,人們又把這種方法應(yīng)用到聲波[2]、物質(zhì)波[3]、彈性波[4]和熱流[5,6]的路徑傳播與控制上.

2012年,Guenneau等[7]參照電磁斗篷的設(shè)計(jì)方法,通過等效介質(zhì)理論構(gòu)建出20層具有各向異性參數(shù)的熱斗篷和熱集中器,并通過數(shù)值計(jì)算進(jìn)行了驗(yàn)證.2013年,Yang等[8]設(shè)計(jì)出二維共形任意形狀熱斗篷.2014年,毛福春等[9]在變換熱力學(xué)的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)出具有非共形任意橫截面的柱形熱斗篷熱導(dǎo)率的表達(dá)式,并通過Comsol Multiphysics仿真驗(yàn)證了熱斗篷對隱身區(qū)域具有熱保護(hù)的功能.Li等[10]推導(dǎo)出二維菱形和三維棱柱體熱斗篷的均勻參數(shù),并通過四種各向同性材料交替排列實(shí)現(xiàn).近幾年,一些學(xué)者在利用自然材料構(gòu)造瞬態(tài)熱斗篷方面做了大量相關(guān)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[11?16],結(jié)果表明熱斗篷可以控制熱流的傳遞方向,具有良好的熱隱身和熱保護(hù)效果.

雖然在熱斗篷的參數(shù)推導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證上做了大量的研究,但是這些研究幾乎都是在單一均勻背景下討論得到的,而實(shí)際的背景參數(shù)往往不是均勻單一的.例如埋設(shè)的地雷處于土壤背景中,不同深度的土壤溫度是不相同的,而且溫度是連續(xù)漸變的,因此土壤背景的導(dǎo)熱系數(shù)實(shí)際上也是漸變的,背景則要假定為漸變背景;如果要使埋設(shè)在地下兩層不同土壤間(如粘土和沙土)的目標(biāo)達(dá)到隱身效果,則需要設(shè)計(jì)兩層不同背景下的熱斗篷.因此,根據(jù)導(dǎo)熱方程的形式不變性,本文通過坐標(biāo)變換的方法,推導(dǎo)出層狀不均勻背景以及漸變背景下任意形狀熱斗篷的導(dǎo)熱系數(shù)的通解表達(dá)式,并通過有限元軟件Comsol Multiphysics進(jìn)行仿真驗(yàn)證.

2 二維熱斗篷設(shè)計(jì)的理論和方法

熱傳導(dǎo)是一種依靠物體內(nèi)部的溫度梯度從高溫區(qū)域向低溫區(qū)域傳輸能量的特定方式的傳熱[17].

在無內(nèi)熱源情況下,穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程的一般形式可以寫成[18]

式中,T表示區(qū)域溫度,λ表示導(dǎo)熱系數(shù),?表示梯度算符.

與基于Maxwell方程的變換光學(xué)類似,根據(jù)變換熱力學(xué)理論,由于方程(1)具有形式不變性,導(dǎo)熱方程在變換空間可表示為

式中,T′和λ′分別表示物體在變換空間中的溫度和導(dǎo)熱系數(shù),?′表示變換空間中的梯度算符.變換空間與原空間介質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)的關(guān)系為[19]

式中,A為雅可比變換空間與原空間之間的雅可比矩陣,AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣,det(A)為矩陣的行列式的值.不同坐標(biāo)系下的雅可比矩陣是不同的,在柱坐標(biāo)系下的雅可比矩陣為[20]

對于任意柱狀熱斗篷,假設(shè)內(nèi)外邊界分別為r′=R1(θ)和r′=R2(θ),為了實(shí)現(xiàn)對保護(hù)區(qū)域的完美隱形,把0R2(θ)保持不變.因此變換方程如下[9]:

把(5)式代入(3)式和(4)式,假設(shè)原始空間的導(dǎo)熱系數(shù)為λ0,得到

式中

將柱坐標(biāo)系下的材料導(dǎo)熱系數(shù)轉(zhuǎn)換為材料在笛卡爾坐標(biāo)系下的導(dǎo)熱系數(shù),具體轉(zhuǎn)換關(guān)系如下:

將(6)式代入(7)式,得到

3 層狀不均勻背景下熱斗篷的研究

背景的導(dǎo)熱系數(shù)λ0不是均勻的,如圖1所示.首先,本文假設(shè)整個(gè)背景由N層介質(zhì)組成,導(dǎo)熱系數(shù)分別為λ1,λ2,···,λN,兩層介質(zhì)之間的分界面分別為x=d1,d2,···,dN?1,則變換前的原空間的介質(zhì)導(dǎo)熱系數(shù)為

式中函數(shù)sgn定義如下:

根據(jù)(5)式,得到

綜合(8),(9),(11)式,得到非均勻?qū)訝畋尘跋氯我庵鶢顭岫放竦膶?dǎo)熱系數(shù)為

當(dāng)λ1=λ2=···=λN時(shí),背景可以看作均勻介質(zhì),導(dǎo)熱系數(shù)簡化為文獻(xiàn)[9]的形式.

圖1 N層背景下熱斗篷設(shè)計(jì)空間變換示意圖Fig.1.The schematic of designing space in thermal cloak with N layers background.

由于背景介質(zhì)是分層的,則所設(shè)計(jì)出的熱斗篷也是分層的,分界面方程為

當(dāng)dn=0時(shí),則(k為整數(shù)).所設(shè)計(jì)斗篷的參數(shù)是位于R1(θ′)

當(dāng)dn?=0時(shí),則不同層介質(zhì)之間的分界面的方程為

為了驗(yàn)證上述分層背景下熱斗篷參數(shù)設(shè)計(jì)方法的正確性,本文采取有限元軟件Comsol Multiphysics進(jìn)行仿真驗(yàn)證.仿真條件如下:整個(gè)區(qū)域是一個(gè)大小為4 m×4 m的方形區(qū)域,左右邊界分別對應(yīng)高溫區(qū)和低溫區(qū),高溫保持在400 K,低溫保持在300 K,上下邊界保持絕熱.假設(shè)背景為三層不同材料,從左到右導(dǎo)熱系數(shù)的大小分別為1,2和3 W/(m·K),兩層背景之間的交界面分別為x=0 m和x=0.35 m,目標(biāo)區(qū)域的導(dǎo)熱系數(shù)為100 W/(m·K).對于穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱來說,常壓熱容cp和密度ρ對整體溫度場沒有影響.因此,本文將整個(gè)區(qū)域的比熱常壓熱容cp設(shè)置為500 J/(kg·K),密度ρ為2000 kg/m3.為了驗(yàn)證上述推導(dǎo)參數(shù)的普遍適用性,區(qū)域的目標(biāo)保護(hù)區(qū)域以及熱斗篷區(qū)域的參數(shù)方程設(shè)置如下:

兩層背景之間的分界面x=0對應(yīng)于x′=0,另一個(gè)分界面x=0.35 m通過(15)式計(jì)算得到,熱斗篷的導(dǎo)熱系數(shù)可以由(12)式推算得出.

圖2(網(wǎng)刊彩色)三層背景下的熱斗篷(a),(b)溫度分布圖;(c),(d)熱流傳遞和等溫線圖Fig.2.(color online)The schematic of thermal cloak with three layers background:(a),(b)Temperature pro fi le;(c),(d)heat transfer and isotherms.

圖2 給出了在三層背景下熱斗篷的仿真結(jié)果,圖2(a)和圖2(b)表示溫度分布,圖2(c)和圖2(d)表示相對應(yīng)的熱擴(kuò)散圖,圖中彩色粗實(shí)線表示等溫線,兩條相鄰等溫線之間的溫差都是4 K,紅色箭頭表示熱流.圖2(b)和圖2(d)中熱斗篷區(qū)域材料參數(shù)是由(12)式計(jì)算得出,其余區(qū)域材料均為背景介質(zhì),而圖2(a)和圖2(c)中仿真區(qū)域所有材料是三層背景介質(zhì).從圖2(c)中可見,熱流從左側(cè)高溫區(qū)域流向右側(cè)低溫區(qū)域,在不同背景層中,由于導(dǎo)熱系數(shù)的差異,相鄰的兩條等溫線的距離是不同的,與導(dǎo)熱系數(shù)成正比;由圖2(b)和圖2(d)可知,熱流能夠繞過目標(biāo)保護(hù)區(qū)域流出,保護(hù)區(qū)域內(nèi)并未有熱流通過;而在熱斗篷外的區(qū)域的溫度場與圖2(a)和圖2(c)中全背景材料時(shí)的溫度分布一樣.由于保護(hù)區(qū)域目標(biāo)的存在不會(huì)破壞斗篷外部的溫度場,同時(shí)外部熱流無法進(jìn)入目標(biāo)的區(qū)域,觀察者從左側(cè)方向上無法發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的存在.因此,上述所設(shè)計(jì)的分層背景下二維任意形狀熱斗篷具有熱保護(hù)和熱隱身雙重功能.

4 漸變背景下熱斗篷的設(shè)計(jì)

當(dāng)背景介質(zhì)不是均勻介質(zhì)的情況下,其物性參數(shù)是隨著空間位置的變化而逐漸變化的,此時(shí)簡單層狀的背景介質(zhì)不能描述實(shí)際情況.參照層狀背景介質(zhì)的設(shè)計(jì)方法,為了簡化計(jì)算分析,本文假設(shè)背景介質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)沿著x軸逐漸變化,則原始空間介質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)為

式中,A,B為待定系數(shù),與原空間的導(dǎo)熱系數(shù)分布息息相關(guān);A表示原始空間y軸上的導(dǎo)熱系數(shù)的值,B表示導(dǎo)熱系數(shù)沿x軸方向的變化率.

參考層狀背景介質(zhì)設(shè)計(jì)理論,得到

(18)式為在漸變背景介質(zhì)下任意柱狀熱斗篷導(dǎo)熱系數(shù)的通解表達(dá)式.當(dāng)B=0時(shí),背景為均勻介質(zhì),得到的導(dǎo)熱系數(shù)表達(dá)式與參考文獻(xiàn)[9]一致.本文選取A=5,B=2,其余仿真條件與分層背景仿真條件一樣,熱斗篷的導(dǎo)熱系數(shù)可以由(18)式得到,具體仿真結(jié)果如圖3.

圖3(網(wǎng)刊彩色)漸變背景下的熱斗篷(熱流沿x軸正方向傳遞)(a),(b)溫度分布圖;(c),(d)熱流傳遞和等溫線圖Fig.3.(color online)The schematic of thermal cloak with gradually changing background(the heat fl ow is transmitted in x positive direction):(a),(b)Temperature pro fi le;(c),(d)heat transfer and isotherms.

圖3 為在漸變背景下兩種不同情況的溫度分布、熱流傳遞以及等溫線圖.圖3(a)和圖3(c)表示整個(gè)區(qū)域均為漸變背景介質(zhì)的仿真結(jié)果,而圖3(b)和圖3(d)為加入熱斗篷以及目標(biāo)后的溫度分布和等溫線圖.由圖3可以看出,熱流沿著x軸正方向傳遞,由于導(dǎo)熱系數(shù)隨著x坐標(biāo)的增大而增大,因此相鄰兩條等溫線之間的距離越來越大.熱斗篷使得等溫線發(fā)生了彎曲,保護(hù)區(qū)域內(nèi)的溫度保持不變,熱流能夠平滑地繞過內(nèi)部的保護(hù)區(qū)域而對斗篷外部區(qū)域不產(chǎn)生任何影響.該熱斗篷同樣具有良好的隱身和熱保護(hù)的效果.

類似地,本文假設(shè)上下邊界分別為高溫和低溫區(qū),溫度分別為400和300 K,則熱流從上往下沿y軸負(fù)方向傳遞,如圖4仿真結(jié)果所示,此時(shí)同樣可以看到該熱斗篷具有良好的熱隱身和熱保護(hù)作用.

圖4 (網(wǎng)刊彩色)漸變背景下的熱斗篷(熱流沿y軸負(fù)方向傳遞)(a),(b)溫度分布圖;(c),(d)熱流傳遞和等溫線圖Fig.4.(color online)The schematic of thermal cloak with gradually changing background(the heat fl ow is transmitted in y negative direction):(a),(b)Temperature pro fi le;(c),(d)heat transfer and isotherms.

圖5 (網(wǎng)刊彩色)二維任意形狀熱斗篷分層過程示意圖(a)熱斗篷沿圓周方向分割成M個(gè)扇形環(huán);(b)每個(gè)扇形環(huán)沿徑向分割成N層扇形子環(huán),每個(gè)子環(huán)由A和B兩種材料交替疊加而成Fig.5.(color online)Schematic diagram for layered processing of thermal cloak with arbitrary shape:(a)The cloak is discretized into M fan-shaped rings along the circumferential direction;(b)the fan-shaped ring is discretized into N-layer fan-shaped subring along the radial direction and each fan-shaped subring is discretized into two-layer alternative structure of homogeneous isotropic layers A and B.

綜上所述,此熱斗篷可以在不均勻的背景下實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的熱隱身和熱保護(hù)的作用,但是所構(gòu)造的參數(shù)比較復(fù)雜.因此,如何在自然界中選取合適的材料構(gòu)造熱斗篷成為一大熱點(diǎn)和難點(diǎn).如圖5所示,首先,沿圓周方向,將任意形狀的熱斗篷分割成M個(gè)扇形圓環(huán),扇形圓環(huán)的內(nèi)外半徑通過斗篷的內(nèi)外邊界推算得出,則熱斗篷區(qū)域可以近似看成這些扇形圓環(huán)的疊加;第二步是將每個(gè)扇形環(huán)沿半徑方向N等分,則每一個(gè)小部分的材料參數(shù)用中心參數(shù)來近似;第三步,由于每一小部分的參數(shù)是各向異性,則本文通過兩種各向同性的物質(zhì)A和B交替排列來做近似,假設(shè)A,B兩種材料厚度相等,根據(jù)等效介質(zhì)理論[21],可以求得

這樣就可以通過這M×N個(gè)小部分的各向同性材料來構(gòu)造熱斗篷區(qū)域,實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的熱隱身和熱保護(hù)作用.

5 結(jié)論

根據(jù)變換熱力學(xué)的基礎(chǔ)理論,考慮分層不均勻背景及漸變不均勻背景兩種情況,通過坐標(biāo)變換的方法,推導(dǎo)出在非均勻背景下二維任意形狀熱斗篷導(dǎo)熱系數(shù)的通解表達(dá)式.在此基礎(chǔ)上,利用有限元軟件Comsol Multiphysics進(jìn)行仿真驗(yàn)證,結(jié)果表明此方法設(shè)計(jì)出的熱斗篷具有良好的熱隱身和熱保護(hù)雙重功能.

非均勻介質(zhì)背景下熱斗篷的設(shè)計(jì)具有十分重要的實(shí)際意義.當(dāng)背景介質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)變化不能忽略不計(jì)時(shí),對于熱斗篷設(shè)計(jì)考慮非均勻的背景是十分必要的,也是熱斗篷能夠成功實(shí)現(xiàn)熱保護(hù)和熱隱身的保證,這也就是本文設(shè)計(jì)方法的意義所在.

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PACS:44.10.+i,05.70.–a,81.05.Xj,07.05.TpDOI:10.7498/aps.66.114401

Design and research of columnar thermal cloak with arbitrary shape in inhomogeneous backgrounds?

Xia GeYang Li?Kou WeiDu Yong-Cheng
(School of Power Engineering,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China)

13 December 2016;revised manuscript

21 February 2017)

Recently,thermal metamaterials have attracted more and more attention,and they have been used to manipulate the fl ow of heat fl ux.As a typical case,the thermal cloak can conceal the heat signature of an object.To the best of our knowledge,most of researches on cloak have focused on the case in which the background is a single homogeneous medium.However,cloaking in the layered and gradually changing backgrounds is very common in our real life such as hiding the buried mines in several soil backgrounds.In this paper,on the basis of transformation thermodynamics,a general expression of the thermal conductivity for two-dimensional thermal cloak with arbitrary shape in the layered and gradually changing backgrounds is derived by the coordinate transformation method.According to the expression,we design the thermal cloak in di ff erent inhomogeneous backgrounds.Results of full wave simulation show that heat fl ux can travel around the protection area and eventually return to their original path.The temperature pro fi le inside the thermal cloak keeps unchanged,and the temperature fi eld outside the thermal cloak is not distorted,which proves that the cloak has a thermal protection and thermal stealth function.In the end,we propose a useful method of utilizing homogeneous isotropic materials to construct a thermal device according to the equivalent medium theory.The method is closer to the practical application of the project because of considering the complex backgrounds.At the same time,this technology provides a feasible method to control heat transfer in the future and has great signi fi cance for thermal stealth and thermal protection.

transformationthermodynamics,inhomogeneousbackground,thermalconductivity,temperature control

10.7498/aps.66.114401

?國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):11504426)和國防預(yù)研基金(批準(zhǔn)號(hào):1010502020202)資助的課題.

?通信作者.E-mail:yangli123123@126.com

?2017中國物理學(xué)會(huì)Chinese Physical Society

http://wulixb.iphy.ac.cn

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.11504426)and the National Defense Foundation of China(Grant No.1010502020202).

?Corresponding author.E-mail:yangli123123@126.com