廣東省佛山市石門(mén)高級(jí)中學(xué) (528225) 徐正印

待定常數(shù)化解分離參數(shù)法之困惑

廣東省佛山市石門(mén)高級(jí)中學(xué) (528225) 徐正印

求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題常常是高考的壓軸題,命題者所提供的解法大都是分類(lèi)討論.解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí),盡管人們首先想到分離參數(shù)法,但終因遇到困惑(所涉及的函數(shù)的最值用初等數(shù)學(xué)的方法很難)而放棄!盡管有些專(zhuān)業(yè)雜志上已介紹了用洛必達(dá)法則去解決,但那畢竟是大學(xué)的內(nèi)容.

本文以近年高考試題為例,闡述如何用待定常數(shù)法化解分離參數(shù)法之困惑.

例1. (2006年全國(guó)高考I卷理科)設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)ln(x+1),若對(duì)所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

困惑成因 當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥ax?(x+1)ln(x+1)≥ax?當(dāng)x＞0時(shí),(x+1)ln(x+1)≥ax?當(dāng)x＞0時(shí),自然想到要求(x＞0)的最小值.

破解之道(待定常數(shù)法)

為了降低運(yùn)算量,對(duì)分類(lèi)參數(shù)后的式子化為含有待定常數(shù)的整式,如:

設(shè)g(x)=(x+1)ln(x+1)?mx,(x≥0,m是待定的常數(shù)),則 g′(x)=ln(x+1)+1 ? m.

待定的常數(shù)是這樣確定的:使引入函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)值的在定義域內(nèi)不小于(不大于)零,如:若m=1,則g′(x)=ln(x+1)≥0,在(0,+∞)上,g(x)單調(diào)遞增,因?yàn)樗詀≤1.故a的取值范圍為(?∞,1].

例2.(2007年高考全國(guó)I卷理科)設(shè)函數(shù)f(x)=ex?e?x.

(I)略;

(II)若對(duì)所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范圍.

分析 當(dāng)x≥ 0時(shí),f(x)≥ax?ee?e?x≥ax?當(dāng)x＞0時(shí),

設(shè)g(x)=ex?e?x?mx(x≥ 0,m是待定的常數(shù)),則 g′(x)=ex+e?x? m.

若 m=2,則 g′(x)=ex+e?x?2,在 (0,+∞)上,g(x)單調(diào)遞增,g(x)＞ g(0)=0ex?e?x?2x＞ 0,ex?e?x＞ 2x,因?yàn)樗詀≤2.

例3.(2010年新課標(biāo)理)設(shè)函數(shù)f(x)=ex?1?x?ax2.

(I)略;

(II)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥0,求a的取值范圍.

分析 當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥0?ex?1?x≥ax2?當(dāng)x＞0時(shí),ex?1?x≥ax2?當(dāng)x＞0時(shí)

設(shè)g(x)=ex?1?x?mx2(x≥0,m是待定的常數(shù)),則g′(x)=ex?1?2mx.

設(shè)h(x)=ex?1?2mx(x≥0),則h′(x)=ex?2m.

例4.(2012年高考天津卷理科)已知函數(shù)f(x)=x?ln(x+a)的最小值為0,其中a＞0.

(I)求a的值;

(II)若對(duì)任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx2成立,求實(shí)數(shù)k的最小值;

(III)略.

分析 (II)由(I)知a=1,從而f(x)=x?ln(x+1).當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)≤ kx2?x?ln(x+1)≤kx2?當(dāng)

設(shè)g(x)=x?ln(x+1)?mx2(x≥0,m是待定的常數(shù)),則

例5.(2014年高考陜西卷理科)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1),g(x)=xf′(x)(x ≥ 0),其中 f′(x)是 f(x)的導(dǎo)函數(shù).

(I)略;

(II)若f(x)≥ag(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(III)略.

當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥ag(x)?當(dāng)x≥0時(shí),ln(x+1)≥?當(dāng)x＞0時(shí),ln(x+1)≥?當(dāng)x＞0時(shí),

設(shè)g(x)=(x+1)ln(x+1)?mx(x≥0,m是待定的常數(shù)),則 g′(x)=ln(x+1)+1 ? m.

若 m=1,則 g′(x)=ln(x+1)≥ 0,在 (0,+∞)上,g(x)單調(diào)遞增,g(x)＞g(0)=0,(x+1)ln(x+1)?x＞0,1.因?yàn)樗詀≤1.

例6.(2014年新課標(biāo)II卷理科)已知函數(shù)f(x)=ex?e?x?2x.

(I)略;

(II)設(shè)g(x)=f(2x)?4bf(x),當(dāng)x＞0時(shí),g(x)＞ 0,求b的最大值;

(III)略。

分析 (II)因?yàn)間(x)=f(2x)?4bf(x),所以當(dāng)x＞0時(shí),g(x)＞0?當(dāng)x＞0時(shí),f(2x)?4bf(x)＞0?當(dāng)x＞0時(shí),f(2x)＞ 4bf(x).因?yàn)閒(x)=ex?e?x?2x,所以

f(2x)＞ 4bf(x)? e2x?e?2x?4x≥ 4b(ex?e?x?2x).

設(shè)h(x)=ex?e?x?2(x ≥ 0),則 h′(x)=ex+e?x?2≥ 0,在(0,+∞)上,h(x)單調(diào)遞增,h(x)＞ h(0)=0,ex?e?x?2x＞0.當(dāng)x＞0時(shí),

設(shè)

(x≥0,m是待定的常數(shù)),則

當(dāng)m=8時(shí),

g′(x)≥ 0,在(0,+∞)上,g(x)單調(diào)遞增,g(x)＞g(0)=0,

例7. (2015年高考山東卷理科)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2?x),其中a∈R.

(I)略;

(II)若x＞0,f(x)≥0成立,求a的取值范圍.

分析 (II)當(dāng)x＞0時(shí),

設(shè)

(0＜x≤1,m是待定的常數(shù)),則

所以a≥0.綜上所述,0≤a≤1.

例8.(2016年新課標(biāo)II卷文科)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx?a(x?1).

(I)略;

(II)若當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)＞0,求a的取值范圍.

分析 (II)當(dāng)x＞0時(shí),f(x)＞0?(x+1)lnx?a(x?1)＞0?

設(shè)g(x)=(x+1)lnx?2(x?1)(x∈[1,+∞)),則

在(1,+∞)上,h(x)≥ h(1)=0,g′(x)≥ 0,g(x)≥ g(1)=0,即當(dāng)x∈ (1,+∞)時(shí),(x+1)lnx?2(x?1)＞ 0,因?yàn)閷?duì)于x∈(1,+∞)恒成立,所以a≤2.則