閆圣，鄒志利

（大連理工大學(xué)海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧大連116024）

波浪場(chǎng)中濃度輸移擴(kuò)散Stokes漂移效應(yīng)的歐拉描述

閆圣，鄒志利

（大連理工大學(xué)海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧大連116024）

為了說(shuō)明波浪場(chǎng)中濃度輸移擴(kuò)散Stokes漂移效應(yīng)的歐拉描述方法，采用歐拉方法推導(dǎo)了波浪場(chǎng)中波浪周期平均的濃度輸移擴(kuò)散方程，其對(duì)流項(xiàng)是由波浪速度的波動(dòng)和物質(zhì)濃度的波動(dòng)相互作用而產(chǎn)生，所含的對(duì)流速度恰是Stokes漂移速度。由此說(shuō)明，波浪場(chǎng)中濃度擴(kuò)散問(wèn)題的Stokes漂移效應(yīng)可以自動(dòng)的由歐拉法來(lái)考慮，所得到的Stokes漂移效應(yīng)與拉格朗日描述的結(jié)果是等價(jià)的。為了進(jìn)一步說(shuō)明這一問(wèn)題，將粒子追蹤法的拉格朗日描述的Stokes漂移速度與歐拉法的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，二者是一致的。研究中也數(shù)值求解了線性波浪場(chǎng)中σ坐標(biāo)下濃度擴(kuò)散方程，將濃度的Stokes漂移、濃度分布和粒子追蹤法的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，以證明歐拉描述和拉格朗日描述兩種方法的等價(jià)性。研究中也根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)實(shí)際波浪場(chǎng)中Stokes漂移效應(yīng)所引起的濃度漂移進(jìn)行了討論，解釋了物理模型實(shí)驗(yàn)中的觀察到的波浪場(chǎng)中濃度漂移現(xiàn)象。

Stokes漂移速度；濃度輸移擴(kuò)散；線性波浪；Taylor離散系數(shù)；歐拉法

Stokes漂移是波浪中流體質(zhì)點(diǎn)在波浪傳播方向上的凈移動(dòng)（Stokes，1847），Stokes漂移速度雖不能直接由定點(diǎn)處的流速儀測(cè)得，在以往的關(guān)于物質(zhì)輸移擴(kuò)散的數(shù)值模型中也很少考慮波浪的影響，但它對(duì)海洋中的物質(zhì)輸移擴(kuò)散和海岸地形演變有著重要的作用。例如，Monismith等（2004）觀察到海面波浪較大時(shí)沿岸顏料羽流存在向岸偏移，并且這一現(xiàn)象可通過(guò)Stokes漂移的影響來(lái)解釋。他們建議在預(yù)報(bào)近海物質(zhì)輸運(yùn)的時(shí)間平均方程中應(yīng)顯式地考慮Stokes漂移的影響。Rohrs等（2014）研究表明波浪引起的向岸漂移會(huì)影響海岸水域產(chǎn)卵地初次攝食的仔魚向海洄游，進(jìn)而使它們的停留時(shí)間增加。Henderson等（2004）的研究表明Stokes漂移會(huì)引起海岸懸移質(zhì)泥沙向岸輸移進(jìn)而可引起沙壩向岸移動(dòng)。本文將討論Stokes漂移的歐拉描述與拉格朗日描述的一致性，以探討在歐拉描述的濃度擴(kuò)散方程中如何考慮Stokes漂移的影響。用歐拉方法闡述了僅以一階的波浪速度作為背景流場(chǎng)速度就可以產(chǎn)生物質(zhì)平均濃度Stokes漂移效應(yīng)的原理，并給出了以Stokes漂移速度作為對(duì)流速度的平均濃度擴(kuò)散方程。

Law（2000）在研究由自由表面波中污染物的Taylor離散（Taylor，1953）時(shí)，假設(shè)物質(zhì)顆粒隨水質(zhì)點(diǎn)同相位同幅度運(yùn)動(dòng)，它們沿水深變化的時(shí)間平均速度剖面就取為Stokes漂移速度剖面，利用Van den Broeck（1990）推導(dǎo)的公式計(jì)算得到了Taylor離散系數(shù)，然后又采用隨機(jī)游走的方法來(lái)模擬污染物粒子在波浪中的運(yùn)動(dòng)，在求解粒子的位置時(shí)每一步的位移用粒子瞬時(shí)的拉格朗日速度時(shí)間積分得到，所以隱含了Stokes漂移速度的影響。以上兩種方法得到的離散系數(shù)的結(jié)果接近，表明兩種描述污染物在波浪中擴(kuò)散的Stokes漂移效應(yīng)的方法等效。

以上的研究對(duì)Stokes漂移流的處理其實(shí)是拉格朗日描述，與此對(duì)應(yīng)的也可采用歐拉描述，即在波浪流場(chǎng)中建立擴(kuò)散物質(zhì)濃度的控制方程，即濃度對(duì)流擴(kuò)散方程。在理論分析方面，Shen等（2014）把垂向二維污染物濃度擴(kuò)散方程中的對(duì)流速度取為Stokes漂移速度和線性波浪場(chǎng)的速度之和，用連續(xù)近似的方法推導(dǎo)了波浪引起的Taylor離散系數(shù)，其結(jié)果中時(shí)間平均的離散系數(shù)比Law（2000）的結(jié)果大35%。Winckler等（2014）在忽略垂向速度的情況下，推導(dǎo)了在破波帶內(nèi)的水深平均的二維污染物濃度輸移擴(kuò)散方程。他們的理論顯示除了波浪破碎引起的沿岸流，由波浪和物質(zhì)濃度波動(dòng)的相互作用引起的質(zhì)量輸移是破波帶內(nèi)另一種對(duì)流輸運(yùn)，它會(huì)引起濃度存在向岸漂移。

數(shù)值模擬方面，袁徳奎等（2004）建立了基于σ坐標(biāo)的濃度對(duì)流擴(kuò)散數(shù)學(xué)模型，通過(guò)數(shù)值模擬結(jié)果計(jì)算波浪場(chǎng)中Taylor離散系數(shù)。方程中的對(duì)流速度取為解析的線性的波浪速度。經(jīng)和Law（2000）的結(jié)果比較，得出在忽略垂向速度的情況下，用該數(shù)學(xué)模型計(jì)算得到的離散系數(shù)與Law（2000）的結(jié)果是基本一致的，但在考慮垂向速度后，數(shù)值模擬得到的離散系數(shù)大于不考慮垂向速度的結(jié)果。但他在用解析解布置波浪場(chǎng)時(shí)將垂向速度設(shè)置為零，這樣來(lái)忽略垂向速度的影響是不對(duì)的，因?yàn)榇藭r(shí)速度場(chǎng)的散度不為零，即流體質(zhì)量是不守恒的，這和實(shí)際不符，故上面得出的結(jié)論也是不可信的，而本文將重審這一方法。

實(shí)驗(yàn)研究中，Patil等（2007）等用實(shí)驗(yàn)結(jié)果和尺度分析得到包含波浪波高和周期參數(shù)的波浪和流共同作用下的Taylor離散系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式，并得出波浪中流體質(zhì)點(diǎn)漂移速度的存在會(huì)增大Taylor離散系數(shù)的值。金紅等（2006）通過(guò)物理模型實(shí)驗(yàn)對(duì)海岸波浪作用下污染物運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行了觀察，實(shí)驗(yàn)表明，在破碎帶外污染物主要受波浪引起的質(zhì)量輸移流即Stokes漂移流的影響，在破碎帶內(nèi)主要受沿岸流的影響，同時(shí)還受沿岸流不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)及大尺度旋渦運(yùn)動(dòng)的影響。

本文首先采用解析方法給出了歐拉描述的波浪中物質(zhì)濃度輸移的Stokes漂移效應(yīng)和Taylor離散，以此分析為基礎(chǔ)和上述以往研究工作中拉格朗日方法的結(jié)果加以比較。本文研究也采用粒子追蹤法和σ坐標(biāo)下的濃度輸移擴(kuò)散方程對(duì)以上問(wèn)題進(jìn)行了數(shù)值模擬來(lái)顯示波浪場(chǎng)中濃度輸移擴(kuò)散過(guò)程。最后給出了上述的歐拉方法在解釋物理模型實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象中的應(yīng)用。

1 Stokes漂移影響的歐拉描述

本節(jié)將給出歐拉描述情況下波浪場(chǎng)中物質(zhì)輸移的Stokes漂移產(chǎn)生機(jī)制，這一方法與上述拉格朗日描述不同之處是：速度場(chǎng)僅考慮歐拉形式的波浪速度，即固定點(diǎn)處的波浪速度，其不含Stokes漂移速度；而拉格朗日描述需要加入Stokes漂移速度。針對(duì)波浪場(chǎng)中濃度擴(kuò)散方程，采用多尺度分析（Mei et al，1997），得到在波浪周期上時(shí)間平均的濃度輸移擴(kuò)散方程。

假設(shè)輸移擴(kuò)散過(guò)程中沒有化學(xué)作用發(fā)生（過(guò)程是保守的）并且物質(zhì)的密度和周圍的流體密度相同，則波浪場(chǎng)中濃度滿足如下的方程：

式中，x和u代表水平坐標(biāo)和流體水平速度分量，z和w代表垂直坐標(biāo)和流體垂直速度分量；Dx和Dz是湍流擴(kuò)散系數(shù)，并假設(shè)它們是常量。在自由表面和不可滲透的海底濃度c（x，z，t）滿足無(wú)通量邊界條件。

這里考慮物質(zhì)濃度在線性波浪中的擴(kuò)散，即u和w取一階波浪場(chǎng)的速度

式中θ=kx-wt，A、k、w為波浪的波幅、波數(shù)和圓頻率，h為水深。

根據(jù)破波帶外的波浪和物質(zhì)輸移擴(kuò)散特征，引入下面的無(wú)量綱數(shù)，

對(duì)控制方程（1）進(jìn)行無(wú)因次化，則方程（1）變?yōu)?/p>

式中，ε=kA為正比于波陡的小參數(shù)，T為波浪周期?？紤]到物質(zhì)在波浪中擴(kuò)散時(shí)有兩個(gè)不同的時(shí)間尺度：一是物質(zhì)濃度隨波浪運(yùn)動(dòng)的快變時(shí)間尺度，對(duì)應(yīng)的快變時(shí)間為t；另一個(gè)是Stokes漂移效應(yīng)和擴(kuò)散引起的慢變時(shí)間尺度，對(duì)應(yīng)的慢變時(shí)間τ為τ=ε2t。這樣，某一點(diǎn)處的物質(zhì)濃度將是由Stokes漂移和湍流擴(kuò)散引起的緩慢變化疊加上以波浪周期變化的快變波動(dòng)。因此，可將濃度按小參數(shù)展開為（以下式（5）和式（6）略寫無(wú)因次量的上標(biāo)*）

式中，c(0)=c(0)（x，z，τ）為緩慢變化的濃度，c(1)=c(1)（x，z，t，τ）為以波浪周期波動(dòng)的濃度，c(2)=c(2)（x，z，t，τ）為以二倍波浪周期波動(dòng)的濃度。將以上展開代入方程（4），采用以下轉(zhuǎn)換

并注意到方程中系數(shù)的量級(jí)可估計(jì)為：kh= O（1），（考慮有限水深的情況）；TDv/h2=O（ε2）（湍流擴(kuò)散系數(shù)Dv很小，波浪周期T和物質(zhì)擴(kuò)散時(shí)間h2/Dv之比是個(gè)小量，這里假定其量階為ε2。例如，對(duì)如下情況：h=3 m，H=0.6 m，T=5s，Dv=0.005 m2/s，則有kh=0.252×3=0.75~O（1），TDv/h2=5×0.005/32=0.002 778，并且ε2=（kA）2=（0.252×0.3）2=0.005 715，即O（TDv/h2）~ε2），則可將方程（4）分解為以下各階方程，并寫成有量綱形式，有O（ε）階方程

方程（7）表達(dá)的是波浪水平速度u和垂向速度w產(chǎn)生的濃度對(duì)流，即產(chǎn)生了濃度隨波浪周期變化的部分c(1)。因?yàn)椴ɡ怂俣葹橐阎慕馕霰磉_(dá)式（式（2）），所以該方程解可直接求出，表達(dá)式為

方程（8）表達(dá)的是包含ε2階物理量的動(dòng)力平衡，實(shí)際上方程右端可分解為慢變項(xiàng)和以二倍周期波動(dòng)的高頻項(xiàng)（由u?c(1)/?x+w?c(1)/?z項(xiàng)中u、w與c(1)的導(dǎo)數(shù)的乘積產(chǎn)生，因c(1)也是按波浪周期波動(dòng)的，見式（9））：前兩項(xiàng)僅包含慢變部分，而后兩項(xiàng)既包含慢變部分又包含高頻部分。方程左端項(xiàng)僅含高頻波動(dòng)項(xiàng)。方程中慢變部分可以通過(guò)將方程在周期上做時(shí)間平均而將其從方程中分離出來(lái)，并恢復(fù)t變量，即有

MRI、CT等影像學(xué)檢查方法均有助于早期診斷隱匿性骨折。螺旋CT掃描軌呈螺旋狀前進(jìn)，掃描時(shí)間快，可以不間斷地快速采集數(shù)據(jù)，圖像減少了運(yùn)動(dòng)偽跡，可以重建出高質(zhì)量的三維圖像。在單層螺旋CT的基礎(chǔ)上，又發(fā)展起來(lái)多層螺旋CT。多層螺旋CT可以同時(shí)采集多層投影數(shù)據(jù)，掃描覆蓋范圍更大，掃描時(shí)間縮短，Z軸分辨率更高。磁共振成像(MRI)是利用外磁場(chǎng)和物體的相互作用來(lái)成像，其成像過(guò)程與圖像重建和CT相近。與CT比較，MRI的主要優(yōu)點(diǎn)是：（1）對(duì)人體無(wú)放射性和生物學(xué)損害。（2）可以直接生成橫斷面、矢狀面、冠狀面及各種斜面的體層圖像。（3）不會(huì)產(chǎn)生偽影。（4）較CT的顯示范圍更廣泛，結(jié)構(gòu)更清楚。

式中uc項(xiàng)來(lái)源于方程（8）中波浪速度u和w與以波浪周期波動(dòng)的濃度c(1)的相互作用，將u、w與c(1)的表達(dá)式（2）和（9）代入u?c(1)/?x+w?c(1)/?z，可得

式中uc為

該表達(dá)式與Stokes漂移速度us的表達(dá)式（14）相同。后者是由拉格朗日描述（跟蹤波浪水質(zhì)點(diǎn)）來(lái)給出的（Longuet-Higgins，1953），即

二者結(jié)果一致，但對(duì)應(yīng)的物理過(guò)程是有差別的：拉格朗日描述式（15）表達(dá)的是波浪水質(zhì)點(diǎn)位移

所引起的偏移速度時(shí)間平均值；而歐拉描述（13）表達(dá)的是波浪速度u和w與一階濃度c(1)= X?c(0)/?x+Z?c(0)/?z的相互作用。

由于式（12）的推導(dǎo)中的流場(chǎng)是固定點(diǎn)處的波浪速度，而沒有另外添加Stokes漂移速度，所以，該推導(dǎo)是歐拉描述的方法，這是本文研究與以往研究（Law，2000）不同之處，后者是用粒子的拉格朗日速度（包含Stokes漂移速度）來(lái)研究粒子在波浪中的Stokes漂移。這兩種方法得到的結(jié)果一致意味著在波浪周期平均下這兩種方法對(duì)于濃度輸移是等價(jià)的，也意味著可以直接采用歐拉描述來(lái)考慮波浪場(chǎng)中濃度輸移擴(kuò)散的Stokes漂移效應(yīng)。

在方程（10）中uc的作用相當(dāng)于相同速度的水流的對(duì)流作用，即引起濃度c(0)沿速度方向產(chǎn)生漂移，除此之外uc還將產(chǎn)生離散效應(yīng)，這一效應(yīng)是通過(guò)將方程（10）沿水深積分體現(xiàn)出來(lái)的（Fischer，1979）。沿水深積分后的方程成為

C和U分別是水深平均的濃度和Stokes漂移速度，K是速度uc沿水深分布不均勻產(chǎn)生的離散系數(shù)，該表達(dá)式中c^(0)和u^c分別是c(0)和uc相對(duì)它們自身水深平均值的偏離值，該結(jié)果與以往用拉格朗日方法研究所得到的Stokes漂移產(chǎn)生的離散系數(shù)是一致的（見Law，2000式（11））。

以下兩節(jié)將分別給出粒子追蹤法的拉格朗日描述結(jié)果和直接數(shù)值求解濃度擴(kuò)散方程（1）的歐拉描述結(jié)果，并通過(guò)兩結(jié)果的對(duì)比來(lái)進(jìn)一步說(shuō)明上述Stokes漂移速度的歐拉描述和拉格朗日描述的等價(jià)性。

2 粒子追蹤法模擬波浪場(chǎng)中濃度輸移

粒子追蹤法的原理是通過(guò)計(jì)算出流場(chǎng)中物質(zhì)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡來(lái)確定濃度分布，因?yàn)槠涫歉櫸镔|(zhì)粒子，所以是拉格朗日方法。在這一方法中Stokes漂移是通過(guò)粒子的平均位移體現(xiàn)出來(lái)的。粒子追蹤法（Wolk，2003）所采用的方程為

下面給出一個(gè)由粒子追蹤法模擬波浪場(chǎng)（式（2））中濃度擴(kuò)散的例子，以顯示在拉格朗日描述中Stokes漂移現(xiàn)象是如何實(shí)現(xiàn)的。計(jì)算中取水深h=3 m、波高H=0.6 m、波浪周期T=5 s，Dx= Dz=0.005 m2/s。在流場(chǎng)中布置2 000個(gè)粒子，粒子初始時(shí)刻水平坐標(biāo)為0，垂直坐標(biāo)沿水深隨機(jī)均勻分布，取時(shí)間步長(zhǎng)0.25 s，根據(jù)方程（18）計(jì)算粒子任意時(shí)間的空間位置。方程右端第一項(xiàng)采用四階龍格-庫(kù)塔法進(jìn)行時(shí)間積分，第二項(xiàng)采用隨機(jī)行走方法處理。若粒子由于隨機(jī)跳動(dòng)走出邊界，則將它們?cè)谧杂杀砻孢吔绾退走吔缣幫ㄟ^(guò)鏡像反射使其返回水域。圖1給出了這一線性波浪場(chǎng)中粒子在t=800 s時(shí)的空間分布和濃度分布，其中x=0處的豎直線代表粒子的初始位置。由粒子的空間位置分布可得到粒子分布的水平中心位置x，將其除以相應(yīng)的時(shí)間間隔t可以得到粒子整體漂移的平均速度，圖2給出了數(shù)值模擬得到的U以及歐拉描述的解析解（17b）的數(shù)值，二者趨向一致，表明在波浪場(chǎng)中粒子擴(kuò)散過(guò)程中存在以式（17b）速度為對(duì)流速度的整體漂移。

上述一致性的原因是在于粒子整體漂移速度U是由于方程（18）中右端第一項(xiàng)所決定的，而第二項(xiàng)在統(tǒng)計(jì)意義上不會(huì)對(duì)平均運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生影響。所以，僅由第一項(xiàng)的時(shí)間積分（可選擇跟蹤不同水深處的粒子）就可以得到Stokes漂移速度，圖3給出了這一拉格朗日描述的Stokes漂移速度的沿水深分布，圖中也給出了式（14）的解析求解的結(jié)果，由圖3可見二者結(jié)果一致。

圖1 計(jì)算模擬波浪場(chǎng)中的粒子漂移

圖2 模擬得到的Stokes漂移速度（虛線）和解析解（式（17b））的結(jié)果（細(xì)實(shí)線）

圖3 模擬得到的粒子Stokes漂移速度（空心圓圈）和解析解（式14）的結(jié)果（細(xì)實(shí)線）

由以上結(jié)果也可確定水深平均方程（16）中的離散系數(shù)K，即拉格描述確定的離散系數(shù)，計(jì)算式為

以上結(jié)果達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)（t≥h2/Dz=1 800 s）粒子沿水平方向分布應(yīng)呈正態(tài)分布，為了驗(yàn)證這一點(diǎn)，圖5給出了t=1 800 s時(shí)刻粒子空間分布（上圖）和粒子個(gè)數(shù)水平分布（下圖）以及對(duì)應(yīng)的理論概率正態(tài)分布，結(jié)果顯示粒子的水平分布最終可以趨于正態(tài)分布。

圖4 離散系數(shù)隨時(shí)間的變化

圖5 粒子追蹤法達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)粒子的空間分布（上圖）和粒子沿水平分布及理論分布曲線（下圖）

3 Stokes漂移效應(yīng)歐拉描述的數(shù)值驗(yàn)證

前面第1節(jié)通過(guò)將方程（1）中的波浪速度場(chǎng)取為一階波浪速度，然后建立波浪周期平均的濃度擴(kuò)散方程，所得到的方程中對(duì)流速度即為Stokes漂移速度，其引起濃度在隨波浪作周期性波動(dòng)的同時(shí)還沿波浪傳播方向上漂移。為了直觀的顯示這一歐拉描述的物理過(guò)程，這里通過(guò)數(shù)值求解方程（1）在一階波浪速度場(chǎng)中的濃度擴(kuò)散來(lái)直接給出濃度隨波浪運(yùn)動(dòng)和擴(kuò)散的過(guò)程，進(jìn)而可以顯示第1小節(jié)歐拉描述的Stokes漂移效應(yīng)。

為了考慮自由表面波動(dòng)所引起的計(jì)算區(qū)域的變化，計(jì)算中通過(guò)以下σ坐標(biāo)變換將變動(dòng)的計(jì)算區(qū)域轉(zhuǎn)化為固定的計(jì)算區(qū)域：0≤σ≤1，變換前和變換后的計(jì)算區(qū)域如圖6所示。

圖6 σ-坐標(biāo)系把直角坐標(biāo)中的不規(guī)則的區(qū)域轉(zhuǎn)化為矩形區(qū)域

以上方程的上下兩側(cè)邊界條件為濃度梯度為零：

左右兩側(cè)邊界條件取濃度為零：

模擬針對(duì)沿水深均勻分布的線源在波浪場(chǎng)所產(chǎn)生的擴(kuò)散問(wèn)題，對(duì)應(yīng)的初始條件為

式中，M是注入的濃度總量，δ（ξ）是狄拉克（Dirac）函數(shù)。

用有限差分方法離散方程（21）各項(xiàng)，并用ADI格式求解。為了和第2節(jié)中的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，水深和波浪條件與第2節(jié)中的一致。具體計(jì)算條件為：模擬區(qū)域的長(zhǎng)度是80 m，初始線源在x=20 m處，網(wǎng)格間距深度方向?yàn)?.1、水平方向?yàn)?.1 m，時(shí)間步長(zhǎng)為0.01 s。圖7給出了對(duì)應(yīng)于圖5的t= 800 s時(shí)刻流場(chǎng)中濃度分布。由圖可見，濃度在波浪作用下產(chǎn)生擴(kuò)散的同時(shí)，還存在沿波浪傳播方向的漂移。漂移的速度即為式（13）中的Stokes漂移速度。這里通過(guò)求這一漂移的水深平均速度U來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)，該速度為

式中C為水深平均濃度，c（i，j）為網(wǎng)格點(diǎn)（i，j）處的濃度，Δξ為水平網(wǎng)格間距。上式中所得的濃度漂移速度與水深平均Stokes漂移速度式（17b）及粒子追蹤法得到的粒子平均漂移速度在所計(jì)算的波況下的結(jié)果相近（0.03 m/s，見圖2），圖7也標(biāo)出了這一速度所引起的濃度中心的水平位移UΔt。另外，圖7中濃度擴(kuò)散的等濃度線和圖1中的下圖也基本一致。但由于數(shù)值模擬存在數(shù)值耗散，所以在擴(kuò)散系數(shù)D取一致的情況下，數(shù)值模擬結(jié)果的擴(kuò)散要比粒子追蹤法的要快，即圖7中濃度的最大值要比圖1中的最大值要小。

圖7 釋放800 s后物質(zhì)濃度等值線

如上所述計(jì)算中引起濃度擴(kuò)散的波浪速度場(chǎng)（u，w）取為一階波浪速度式（2），而不再額外加入Stokes漂移速度us。數(shù)值模擬證明，雖然沒有加入Stokes漂移速度，但該速度引起的漂移效應(yīng)可由周期性波動(dòng)的線性波浪速度與周期性波動(dòng)的濃度分量相互作用（方程（1）中對(duì)流項(xiàng)u?c/?x+w?c/?z所導(dǎo)致）而形成（具體細(xì)節(jié)見第1節(jié)中給出的解析分析）。

以上結(jié)果的物理過(guò)程可由第1節(jié)中解析分析看出，即濃度在波浪場(chǎng)中的擴(kuò)散過(guò)程包括兩部分，隨波浪快速波動(dòng)的過(guò)程（式（5）中εc(1)）和波浪周期時(shí)間平均的濃度緩慢漂移和擴(kuò)散過(guò)程（式（5）中c(0)）。

4 實(shí)際應(yīng)用

將以上Stokes漂移效應(yīng)對(duì)應(yīng)的波浪引起的濃度沿波浪方向的平均濃度輸移通量為：

該通量表達(dá)投放于海洋中的物質(zhì)濃度隨波浪的漂移。為了直觀顯示這一現(xiàn)象，圖8給出了實(shí)驗(yàn)室中在波浪場(chǎng)中所投放的墨水向岸漂移現(xiàn)象。所對(duì)應(yīng)的波浪在離岸以30°斜向（圖中3個(gè)測(cè)量桿與岸線垂直）傳向海岸的波浪（波高0.05 m，周期1.5 s），海岸的坡度為1∶100，墨水投放點(diǎn)距岸10.5 m，位于破波帶外（波浪破碎點(diǎn)距岸9 m），墨水投放形式為連續(xù)源。由圖可見墨水在不破碎波浪作用下呈現(xiàn)向岸漂移的移動(dòng)，移動(dòng)距離可由Stokes速度計(jì)算出，如第4個(gè)圖片相對(duì)第1個(gè)圖片的時(shí)間間隔為Δt=45 s，由對(duì)應(yīng)的水面處的Stokes漂移速度[uc]z=0=0.048 m/s（按公式（13）計(jì)算，并取墨水軌跡線中點(diǎn)處的波高0.055 m），可得到從這兩個(gè)圖之間的墨水漂移距離為：

由于餐飲企業(yè)規(guī)模較小，經(jīng)濟(jì)實(shí)力一般，使得餐飲企業(yè)資產(chǎn)信用度低，而國(guó)家也沒有政策性支持，因此餐飲企業(yè)很難進(jìn)行融資。銀行和金融機(jī)構(gòu)在進(jìn)行融資的過(guò)程中，要對(duì)被融資的企業(yè)進(jìn)行資產(chǎn)評(píng)估，評(píng)估達(dá)到一定的標(biāo)準(zhǔn)才能進(jìn)行融資，銀行和金融機(jī)構(gòu)一般都需要把風(fēng)險(xiǎn)降到最低。餐飲企業(yè)資產(chǎn)額不高，企業(yè)自身償還能力有限，這些因素都是導(dǎo)致其融資難的原因[3-7]。

該距離相當(dāng)于1.5倍的當(dāng)?shù)夭ㄩL(zhǎng)（1.44 m），這一結(jié)果可由圖直接看出，因?yàn)閳D中斜的亮線為波峰線，而從第1個(gè)照片到第4個(gè)照片墨水移動(dòng)距離約為1.5倍波峰線間距離（波長(zhǎng)）?？梢姡撇◣饽ㄎ廴疚铮┢浦饕躍tokes漂移效應(yīng)控制。但進(jìn)入破波帶內(nèi)之后，墨水不但受Stokes漂移驅(qū)動(dòng)而且還受波浪破碎產(chǎn)生的沿岸流（其方向?yàn)槠叫泻０斗较颍?qū)動(dòng)，所以墨水軌跡趨向平行海岸，如圖中最后兩個(gè)照片所示。

以上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示出Stokes漂移速度對(duì)于不破碎波浪情況是可以引起流體中濃度向波浪方向漂移，這一漂移運(yùn)動(dòng)在破波帶內(nèi)也是存在的，具體結(jié)果見Winckler等（2014）的研究。對(duì)實(shí)際海洋情況，Monismith等（2004）通過(guò)幾個(gè)現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)結(jié)果建議在建立內(nèi)陸架海域的物質(zhì)輸移擴(kuò)散模型時(shí)應(yīng)注意考慮Stokes漂移速度的影響，因?yàn)樗麄兊挠^察表明該漂移速度量級(jí)經(jīng)常和內(nèi)陸架海域觀測(cè)到的其他漂移流速相當(dāng)或較之更大。

圖8 墨水運(yùn)動(dòng)軌跡及對(duì)應(yīng)波高和沿岸流速分布（金紅等，2006）

5 結(jié)語(yǔ)

本文討論了采用歐拉描述來(lái)考慮波浪中物質(zhì)濃度輸移擴(kuò)散Stokes漂移效應(yīng)的原理，表明當(dāng)僅將波浪場(chǎng)取為一階波浪速度，而不額外添加Stokes漂移速度，Stokes漂移效應(yīng)也可以自然地產(chǎn)生出來(lái)，產(chǎn)生的原理是周期性波動(dòng)的波浪速度與周期性波動(dòng)的濃度變化的相互作用。這一原理在所推導(dǎo)出的波浪周期上時(shí)間平均的濃度輸移擴(kuò)散方程中表現(xiàn)為對(duì)流速度即為Stokes漂移速度，該速度引起了濃度除了隨波浪周期性的波動(dòng)外，還存在沿波浪傳播方向上的漂移。這一現(xiàn)象也可以由本研究所進(jìn)行的粒子追蹤法濃度擴(kuò)散過(guò)程（對(duì)應(yīng)拉格朗日描述）和數(shù)值求解垂直二維濃度擴(kuò)散方程的計(jì)算結(jié)果（對(duì)應(yīng)歐拉描述）得到驗(yàn)證。由以上理論分析所得到Stokes漂移效應(yīng)產(chǎn)生的離散系數(shù)也與以往研究所得到的結(jié)果一致。研究中也根據(jù)該歐拉描述方法討論與解釋了物理模型實(shí)驗(yàn)中觀察到的破波帶外波浪引起的濃度漂移現(xiàn)象。

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（本文編輯：袁澤軼）

Eulerian description of wave-induced Stokes drift effect on the advective diffusion of tracer concentration

YAN Sheng,ZOU Zhi-li
（1.State KeyLaboratoryof Coastal and Offshore Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China）

The Eulerian description of wave-induced Stokes drift effect on the advective diffusion of tracer concentration is studied showing that this effect can be automatically accounted for in the wave-averaged advection-diffusion equation of concentration in linear wave field,as the advection velocity of the equation is just the Stokes drift velocity.The equivalence of this Eulerian description to the Lagrangian description is verified by comparing the numerical results of vertical distribution of Stokes drift velocity by the particle tracking method with the Eulerian results,with the former one being a Lagrantian type description.The Eulerian description of Stokes drift effect is also illustrated numerically by solving the advection-diffusion equation in σ-coordinates,which shows the drift of concentration driven by Stokes drift.The observed wave-induced concentration drift in the laboratory experiments is also presented to show the drift of concentration in practical wave field.

Stokes drift velocity;concentration advective diffusion equation;linear wave;Taylor dispersion;Eulerian description

P731.22

A

1001-6932（2017）04-0416-08

10.11840/j.issn.1001-6392.2017.04.008

2015-12-17；

2016-03-31

國(guó)家自然科學(xué)基金（11272078；51221961）。

閆圣（1987-），博士研究生，主要從事海岸水動(dòng)力學(xué)研究。電子郵箱：yansheng11106082@mail.dlut.edu.cn。