文︳張新春

整除性判斷

文︳張新春

判斷一個(gè)數(shù)能否被另一個(gè)數(shù)整除，最自然的辦法就是作除法。但對(duì)于一些特殊的數(shù)，我們可以研究一些特別的判斷方法。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中研究了2、5、3的倍數(shù)的特征。結(jié)論為：

（1）個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)，能被2整除；

（2）個(gè)位上是0、5的數(shù)，能被5整除；

（3）各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除，這個(gè)數(shù)就能被3整除。

我們先來(lái)討論結(jié)論（1）和結(jié)論（2），這兩個(gè)結(jié)論可以概括地表達(dá)為：個(gè)位上的數(shù)字能被2或5整除，這個(gè)數(shù)就能被2或5整除。

事實(shí)上，對(duì)任意自然數(shù)N，都可以寫(xiě)成N=10k+ b的形式，其中k≥0，0≤b≤9。這里的b就是N的個(gè)位數(shù)字。

顯然，由10=5×2知10能被2和5整除，從而10k能被2和5整除。于是，只要b能被2或5整除，N=10k+b就能被2或5整除。也就是說(shuō)，看一個(gè)數(shù)能否被2或5整除，只需要看個(gè)位即可。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，能被2整除的數(shù)的特征和能被5整除的數(shù)的特征通常是獨(dú)立安排的。在教學(xué)中，我們可以通過(guò)實(shí)例，讓學(xué)生體會(huì)這兩個(gè)結(jié)論的統(tǒng)一性。如果在課堂中通過(guò)觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證、歸納等活動(dòng)可以讓學(xué)生知道能被2或5整除的數(shù)的特征“是什么”的話，對(duì)這種統(tǒng)一性的體會(huì)就是關(guān)注“為什么”。

對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題有某種程度的敏感的讀者，應(yīng)該注意到10=5×2對(duì)于上述結(jié)論的重要性。同時(shí)，會(huì)馬上想到另外一個(gè)等式：100=25×4。這個(gè)等式是否告訴我們，要看一個(gè)數(shù)能否被4或25整除，只要看后兩位即可呢？事實(shí)正好如此。寫(xiě)出一般的證明并不難，我們?cè)诖酥慌e一個(gè)例子。比如，1784=17× 100+84，由于100能被4整除，所以17×100當(dāng)然能被4整除，又因?yàn)?4也能被4整除，于是可以作出結(jié)論：1784能被4整除。但由于17×100能被25整除，而84不能被25整除，所以1784就不能被25整除。

此時(shí)，我們一定會(huì)想到另一個(gè)等式：1000=125×8，同時(shí)知道，看一個(gè)數(shù)能否被8或125整除，只需看后三位即可。

從上面幾個(gè)例子可以看出，我們要判斷一個(gè)數(shù)a（比如1784）能否被另一個(gè)數(shù)b（比如4）整除，做法是從中分離出能被整除的一部分（比如1700），這時(shí)只要看剩下的部分（如84）能否被4整除就可以了。

上述第（3）個(gè)結(jié)論中，關(guān)于能被3整除的數(shù)的特征，即可以根據(jù)這個(gè)思路得到。

顯然，對(duì)于10、100、1000、……這些計(jì)數(shù)單位來(lái)說(shuō)，只要從中拿出1，剩下的部分9、99、999、……就都能被3整除了。于是，對(duì)于521來(lái)說(shuō)，有

521=5×100+2×10+1

=（5×99+5）+（2×9+2）+1

=（5×99+2×9）+（5+2+1）

上述算式中，5×99+2×9顯然能被3整除，這樣一來(lái)，521能否被3整除，就取決于5+2+1能否被3整除。一般地，一個(gè)數(shù)能否被3整除，只要看各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能否被3整除。

將這個(gè)過(guò)程稍作加工，就可以構(gòu)成一個(gè)在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中研究能被3整除的數(shù)的特征的方式。與能被2、5整除的數(shù)的特征不同，能被3整除的數(shù)的特征僅靠觀察較難發(fā)現(xiàn)，因此，研究如何在課堂中引導(dǎo)學(xué)生理解能被3整除的數(shù)的特征就顯得尤其重要。

由于9、99、999、……同樣都能被9整除，因此，一個(gè)數(shù)能否被9整除，也只需看各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能否被9整除。

我們?cè)賮?lái)看一個(gè)稍復(fù)雜的例子。

1001=7×11×13，說(shuō)明1001能同時(shí)被7、11、13整除。

下面來(lái)考察80234這個(gè)數(shù)能否被7、11、13整除。

80234=80×1000+234

=80×1001+（234-80）

由于1001能同時(shí)被7、11、13整除，所以80×1001肯定能同時(shí)被7、11、13整除。于是，要看80234能否被7、11、13整除，就只要看234-80能否被7、11、13整除了。而234-80=154=7×11× 2，因此，80234能被7、11整除，但不能被13整除。據(jù)此，我們可以概括出能被7、11、13整除的數(shù)的特征（留給讀者作個(gè)練習(xí)。計(jì)算過(guò)程中，可能會(huì)碰到要處理負(fù)數(shù)的情況）。

其他很多關(guān)于判斷一個(gè)數(shù)能否被另一個(gè)數(shù)整除的方法，大體上都可以用這種“分離一部分顯然能整除的，再看另一部分”的思路來(lái)理解。例如，對(duì)于整數(shù)M，記b為M的個(gè)位數(shù)字，而a是M分離個(gè)位數(shù)字后剩下的部分，于是有M=10a+b。此時(shí)，我們可以得到如下一些判斷整除的方法。

（1）由于M=10a+b=11a-（a-b），而11a顯然能被11整除，于是M=10a+b能否被11整除，只要看（a-b）能否被11整除即可。比如253，因?yàn)?5-3=22，22能被11整除，所以253能被11整除。對(duì)于一些大數(shù)來(lái)說(shuō)，可以反復(fù)利用這個(gè)方法。

（2）由于M=10a+b=13a+13b-3（a+4b），要判斷M能否被13整除，只要看（a+4b）能否被13整除即可。比如273，27+4×3=39，能被13整除，所以原數(shù)273也能被13整除。同樣，如果必要，這個(gè)方法也可以反復(fù)運(yùn)用。

（3）由于M=10a+b=17a-34b-7（a-5b），17a-34b能被17整除，要判斷M能否被17整除，只要看（a-5b）能否被17整除即可。比如357，35－7× 5=0，能被17整除，所以原數(shù)357也能被17整除。同樣，如果必要，這個(gè)方法也可以反復(fù)運(yùn)用。

理解了這一點(diǎn)，我們甚至可以自己創(chuàng)造出一些判斷一個(gè)數(shù)能否被另一個(gè)數(shù)整除的方法。值得說(shuō)明的是，以上這些方法有一個(gè)共同點(diǎn)：為了判斷M能否被N整除，都是通過(guò)判斷一個(gè)比M小的數(shù)能否被N整除來(lái)實(shí)現(xiàn)。具體做法是從M中分離出一部分，使這一部分能被N整除，然后考察另一部分能否被N整除。即把一個(gè)整除判斷的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)更小的數(shù)的整除判斷問(wèn)題，后者通常比前者容易，這就使得這些判斷方法有實(shí)用價(jià)值。這種思路也常常用來(lái)討論與整除有關(guān)的問(wèn)題。

例：證明不存在這樣的整數(shù)n，使得n2+n+2011能被2010整除。

證明：假設(shè)存在這樣的整數(shù)n，使得n2+n+2011能被2010整除，則有整數(shù)m，使得n2+n+2011=2010m，即n2+n+1=2010（m-1）。于是n2+n+1能被2010整除，而2010能被5整除，于是n2+n+1應(yīng)能被5整除。

但對(duì)于任意的整數(shù)n，只能有以下5種情況：5t，5t+1，5t+2，5t+3，5t+4。

當(dāng)n=5t時(shí)，n2+n+1=（5t）2+5t+1=5（5t2+t）+1，顯然不能被5整除。（注：這里即把n2+n+1分成兩部分，其中一部分能被5整除，而另一部分不能，從而說(shuō)明n2+n+1不能被5整除）

n2+n+1都不能被5整除。因此，對(duì)于任意的整數(shù)n，n2+n+1都不能被5整除，從而不能被2010整除，這就證明了使得n2+n+2011能被2010整除的整數(shù)n是不存在的。