曾石明

(江西省贛州市于都中學(xué)，江西 贛州 342300)

例談向量在立體幾何中的應(yīng)用

曾石明

(江西省贛州市于都中學(xué)，江西 贛州 342300)

立體幾何是高中數(shù)學(xué)中重要的組成部分，高中的立體幾何主要是學(xué)習(xí)在三維空間中空間圖形的形狀以及大小.線線位置關(guān)系，線面位置大小關(guān)系，點(diǎn)線位置及其距離關(guān)系，面面距離位置關(guān)系.而空間向量是將抽象的立體幾何轉(zhuǎn)化成了函數(shù)，代數(shù)的數(shù)量關(guān)系.以下內(nèi)容主要是對于向量在立體幾何的一些主要類型的實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行論述.

向量；立體幾何；位置關(guān)系

一、向量求點(diǎn)線位置關(guān)系

公式 點(diǎn)M(x0，y0)到直線l：Ax+By+C=0的距離

例1 經(jīng)過點(diǎn)A(-1，2)，且平行于向量a=(3，2)的直線方程是________．

(2)設(shè)N(x，y)，M(x0，y0)．

所以(x0-3)2+(y0-3)2=4，所以(2x)2+(2y)2=4，即x2+y2=1.所以點(diǎn)N的軌跡方程為x2+y2=1.

二、向量求點(diǎn)面位置關(guān)系

利用向量法求空間距離問題是空間向量的重要應(yīng)用，也是立體幾何的重要考點(diǎn).我們解決這類問題時(shí)，可選取恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，把所需線轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量.

主要步驟如下：

(1)建立空間直角坐標(biāo)系;(2)求平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)；(3)找出平面外的點(diǎn)與平面內(nèi)任意一點(diǎn)連接向量的坐標(biāo);(4)代入公式求出距離.

例2 在直三棱柱ABC-A1B1C1中AB=BC=5,AC=8,AA1=6，D為AB的中點(diǎn).

求：點(diǎn)B到面AB1C的距離.

解 如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，依題意可得A(-4,0,0)，B(0,3,0),C(4,0,0),B1(0,3,6).易得

即n=(0,-2,1).令點(diǎn)B到面AB1C的距離為d,

則d=

三、向量求線線位置關(guān)系

(1)恰當(dāng)?shù)臉?gòu)建空間直角坐標(biāo)系；

(2)正確求得所對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，空間向量的坐標(biāo)表示及其數(shù)量積；

(3)代入空間向量的夾角公式，求得其余弦值；

(4)根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.

例3 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E1、F1分別為A1B1，C1D1的一個(gè)四等分點(diǎn)，求DF1與BE1所成角的余弦值.

解 以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.

設(shè)DD1=4,則D(0,0,0),F1(0,1,4),B(4,4,0),E1(4,3,4).

所以DF與BE所成角的余弦值為15/17.空間向量在立體幾何中的應(yīng)用十分廣泛，其主要思想就是將立體圖形放在合適的坐標(biāo)系中，將圖形量化，函數(shù)化.從而達(dá)到圖形與函數(shù)結(jié)合，抽象問題具體化，系統(tǒng)化.

[1] 馮峰.分類例說空間向量在立體幾何解題中的應(yīng)用[J].高中數(shù)理化,2013.

[2] 楊建筑.例談運(yùn)用空間向量法解立體幾何題[J].中學(xué)生數(shù)理化:高考版,2011.

2017-05-01

曾石明(1990-)，男，江西贛州人，大學(xué)本科，中學(xué)二級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

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