曾玉婷
摘 要:傳統(tǒng)法求二面角是作出二面角的平面角,構(gòu)造的輔助線有時很難找;而坐標(biāo)法求二面角寫起來比較繁瑣。本文用“等體積法”求二面角的平面角,擴大“等體積法”適用范圍,至此,等體積法可用于求點到面的距離、線面角、面面角。
關(guān)鍵詞:等體積法 二面角
中圖分類號:O123.2 文獻標(biāo)識碼:A 文章編號:1672-1578(2017)09-0024-02
在文[1]中給出求二面角的常用的九種方法,作為傳統(tǒng)法求二面角的平面角,筆者認為可以多加一種,等體積法求二面角的平面角。
1 等體積法求二面角的平面角原理
如圖所示,求二面角P-AB-CD的平面角。
記所求的二面角的平面角為α,則α∈[0,π].
過點P作于PH1⊥ABCD于H1,過點P作PH2⊥AB于H2,
則有sinα= 或sin(π-α)=
綜上可知sinα= ,具體的二面角,需通過觀察確定其取銳角或鈍角。
而關(guān)鍵的地方正是兩次“作高”,其中用等體積法求PH1是關(guān)鍵中的關(guān)鍵。
2 實際解析
(2009年全國I.文19)如圖,四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為矩形,SD⊥底面ABCD,AD= ,DC=SD=2,點M在側(cè)棱SC上,∠ABM=60°。
(1)證明:M是側(cè)棱SC的中點。
(2)求二面角S-AM-B的大小。
解:(1)略
(2)設(shè)二面角S-AM-B的平面角為α,過點S作于SH1⊥面 ABM于H1,作SH2⊥AM于H2,則有sinα= 。
等體積法求SH1: 由(1)知M是側(cè)棱SC的中點,
∴ dM-SAB= dC-SAB
易知S△SAB= ,S△ABC= ,S△AMB=
代入VC-SAB=VS-ABC,即有 S△SAB·dC-SAB= S△ABC·CD,求得
dC-SAB=
由等體積法知VS-AMB=VM-SAB,即 S△AMB·SH1= S△SAB·dM-SAB,可得SH1= 。
求SH2: 在等腰△SAC中,M為SC中點, ∴ AM⊥SC
由SH2作法可知:SH2=SM=
所以sinα= = ,觀察可知α為鈍角,故 cosα=-
即二面角S-AM-B的平面角為α=arccos(- )。
(2013年課標(biāo)全國II,理18)如
圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D、E分
別是AB、BB1的中點, AA1=AC=CB=
AB。
(1)證明:BC1∥平面A1CD;
(2)求二面角D-A1C-E的正弦值。
(2008年全國I.文18)四棱錐
A-BCDE中,底面BCDE為矩形,側(cè)面ABC⊥底面BCDE,BC=2,CD= ,AB=BC。
(1)證明: AD⊥CE.
(2)設(shè)側(cè)面ABC為等邊三角形,求二面角C-AD-E的大小。
3 等體積法求二面角的意義
等體積法求二面角的平面角,實現(xiàn)用等體積法解決點到面的距離、三棱錐的高、線面角及二面角的統(tǒng)一。當(dāng)然,等體積法的核心思想是同一個三棱錐頂點不同體積仍相同,但三棱錐的底面三角形面積不一定好求,因此等體積法求二面角的平面角存在一定的局限性。
參考文獻:
[1] 李永茂,劉文春.求二面角的平面角的九種方法[J].數(shù)學(xué)教學(xué),1990,06:28-30.