尚傳福

摘 要： 對(duì)于三維空間中時(shí)間序列的復(fù)雜度分析，多采用多尺度樣本熵（MSE），針對(duì)MSE方法隨著時(shí)間序列復(fù)雜度的增加樣本熵估計(jì)的準(zhǔn)確率下降的缺陷，提出采用多尺度樣本熵模型。對(duì)提出的MSE模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證分析，根據(jù)時(shí)間序列復(fù)雜程度的不同，分別采用復(fù)合多尺度樣本熵（CMSE）以及改進(jìn)復(fù)合多尺度樣本熵（RCMSE）對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行研究分析，得出不同的仿真結(jié)果。證明對(duì)于時(shí)間序列的復(fù)雜度研究，采用MSE的方法能達(dá)到提高準(zhǔn)確率的效果。

關(guān)鍵詞： 時(shí)間序列； RCMSE； 多尺度樣本熵； 復(fù)雜度分析

中圖分類號(hào)： TN911.6?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2017）17?0040?04

Time series complexity research based on multiscale sample entropy

SHANG Chuanfu

（Institute of Mathematics and Information Engineering， Chongqing University of Education， Chongqing 400065， China）

Abstract： The multiscale sample entropy （MSE） is mostly used to analyze the time series complexity in 3D space. Since the time series complexity of MSE method can reduce the accuracy of the sample entropy estimation with the increase of time series complexity， a multiscale sample entropy model is proposed. The experiments were carried out to verify the multiscale sample entropy model. According to the different complexity of time sequences， the composite multiscale sample entropy （CMSE） and refined composite multiscale sample entropy （RCMSE） are used respectively to study and analyze the time series to obtain different simulation results. The result proves that the multi?scale sample entropy method can achieve the effect of improving the accuracy rate.

Keywords： time series； RCMSE； multiscale sample entropy； complexity analysis

0 引 言

隨著科學(xué)的進(jìn)步以及人們對(duì)混沌系統(tǒng)的研究，復(fù)雜度這個(gè)詞眼越來(lái)越頻繁地出現(xiàn)在科研工作者的報(bào)告以及著作中。人類生活的真實(shí)環(huán)境就是一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)[1]，如人類社會(huì)錯(cuò)綜復(fù)雜的社會(huì)關(guān)系，以及生物學(xué)中的生物圈、森林系統(tǒng)、海洋系統(tǒng)[2]等。對(duì)于時(shí)間序列的復(fù)雜度，最簡(jiǎn)單的是一維時(shí)間系統(tǒng)，接著還有二維、三維，目前研究到了四維時(shí)間序列[3]，所以時(shí)間序列的復(fù)雜度在不斷增多，更完善的時(shí)間序列研究算法也亟待科研工作者提出。

多尺度樣本熵算法應(yīng)用范圍十分廣泛，如非線性高階系統(tǒng)、混沌分形系統(tǒng)以及時(shí)間序列復(fù)雜系統(tǒng)[4]。值得一提的是，RCMSE多用來(lái)衡量時(shí)間序列在不同尺度上的復(fù)雜度，對(duì)應(yīng)時(shí)間的復(fù)雜度越高則其熵值就越高。

本文首先對(duì)多尺度樣本熵的基本概念進(jìn)行闡釋，并對(duì)該算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證以及分析，然后對(duì)時(shí)間序列的復(fù)雜度引入了多種干擾信號(hào)，如白噪聲、粉紅噪聲（噪聲）等，通過(guò)CMSE和RCMSE算法模型對(duì)摻雜了雜波的時(shí)間序列復(fù)雜度進(jìn)行估計(jì)，大大提高了估計(jì)的準(zhǔn)確率。

1 多尺度樣本熵

1.1 多尺度樣本熵計(jì)算

多尺度樣本熵的方法是由Richman提出的，其與近似熵相似，但卻能更好地提高復(fù)雜度估計(jì)值的準(zhǔn)確率[5]，因此本文采用該方法。其運(yùn)算思路如下：

（1） 設(shè)原始數(shù)據(jù)為，長(zhǎng)度是本文假設(shè)嵌入維數(shù)為矢量容量為則維向量可以表示為：

（1）

（2） 定義與之間的距離是兩者對(duì)應(yīng)時(shí)間點(diǎn)差值的最大值，為：

（2）

（3） 對(duì)每個(gè)值，計(jì)算與其余矢量間的距離統(tǒng)計(jì)小于的數(shù)目以及此值與距離總數(shù)的比值，記作，即：

（3）

式中。

（4） 求的平均值：

（4）

（5） 再對(duì)維數(shù)即對(duì)點(diǎn)矢量重復(fù)步驟（1）～步驟（4），得到，進(jìn)而得到。

（6） 理論上此時(shí)間序列的多尺度樣本熵為：

（5）

當(dāng)為有限數(shù)時(shí)，式（5）可表示為：

（6）

由式（6）可知，SampEn的值與的取值有關(guān)，但是目前的研究還沒(méi)有給出兩個(gè)的明確值，一般取，SD為原始數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差[6]。本文對(duì)時(shí)間系列復(fù)雜度進(jìn)行研究時(shí)，取。

1.2 多尺度樣本熵算法測(cè)試

為了驗(yàn)證所選用多尺度樣本熵算法的正確性，分別選取了隨機(jī)時(shí)間信號(hào)和規(guī)則正弦信號(hào)，其信號(hào)波形圖如圖1，圖2所示。所選取隨機(jī)信號(hào)和規(guī)則正弦信號(hào)的長(zhǎng)度尺度維數(shù)閾值SD與上文中提到的含義相同，是復(fù)雜度（時(shí)間序列）的標(biāo)準(zhǔn)差。endprint

對(duì)兩組信號(hào)展開(kāi)多尺度樣本熵的算法仿真實(shí)驗(yàn)，其仿真結(jié)果如圖3所示?？偨Y(jié)可得：對(duì)于隨機(jī)的時(shí)間序列信號(hào)，在任何時(shí)刻，其復(fù)雜度的熵值都大于正弦信號(hào)，由此恰恰能夠說(shuō)明熵值越大其復(fù)雜程度越高這一結(jié)論。并且對(duì)于不規(guī)則隨機(jī)時(shí)間序列呈現(xiàn)遞減的變化規(guī)律。此實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法能夠進(jìn)行理論應(yīng)用。

1.3 多尺度樣本熵分析

本文利用該算法分析了先導(dǎo)過(guò)程的多尺度樣本熵的問(wèn)題。分別選取30次梯級(jí)和30次“不規(guī)則”先導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行運(yùn)算，因?yàn)槌叨鹊亩嗌贂?huì)影響數(shù)據(jù)量的變化，尺度越大數(shù)據(jù)量越少，而且在多尺度樣本熵計(jì)算中進(jìn)行了重構(gòu)，重構(gòu)時(shí)的算法在運(yùn)行過(guò)程中維數(shù)不能完全被展開(kāi)，所以本實(shí)驗(yàn)選用了10個(gè)尺度，計(jì)算分析其樣本熵，其中維數(shù)閾值SD的定義與上文相同。仿真分析結(jié)果如圖4所示。

由圖4可知，從熵值的變化趨勢(shì)來(lái)說(shuō)，當(dāng)尺度數(shù)小于4時(shí)，“不規(guī)則”先導(dǎo)的多尺度樣本熵呈現(xiàn)遞增的趨勢(shì)；當(dāng)尺度大于4時(shí)，變化趨勢(shì)呈現(xiàn)不明顯的狀態(tài)。但對(duì)于梯級(jí)先導(dǎo)，其多尺度樣本熵基本不隨尺度的變化而變化，或者說(shuō)變化不大，呈現(xiàn)不明顯的遞增狀態(tài)。從熵值的大小來(lái)說(shuō)，梯形熵值大小都沒(méi)有超過(guò)1.5。對(duì)于“不規(guī)則”先導(dǎo)，尺度不超過(guò)4時(shí)，其值分布在0.8～2.5之間，且當(dāng)尺度值小于3時(shí)較接近梯形熵值；當(dāng)尺度大于4時(shí)，其熵值均分布在1.5～2.5的區(qū)間范圍內(nèi)。所以要區(qū)分梯形和“不規(guī)則”先導(dǎo)過(guò)程，將尺度值設(shè)定在大于4的范圍中。

基于多尺度樣本熵的分析，本文除了進(jìn)行上述30次梯級(jí)和30次“不規(guī)則”先導(dǎo)求熵值外，還進(jìn)行了最值、平均值以及標(biāo)準(zhǔn)差的求解，根據(jù)進(jìn)行的數(shù)據(jù)處理結(jié)果可知，梯級(jí)先導(dǎo)在所有尺度狀況下，其平均值范圍是；不規(guī)則先導(dǎo)在所有尺度狀況下，其標(biāo)準(zhǔn)差范圍是；當(dāng)尺度范圍是（3，∞）時(shí)，不規(guī)則先導(dǎo)熵的平均值較為穩(wěn)定，并且不存在與規(guī)則先導(dǎo)熵重疊的區(qū)域。所以，一般情況下，特征熵表示的是尺度范圍為（3，∞）的不規(guī)則先導(dǎo)熵，最大值的范圍是最小值的范圍是。

2 多尺度復(fù)雜性分析

2.1 分析方法介紹

在本節(jié)中，主要介紹用于研究時(shí)間序列的MSE模型，包括傳統(tǒng)的MSE、復(fù)合的CMSE以及改進(jìn)復(fù)合式的RCMSE算法。由于傳統(tǒng)的樣本熵系統(tǒng)在時(shí)間序列復(fù)雜度較高時(shí)，其估計(jì)準(zhǔn)確率不高[7]，本文采用改進(jìn)的復(fù)合多尺度樣本熵（RCMSE）方法。

2.2 傳統(tǒng)MSE方法及其仿真實(shí)現(xiàn)

傳統(tǒng)的多尺度樣本熵（MSE）方法主要包括三個(gè)過(guò)程：

（1） 粗?；^(guò)程：設(shè)定本文中的標(biāo)度因子，把時(shí)間序列分成一個(gè)個(gè)寬度為的窗口，注意：窗口不重疊，分別求每個(gè)窗口的時(shí)刻平均值，得到的序列為：

（7）

（2） 對(duì)式（7）中的序列進(jìn)行樣本熵的求解：

（8）

（3） 取不同的值，重復(fù)過(guò)程（1）、（2），分別計(jì)算序列式（7）對(duì)應(yīng)的樣本熵，得到如圖5所示的時(shí)間序列復(fù)雜度的熵分布曲線。

2.3 CMSE方法及其仿真實(shí)現(xiàn)

由于應(yīng)用傳統(tǒng)的MSE方法，式（7）中時(shí)間序列復(fù)雜度估計(jì)的準(zhǔn)確性會(huì)隨著的加大而變小[8]，所以當(dāng)較大時(shí)，應(yīng)該采用更加優(yōu)化的算法——CMSE方法。

在CMSE方法中進(jìn)行了如下改進(jìn)：

對(duì)于增大后的尺度因子粗粒化的時(shí)間序列優(yōu)化為：

（9）

其中：

（10）

對(duì)于改進(jìn)后的樣本熵（CMSE）均值為：

（11）

式中表示時(shí)間序列復(fù)雜度為維時(shí)，對(duì)應(yīng)樣本熵的尺度個(gè)數(shù)。采用該方法的時(shí)間序列復(fù)雜度的熵分布曲線如圖6所示。

2.4 RCMSE方法及其仿真實(shí)現(xiàn)

在CMSE算法中，對(duì)所有的進(jìn)行粗粒化處理后，緊接著要進(jìn)行與的比率對(duì)數(shù)化計(jì)算，然后取各個(gè)對(duì)數(shù)的均值，將這些均值作為時(shí)間序列復(fù)雜度的熵值。但是，的定義域是有限制的，即任一個(gè)都不能為零，否則復(fù)合多尺度樣本熵算法失效。所以相對(duì)于傳統(tǒng)的MSE方法，CMSE雖然能夠提高運(yùn)算的復(fù)雜度，但會(huì)出現(xiàn)無(wú)效熵值，于是，21世紀(jì)初，改進(jìn)的多尺度樣本熵（RCMSE）算法被提出[9]。本文中該算法實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：

（1） 本文中選擇4個(gè)不同的尺度因子利用式（10）進(jìn)行粗?；蛄杏?jì)算。

（2） 分別找出每一個(gè)粗?；蛄械乃木S空間向量個(gè)數(shù)，逐個(gè)進(jìn)行標(biāo)記為。

（3） 在范圍內(nèi)，分別求解的平均值，并且逐個(gè)記作則RCMSE算法定義的比率對(duì)數(shù)值可以表示為：

（12）

式中：。采用RCMSE方法的時(shí)間序列復(fù)雜度的熵分布曲線如圖7所示。

通過(guò)上述的理論改進(jìn)和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證可知，RCMSE不會(huì)出現(xiàn)無(wú)效定義的情況，相比于MSE，CMSE算法，RCMSE方法不會(huì)出現(xiàn)無(wú)效熵值，對(duì)于時(shí)間序列復(fù)雜度的多尺度樣本熵的估計(jì)值的準(zhǔn)確率也大大提高了。

3 多尺度樣本熵準(zhǔn)確率統(tǒng)計(jì)

對(duì)時(shí)間序列復(fù)雜度的研究，采用樣本熵的方法，通過(guò)以上研究發(fā)現(xiàn)，MSE存在復(fù)雜度提高時(shí)準(zhǔn)確率會(huì)降低的缺點(diǎn)，CMSE的方法存在無(wú)定義的無(wú)效熵值點(diǎn)的缺陷，只有RCMSE方法才能夠同時(shí)克服這些缺點(diǎn)，剔除無(wú)定義點(diǎn)，大大提高估計(jì)熵值的準(zhǔn)確率。

基于以上三種方法，本節(jié)中分別采用不同復(fù)雜度的相同時(shí)間序列進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，分別得出準(zhǔn)確率，其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文研究了基于多尺度樣本熵的時(shí)間序列復(fù)雜度，首先，對(duì)多尺度樣本熵進(jìn)行了理論定義；然后，在該算法完成優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行了算法的驗(yàn)證和分析，證明了該方法的有效可行性；最后，針對(duì)傳統(tǒng)的MSE算法存在復(fù)雜度提高時(shí)準(zhǔn)確率會(huì)降低的缺點(diǎn)，以及CMSE方法存在無(wú)定義的無(wú)效熵值點(diǎn)的缺陷，提出RCMSE方法，該方法能同時(shí)克服這些缺點(diǎn)，剔除無(wú)定義點(diǎn)，大大提高估計(jì)熵值的準(zhǔn)確率，并且通過(guò)實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)更加深刻地說(shuō)明了多尺度樣本熵方法對(duì)于計(jì)算和衡量時(shí)間序列復(fù)雜度方面是極其有價(jià)值的。

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