楊真真

摘 要：Matlab作為目前使用最為廣泛的科學(xué)計算類軟件之一，被廣泛應(yīng)用于工程計算、控制設(shè)計等諸多領(lǐng)域。針對多元積分學(xué)中的重積分、曲線積分和曲面積分計算等問題，在多元函數(shù)積分運算教學(xué)中利用Matlab進(jìn)行輔助教學(xué)，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，加深其對所學(xué)知識的理解，提高教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：三重積分；曲線積分；曲面積分；Matlab；多元函數(shù)

DOIDOI：10.11907/rjdk.171983

中圖分類號：TP319

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號文章編號：1672-7800（2017）008-0149-04

0 引言

隨著“互聯(lián)網(wǎng)+”和大數(shù)據(jù)技術(shù)的蓬勃發(fā)展，當(dāng)今社會已進(jìn)入全民信息時代[1]，傳統(tǒng)的“粉筆—黑板”式的教學(xué)已不再適應(yīng)時代發(fā)展。高等數(shù)學(xué)教學(xué)也在教授學(xué)生基本知識的同時，引入Matlab進(jìn)行輔助教學(xué)[2-5]。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，多元函數(shù)積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的重點和難點，它涉及的概念、性質(zhì)和公式十分復(fù)雜，包括重積分、曲線積分和曲面積分3大部分內(nèi)容[6-8]，學(xué)生往往把握不住重點，有些內(nèi)容難以區(qū)分，計算時更是無從下手。因此，如何激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效果，成為高校教授高等數(shù)學(xué)課程教師關(guān)注的重點。

眾所周知，多元函數(shù)積分計算的總體思想是轉(zhuǎn)化為定積分進(jìn)行計算，例如將重積分轉(zhuǎn)化為累次積分，將曲線積分根據(jù)曲線方程轉(zhuǎn)化為定積分，然后將曲面積分根據(jù)曲面方程轉(zhuǎn)化為重積分，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為定積分。在多元函數(shù)積分的具體計算中，要想快速順利地計算出正確結(jié)果，除了掌握定積分轉(zhuǎn)化思想外，還要注意換元法、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式等的合理運用。

為了提高教學(xué)效果，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，本文在多元函數(shù)積分學(xué)的重積分、曲線積分和曲面積分的計算教學(xué)中利用Matlab進(jìn)行輔助教學(xué)，以加深學(xué)生對多元函數(shù)積分學(xué)計算方法的理解。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，利用Matlab進(jìn)行輔助教學(xué)，不僅給學(xué)生提供了一個快速有效的計算結(jié)果檢驗工具，讓其看到數(shù)學(xué)理論不是那么枯燥無味，還可以使用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行處理，而且讓其認(rèn)識到Matlab的強(qiáng)大功能，為后期學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗、參加數(shù)學(xué)建模競賽打下基礎(chǔ)。

1 利用Matlab進(jìn)行三重積分計算

三重積分是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點和重點，計算三重積分的方法是將其轉(zhuǎn)化為累次積分。三重積分的計算方法分為直角坐標(biāo)系下三重積分的計算方法、柱面坐標(biāo)系下三重積分的計算方法和球面坐標(biāo)系下三重積分的計算方法，其中直角坐標(biāo)系下三重積分的計算方法又分為“投影法”和“截面法”[9-10]。“投影法”是先對某一變量進(jìn)行積分，然后對其余兩個變量的二重積分進(jìn)行計算。如果三重積分的被積函數(shù)是一元函數(shù)，或某兩個變量的二重積分容易積出時，采用“截面法”更為簡單。

三重積分的計算由于方法和形式多樣，學(xué)生學(xué)習(xí)過程中很難區(qū)分各種計算方法。此外，由于三重積分的積分區(qū)域是立體圖形，部分學(xué)生的空間想象力不是很好，將給三重積分的計算帶來很大困難。因此，在三重積分計算中采用Matlab進(jìn)行輔助教學(xué)，讓學(xué)生在熟悉三重積分計算方法的同時，能夠?qū)Ψe分區(qū)域進(jìn)行可視化，從而使學(xué)生領(lǐng)略到Matlab的魅力，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣。下面通過例題1介紹采用Matlab求給定函數(shù)在給定區(qū)域的三重積分。

例1 計算三重積分I=Ωzdxdydz，其中Ω由曲面z=x2+y2，z=1，z=2所圍成。首先用Matlab畫出積分區(qū)域Ω：z=x2+y2，z=1，z=2的立體圖形，讓學(xué)生對曲面Ω有個可視化的認(rèn)識，其程序代碼如下，積分區(qū)域圖形如圖1所示。x=-1.2：0.01：1.2； y=x； [X，Y]=meshgrid（x，y）； Z1=X.∧2+Y.∧2； mesh（X，Y，Z1）； hold on Z2=ones（size（X））； mesh（X，Y，Z2）； hold on Z3=2* ones（size（X））；mesh（X，Y，Z3）； hold off xlabel（′x軸′）； ylabel（′y軸′）；zlabel（′z軸′）；

解法一：在直角坐標(biāo)系下先將三重積分轉(zhuǎn)化為累次積分：I=Ωzdxdydz=4[∫20dx ∫2-x20dy ∫2x2+y2zdz -∫10dx ∫1-x20dy ∫1x2+y2zdz ]其程序代碼如下：syms x y z； I1=int（int（int（z，z，x∧2+y∧2，2），y，0，sqrt（2-x∧2）），x，0，sqrt（2））； I2=int（int（int（z，z，x∧2+y∧2，1），y，0，sqrt（1-x∧2）），x，0，1）； I=4*（I1-I2）其輸出為：I =（7*pi）/3。解法二：在柱面坐標(biāo)系下有：I=Ωzdxdydz=∫2π0dθ ∫20dr ∫2r2rzdz -∫2π0dθ ∫10dr ∫1r2rzdz 其程序代碼如下：syms r theta z； I1=int（int（int（r*z，z，r∧2，2），r，0，sqrt（2）），theta，0，2*pi）；I2=int（int（int（r*z，z， r∧2，1），r，0，1），theta，0，2*pi）； I=I1-I2其輸出為：I =（7*pi）/3。因此，I=Ωzdxdydz=7π3。

2 利用Matlab計算曲線積分

曲線積分分為第一類曲線積分和第二類曲線積分，其計算思想都是將曲線積分根據(jù)曲線方程轉(zhuǎn)化為定積分[11-12]。第一類曲線積分的計算主要通過積分路徑曲線的參數(shù)方程，將其轉(zhuǎn)化為定積分。其中，選擇合適的積分路徑曲線參數(shù)方程是解題的關(guān)鍵。第一類曲線積分的積分路徑和方向無關(guān)，轉(zhuǎn)化為定積分時，積分下限總小于積分上限；第二類曲線積分的計算稍為復(fù)雜，分為直接計算和間接計算兩類計算方法。直接計算法，也即通過積分路徑的參數(shù)方程將第二類曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分進(jìn)行計算，因為第二類曲線積分和積分路徑的方向有關(guān)，轉(zhuǎn)化成的定積分下限對應(yīng)積分路徑曲線的起點，上限對應(yīng)積分路徑曲線的終點。間接計算主要指利用兩類曲線積分的聯(lián)系以及格林公式來計算第二類曲線積分。下面分別通過例2、例3介紹在曲線積分的計算中引入Matlab進(jìn)行輔助教學(xué)。例2 求曲線積分I=∮L（x2+y2）ds，其中曲線L為x2+y2=2x在第一象限的部分。解：設(shè)曲線L的參數(shù)方程為x=1+cost，y=sint （0≤t≤2π），則dx=-sintdt，dy=costdt，ds=dx2+dy2=sin2t+cos2tdt=dt，于是：∮L（x2+y2）ds=∮L2xds=∫2π02（1+cost）dt =4π現(xiàn)用Matlab驗證計算結(jié)果的正確性，其程序代碼如下：endprint

syms t； x=（1+cos（t））； y=sin（t）； dx=diff（x，t）； dy=diff（y，t）； ds=sqrt（dx∧2+dy∧2）； f=x∧2+y∧2； I=int（f*ds，t，0，2*pi）輸出為：I =4*pi。例3 求曲線積分I=∮L（x-y）dx+（x+y）dyx2+y2，其中曲線L為圓周x2+y2=a2按逆時針方向繞行。解：設(shè)曲線L的參數(shù)方程為x=acost，y=asint，t為0～2π，dx=-asintdt，dy=acostdt，因此有：I=∮L（x-y）dx+（x+y）dyx2+y2=∫2π0a（cost-sint）·（-asint）+a（cost+sint）·acosta2dt =∫2π0dt =2π現(xiàn)用Matlab驗證計算結(jié)果的正確性，其程序代碼如下：

syms a t； x = a*cos（t）； y = a*sin（t）； f =[（x-y）/（x∧2+y∧2），（x+y）/（x∧2+y∧2）]；ds =[diff（x，t）； diff（y，t）]； I = int（f*ds，t，0，2*pi）其輸出為：I =2*pi。

3 利用Matlab計算曲面積分

曲面積分分為第一類曲面積分和第二類曲面積分，其計算思想都是將曲面積分根據(jù)曲面方程轉(zhuǎn)化為二重積分[13-15]。第一類曲面積分的計算主要通過曲面在適當(dāng)坐標(biāo)平面的投影轉(zhuǎn)化為二重積分進(jìn)行計算，選擇合適的坐標(biāo)平面投影是解題關(guān)鍵，注意投影面積不能為零；第二類曲面積分的計算分為直接計算和間接計算兩種，其中直接計算是指通過積分曲面向坐標(biāo)平面投影將第二類曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分進(jìn)行計算，投影方向是固定的，投影面積可以為零。由于第二類曲面積分的積分曲面是有方向的，一定要注意積分曲面的側(cè)面，從而確定二重積分相應(yīng)的符號。間接計算主要指利用兩類曲面積分的聯(lián)系以及高斯公式來計算第二類曲面積分。下面分別通過例4、例5介紹在曲面積分的計算中引入Matlab進(jìn)行輔助教學(xué)。例4 計算曲面積分I=ΣdSz，其中Σ是球面x2+y2+z2=4被平面z=1截出的頂部。首先用Matlab畫出積分區(qū)域Σ，其程序代碼和積分區(qū)域的圖形如下所示：x1=-2：0.01：2； y1=x1； [X1，Y1]=meshgrid（x1，y1）； Z1= ones（size（X1））； mesh（X1，Y1，Z1）； hold ont=linspace（0，pi，25）；p=linspace（0，2*pi，25）； [theta，phi]=meshgrid（t，p）； x=2*sin（theta）.*sin（phi）；y=2*sin（theta）.*cos（phi）； z=2*cos（theta）； surf（x，y，z）； xlabel（′x軸′）；ylabel（′y軸′）；zlabel（′z軸′）；

解：Σ的方程為z=4-x2-y2，投影區(qū)域為Dxy：x2+y2≤3，故有：dS=1+z2x+z2y=24-x2-y2dxdy于是有：I=ΣdSz=Dxy24-x2-y2dxdy=Dxy2r4-r2drdθ=2∫2π0dθ ∫30r4-r2dr .其程序代碼如下：syms r theta； I= int（int（2*r/（4-r∧2），r， 0，sqrt（3）），theta，0，2*pi）

其輸出為：I=4*pi*log（2）。因此，I=ΣdSz=4πl(wèi)n2。

例5 計算曲面積分Σx2y2zdxdy，其中Σ為半球面z=1-x2-y2的上側(cè)。首先用Matlab畫出積分區(qū)域Σ，其程序代碼和積分區(qū)域的圖形如下：t=linspace（0，pi/2，25）；p=linspace（0，2*pi，25）； [theta，phi]=meshgrid（t，p）； x=sin（theta）.*sin（phi）； y=sin（theta）.*cos（phi）； z=cos（theta）； surf（x，y，z）； xlabel（′x軸′）；ylabel（′y軸′）；zlabel（′z軸′）；

解法一：在直角坐標(biāo)系下有：Σx2y2zdxdy=Dxyx2y21-x2-y2dxdy=∫1-1dx ∫1-x2-1-x2x2y21-x2-y2 dy其程序代碼如下：syms x y； z=sqrt（1-x.∧2-y.∧2）； I=int（int（x∧2*y∧2*z，y，-sqrt（1-x∧2），sqrt（1-x∧2）），x，-1，1）其輸出為：I =（2*pi）/105。解法二：在極坐標(biāo)系下有Σx2y2zdxdy=Dxyx2y21-x2-y2dxdy=∫2π0dθ ∫1-1r2cos2θr2sin2θ1-r2 rdr =∫2π0dθ ∫10r51-r2cos2θsin2θ dr其程序代碼如下：syms r theta； I= int（int（r∧5*sqrt（1-r∧2）*（cos（theta））∧2*（ sin（theta））∧2，r， 0，1），theta，0，2*pi）其輸出為：I =（2*pi）/105。因此，Σx2y2zdxdy=2π105。

4 結(jié)語

本文將Matlab 應(yīng)用到多元函數(shù)積分包括三重積分、曲線積分和曲面積分的計算中，不僅給學(xué)生提供了一個檢驗計算結(jié)果正確性的方法，而且讓積分區(qū)域圖形可視化，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到了更好的教學(xué)效果。此外，在多元函數(shù)積分學(xué)的教學(xué)中使用Matlab進(jìn)行輔助教學(xué)，還能培養(yǎng)學(xué)生使用軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)計算的能力，為學(xué)生后續(xù)參加數(shù)學(xué)建模競賽等奠定基礎(chǔ)。

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