李文勝

具有預(yù)解算子的隨機(jī)脈沖積分微分包含?

李文勝

（西安航空學(xué)院理學(xué)院西安710077）

利用Krasnoselskii-Scheafer型集值映射不動(dòng)點(diǎn)定理結(jié)合預(yù)解算子理論，在公理化定義的相空間上，研究了一類隨機(jī)脈沖中立型積分微分包含溫和解的存在性，并建立了此類問(wèn)題溫和解的存在性。

預(yù)解算子；隨機(jī)脈沖；積分微分包含

Class NumberO175.22

1引言

近年來(lái)，微分包含溫和解的存在性得到了廣泛關(guān)注［1～5］，有關(guān)隨機(jī)脈沖微分方程的內(nèi)容可參見(jiàn)文獻(xiàn)［6～9］。

本文主要考慮一類具有時(shí)滯的隨機(jī)脈沖集值泛函微分方程：

2預(yù)備知識(shí)

C(Rτ，X)是由從Rτ到X的所有連續(xù)泛函組成的Βanach空間，賦予范數(shù)‖x‖∞=sup{‖x(t):t∈Rτ‖}?？蓽y(cè)泛函x:Rτ→X是Βochner可積當(dāng)且僅當(dāng)‖x‖為L(zhǎng)ebesgue可積，有關(guān)Βochner積分及其性質(zhì)參見(jiàn)Yosida［10］。L1() Rτ，X是由Βochner可積的連續(xù)泛函x:Rτ→X組成的Βanach空間，賦予范數(shù)

考慮下面系統(tǒng)：

定義1［11］方程（4）的預(yù)解算子是一個(gè)有界算子泛函R(t)∈L(X)，并且具有如下性質(zhì)：

1）R(0)=I，I為X上的恒等算子。

2）對(duì)每個(gè)y∈X，t→R(t) y是強(qiáng)連續(xù)的。

3）R(t)∈L(Y~)，t∈Rτ，其中Y~為賦予圖像范數(shù)的Banach空間D(A)。若y∈Y~，有

R(·)y=C1(J，X)∩C(J，Y~)且

引理1［12］假設(shè)以下兩個(gè)條件成立：

1）A是空間X上的一個(gè)稠定的閉線性算子且生成一個(gè)強(qiáng)連續(xù)半群T() t。

2）{C~(t)，t∈Rτ}是從Y到X的閉線性算子

族，并且，存在可積函數(shù)c:Rτ→R+。使得對(duì)每個(gè)

c(t)|y|，y∈Y，t∈Rτ，則存在一個(gè)常數(shù)H=H(T)，使得‖R(t+h)-R(h) R(t)‖L(X)≤Hh，0≤h≤t≤T。

引理2［13～15］若多值映射F有非空緊值且全連續(xù)，則F是上半連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)F有閉圖像（即當(dāng)xn→x*，yn→y*，yn∈F(xn)時(shí)，有y*∈F(x*)。

定義2稱F:Rτ×B→P(X)為Caratheodory多值映射，如果

1）對(duì)每個(gè)ψ∈B，t→F(t，ψ)是可測(cè)的；

2）對(duì)任意的t∈Rτ，ψ→F(t，ψ)為上半連續(xù)的。

引理3［13］如果F為Caratheodory多值映射，且對(duì)給定的ψ∈B，集合SF，ψ={f∈L1(Rτ，X): f(t)∈F(t，ψ)，t∈Rτ}是非空的，Γ:L1(Rτ，X)→C(Rτ，X)為線性連續(xù)映射，則Γ?SF:C(Rτ，X)→Pcp，cv(C(Rτ，X))，y→(Γ?SF)(y)=Γ(SF，y)是 C(Rτ，X)×C(Rτ，X)上的閉圖算子。

有關(guān)公理化定義的相空間B，可參見(jiàn)文獻(xiàn)［5，14］

定義3泛函{y(t):t0-r≤t≤T}稱為系統(tǒng)（1）-（3）的溫和解，當(dāng)且僅當(dāng)

引理4［12］若多值映射Γ1:X→Pbd，cl，cv() X和Γ2:X→Pcp，cv() X滿足：

1）Γ1是壓縮算子；2）Γ2是全連續(xù)的；那么

（1）當(dāng)λ=1時(shí)，算子包含λx∈Α1x+Α2x有一個(gè)解，或者；

（2）集合{}

u∈λΑ1u+λΑ1u，0＜λ＜1是無(wú)界的。

3主要結(jié)果

為了證明系統(tǒng)（1）～（3）溫和解的存在性，假設(shè)下面條件成立：

H1.R(t)是緊算子，且存在一個(gè)常數(shù)M＞0，使得當(dāng)t∈Rτ時(shí)，‖R(t)‖≤M。

H2.G:Rτ×B→D是連續(xù)函數(shù)，且對(duì)任意的(t，ψi)∈Rτ×B，存在L＞0，使得

并且，對(duì)于t∈Rτ，ψ∈B，存在一個(gè)常數(shù)L0＞0，使得

H3.（1）F:Rτ×B→Pbd，cv，cp(X)；且對(duì)每個(gè)ψ∈B，t→F(t，ψ)是可測(cè)的；對(duì)任意的t∈Rτ，ψ→F(t，ψ)是上半連續(xù)的；對(duì)給定的ψ∈B，集合SF，ψ={f∈L1(Rτ，X):f(t)∈F(t，ψ)a.e.t∈Rτ}是非空的。

（2）對(duì)每個(gè)正常數(shù)rˉ，存在正函數(shù)Θrˉ∈L1()

Rτ，R+，使得

H4.存在常數(shù)Q＞0，使得

備注1［9］假設(shè)φ∈B且t≤0。φt為定義成φt(θ)=φ(t+θ)形式的泛函。所以，如果公理（a）中的泛函x(·)使得x0=φ，則xt=φt。

備注2［16～17］令Ma=supt∈RτM(t)，Ka=maxt∈RτK(t)，并且M*=M max{eωa，1}。

定理1假設(shè)φ∈B且條件H1-H4成立。如果

則系統(tǒng)（1）-（3）的溫和解是存在的。

證明令BˉT={y:(-∞，T]→X;y0∈B，y|R∈

τC(Rτ，X)}，對(duì)每個(gè)y∈BˉT記‖·‖a是BˉT的半范數(shù)并定義為

定義多值映射N:BˉT→P(BˉT)，對(duì)任意的y∈BˉT，Ny是所有的?ˉ∈BˉT組成的集合，使得

令y(t)=z(t)+x(t)，t∈(-∞，T]，要使y滿足定義3中的隨機(jī)脈沖積分包含當(dāng)且僅當(dāng)z滿足z0=0且

其中SF，z={f∈L1([t0，T]，X):f(t)∈F(t，zs+xs)，a.e.t∈[t0，T]}。

考慮空間BˉT0={z∈BˉT:z0=0}。記‖·‖T是BˉT0的半范數(shù)且定義為

顯然(BˉT0，‖·‖T)是一個(gè)Banach空間。

為了應(yīng)用引理4，將證明分為下面幾步：

第一步，集合{u∈Bˉ0T:u∈λN^u，0＜λ＜1}是有界的。

令z∈{u∈BˉT0:u∈λN^u，0＜λ＜1}，則存在g∈SF，z，使得

同樣建立一個(gè)積分包含z∈λN^z，λ∈(0，1)的解的先驗(yàn)估計(jì)。設(shè)zλ是z∈λN^z，λ∈(0，1)的一個(gè)解。由μλ(s)=supθ∈[0，s]‖zλ(θ)‖可知，對(duì)任意的s∈[t0，T]，有

因此

定義χλ(t)=(Ma+J~+M H Ka)‖φ‖B+Kaμλ(t)，可得

記上述不等式的右端為ζλ() t，從而

因而

由此可知集合{u∈Bˉ0a:u∈λN~u，0＜λ＜1}是有界的。

第二步，N^有閉圖。

令zn→z*，?ˉn0∈N^(zn)，及?ˉ0n→?ˉ*0，下面證明事實(shí)上，如果?ˉn0∈N^(zn)，那么存在，使得對(duì)任意的t∈J，都有

易知當(dāng)n→∞時(shí)

考慮如下線性連續(xù)算子

由引理3可得，N^*?SF是閉圖算子，此外

因?yàn)閦n→z*，從引理3可得

由此可得，N^有閉圖。

我們將N~分解為N^=N^1+N^2，其中

第三步，N^1是壓縮算子。

對(duì)任意的z*，z**∈Br，可得

故

因?yàn)長(zhǎng)KaQ＜1，所以N^1是壓縮算子。類似于文獻(xiàn)［8］，N^2是全連續(xù)多值映射。由引理4知，具有預(yù)解算子的隨機(jī)脈沖積分微分包含問(wèn)題（1）～（3）至少有一個(gè)溫和解。

4結(jié)語(yǔ)

利用預(yù)解算子理論結(jié)合相應(yīng)的集值映射不動(dòng)點(diǎn)定理，先將模型轉(zhuǎn)化成積分方程，在給定條件及多值映射有關(guān)理論的基礎(chǔ)上，按照不動(dòng)點(diǎn)定理，逐步證明了隨機(jī)脈沖中立型積分微分包含溫和解的存在性。該方法對(duì)同類復(fù)雜模型的研究具有促進(jìn)意義。

［1］Lin A，Hu L.Existence results for impulsive neutral sto?chastic functional integro-differential inclusions with nonlocal initial［J］.Conditions.Comput.Math.Appl，2010，59（1）：64-73.

［2］Balasubramaniam P，Ntouyas S K.Controllability for neu?tral stochastic functional differential inclusions with infi?nite delay in abstract space［J］.J.Math.Anal.Appl，2006，324（1）：161-176.

［3］Li W-S，Chang Y-K，Nieto J.J.Solvability of impulsive neutral evolution differential inclusions with state-depen?dent delay，Math Comput.Modelling［J］.2009，49（9-10）：1920-1927.

［4］Chang Y-K，Anguraj A，Mallika Arjunan M.Existence re?sults for non-densely defined neutral impulsive differen?tial inclusions with nonlocal conditions［J］.Journal of Ap?plied Mathematics and Computing，2008，28（1-2）：79-91.

［5］李文勝.時(shí)滯依賴狀態(tài)的非自治多值偏積分微分方程［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2014，34（1）：139-149.

LI Wensheng.On non-autonomous multivalued partial in?tegro-differential equations with state-dependent delay［J］.Acta Mathematica scientia，2014，34（1）：139-149.

［6］Wu S J，Duan Y R.Oscillation，stability and bounded?ness ofsecond-order differential systems with random im?pulses［J］.Comput.Math.Appl，2005，49（9-10）：1375-1386.

［7］Anguraj A，Wu S J.Vinodkumar A.The existence and ex?ponential stability of semi-linear functional differential equations with random impulses under non-uniqueness［J］.Nonlinear Anal.TMA，2011，74（2）：331-342.

［8］李文勝，周千，韓慧蓉.隨機(jī)脈沖隨機(jī)偏發(fā)展微分包含解的存在性［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2015，38（6）：1059-1073.

LI Wensheng，ZHOU Qian，HAN Huirong.Existence re?sults for a stochastic partial evolution differential inclu?sions with random impulses［J］.Acta Mathematicae Appli?catae Sinica，2015，38（6）：1059-1073.

［9］Zhao Zhi-Han，Chang Yong-Kui，Li Wen-Sheng.Asymp?totically almost periodic，almost periodic and pseudo-al?most periodic mild solutions for neutral differential equa?tions［J］.Nonlinear Analysis：Real World Applications，2010，11（4）：3037-3044.

［10］K.Yosida，F(xiàn)unctional Analysis［M］.6th ed.，Spring?er-Verlag，Berlin，1980.

［11］Lasota A，Opial Z.An application of the Kakutani-Ky Fan theorem in the theory of ordinary differential equa?tions.Bulletin de I'Academie Polonaise des Sciences，Se?rie des Sciences［J］.Mathematiques，Astronomiques et Physiques，1965，13：781-786.

［12］Hernández E.Existence results for partialneutralintegro?differential equations with unbounded delay［J］.J Math AnalAppl，2004，292：194-210.

［13］Lasota A，Opial Z.An application of the Kakutani-Ky Fan theorem in the theory of ordinary differential equa?tions.Bulletin de I'Academie Polonaise des Sciences，Se?rie des Sciences［J］.Mathematiques，Astronomiques et Physiques，1965，13：781-786.

［14］Pazy A.Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations［M］.in：Applied Mathe?matical Sciences，vol.44，New York：Springer-Verlag，1983.

［15］Fitzgibbon W E.Semilinear functional differential equa?tions in Banach spaces［J］.Journal of Differential Equa?tions，1978，29（1）：1-14.

［16］Grimmer R.Resolvent operators for integral equations in a Banach space［J］.Transactions of the American Mathe?matical Society，1982，273（1）：333-349.

［17］Liang J，Liu J H，Xiao T-J.Nonlocal impulsive problems for integrodifferential equations.The sixth International Conference on Differential Equations and Dynamical Sys?tems［M］.Baltimore，Maryland，USA，2008：22-26.

Existence Results of Mild Solution for Random Impulsive Integro-differentialInclusions with Resolvent Operator

LI Wensheng
（Faculty of Science，Xi'an Aeronautical University，Xi'an 710077）

This paper is concerned with existence of mild solution for a random impulsive integro-differential inclusions with resolvent operator.Using Krasnoselskii-Scheafer type fixed point theorems and the theory of Resolvent operator，the existence of mild solutions is obtained in the axiomatic definition ofthe phase space.

resolventoperator，random impulsive，integro-differentialinclusions

O175.22

10.3969/j.issn.1672-9722.2017.08.006

2017年3月2日，

2017年4月10日

陜西省教育廳科研項(xiàng)目（編號(hào)：15JK1379）；西安航空學(xué)院科研基金（編號(hào)：2014KY1210）資助。

李文勝，男，碩士，研究方向：算子理論與微分方程。