張 孟 吳趙龍 陸 慧 汪 溶 鐘菊花

(1華東理工大學理學院物理系，上海 200237)

電磁駐波中的能量與能流分布探討

張 孟1吳趙龍1陸 慧1汪 溶1鐘菊花1

(1華東理工大學理學院物理系，上海 200237)

本文對平面時諧電磁波形成的駐波能量與能流的分布情況進行了理論推導，探討了電磁駐波能量的分布特征。結(jié)果與機械波形成的駐波場進行比較，揭示了駐波能量和能流的規(guī)律具有普遍性。

電磁波；駐波；能量；能流

波動是自然界一種普遍運動形式，波的概念在物理學中極其重要。對于工科大學物理課程來說，波動知識點貫穿始終，從力學模型引出的機械波到麥克斯韋方程組的電磁波，再到波動光學中的干涉、衍射、偏振，最后到量子力學部分的物質(zhì)波以及波函數(shù)。波是經(jīng)典物理和量子物理的結(jié)合點，因此掌握好波的知識點是學好大學物理的重要一環(huán)。然而對于波疊加涉及能量問題時常常會出現(xiàn)一些似是而非的矛盾，筆者在教學過程中經(jīng)常與學生以及同事對波的能量問題進行討論。趙凱華先生也對波疊加時的能量佯謬問題專門撰文論述過，解答了讀者普遍存在的一些疑問[1]。已有的一些關于駐波能量討論都是局限在機械波范疇內(nèi)，如一列機械波與其反射波形成的駐波場中，不存在沿單一方向的能流[2-7]。迄今為止，還沒有關于電磁波形成的駐波方面的文章報道。為此，本文從不同的角度出發(fā)，對一列平面時諧電磁波形成的駐波進行分析，得到類似機械波的結(jié)論，說明駐波能量與能流的分布規(guī)律具有一般性。這些結(jié)論很好地補充了波疊加時的能量問題，為進一步深入理解經(jīng)典波動光學中能量疊加和量子物理波函數(shù)物理意義提供了參考價值。

1 駐波的描述

介質(zhì)中傳播的電磁波與界面處的反射波疊加形成駐波場是常見的一種物理現(xiàn)象，例如微波在一端放置短路面的波導中傳播時，波導內(nèi)便形成了駐波狀態(tài)；但在波導中傳播的電磁波較為復雜，一般不可能是橫電磁波[8]，筆者僅討論平面時諧電磁波形成的駐波場，例如光學諧振腔中的激光光場。

假設一列平面時諧電磁波在電容率為ε、磁導率為μ的線性介質(zhì)中與其反射波形成駐波場，若其電場強度幅值為E0，磁感線強度幅值為B0，角頻率為ω，波數(shù)為k，則此二列電磁波的表達式可以寫為

(1)

在相遇區(qū)域內(nèi)疊加后，形成駐波場，有：

(2)

利用和差化積公式，不難得到：

(3)

同理可以得到，駐波波節(jié)的位置坐標為

進一步可以發(fā)現(xiàn)，駐波場中波腹x1處，電場強度的振動幅度最大，但是磁感應強度的振幅為零；而波節(jié)x2處，電場強度的振幅為零，但是磁感應強度的振幅最大。綜上可以定性地看出，駐波場中電場能量最大的位置磁場能量最小，兩部分能量的空間分布情況完全不同。

2 駐波的能量

我們先考慮一般位置處，駐波場中電場能量和磁場能量的時間和空間分布情況。

在線性介質(zhì)(ε、μ)中傳播的電磁波，其電場能量密度ωE和磁場能量密度ωM的計算公式為

(4)

將式(3)代入式(4)中，得到電場能量密度ωE與磁場能量密度ωM的具體表達式：

(5)

法拉第電磁感應定律的微分形式為

將式(3)代入此式，即：

(6)

對于駐波場中波腹x1處，由式(5)可得其能量密度：

(7)

(8)

同理，對于駐波場中的波節(jié)x2處，能量密度為

(9)

(10)

3 駐波的能流

利用式(3)計算線性介質(zhì)(ε、μ)中駐波的能流密度S:

(11)

(12)

為確保能量僅在相鄰的波腹與波節(jié)之間來回流動，而不流過波腹和波節(jié)的結(jié)論正確，我們最后來計算相鄰波腹和波節(jié)之間的總能量。假設駐波場中的體積元為dτ=Adx，則結(jié)合式(5)，計算相鄰波腹與波節(jié)之間的電場能量WE和磁場能量WM為

(13)

結(jié)合式(6)，可以得到相鄰波腹與波節(jié)之間的總能量Wtot：

(14)

從式(13)、(14)可以看出，相鄰波腹與波節(jié)之間的電場能量與磁場能量均隨時間周期性變化，但它們之和卻不隨時間變化，即相鄰波腹和波節(jié)之間的總能量守恒，與駐波場中的其他部分之間不存在能量的轉(zhuǎn)移，能量只在波腹和波節(jié)之間來回振蕩。

4 總結(jié)

本文從平面時諧電磁波形成駐波場的假設出發(fā)，研究了其能量與能流的特點，發(fā)現(xiàn)以下結(jié)論：

(1) 該駐波場中，波腹位置處磁場能量密度恒為零，電場能量密度隨時間周期性變化；波節(jié)位置處電場能量密度恒為零，磁場能量密度周期性變化。

(2) 駐波場中，電場能量密度與磁場能量密度之和的平均值不隨位置的改變而不同，波腹附近電場能量密度的平均值更大，波節(jié)附近磁場能量密度的平均值更大，但各位置處總能量密度的均值相同。

(3) 駐波場中的能量僅在相鄰的波腹與波節(jié)之間來回流動，且相鄰波腹與波節(jié)之間的電場能量和磁場能量之和守恒，并不與其他部分存在能量交換。

將上述結(jié)論與機械橫波形成的駐波場[2]進行比較，可以發(fā)現(xiàn)駐波能量和能流的特點具有一般性。

[1] 趙凱華.波疊加時的能量佯謬[J].物理與工程,2008,18(5):2-4.ZhaoKaihua.Paradoxesofenergyonwaveoverlapping[J].PhysicsandEngineering, 2008, 18(5): 2-4. (inChinese)

[2] 郭建軍.關于駐波能量的分析[J].大學物理,2005,24(5):23-25.GuoJianjun.Theanalysisaboutenergyofstandingwaves[J].CollegePhysics, 2005, 24(5): 23-25. (inChinese)

[3] 陶宗明,聶淼,儲德林.相向傳播的兩列簡諧波疊加時能量問題的研究[J].大學物理,2012,31(11): 11-13.TaoZongming,NieMiao,ChuDelin.Thestudyontheenergyproblemoftwocounter-propagatingharmonicwavessuperposition[J].CollegePhysics, 2012, 31(11): 11-13. (inChinese)

[4] 周越,張國鋒.對簡諧波能量的討論[J].大學物理,2015(10):15-16+19.ZhouYue,ZhangGuofeng.Thediscussiononenergyofharmonicwaves[J].CollegePhysics, 2015(10): 15-16,19. (inChinese)

[5] 梁法庫,徐寶辰,劉道森.非均勻介質(zhì)的駐波演示及分析[J].物理與工程,2004,15(4): 59-60.LiangFaku,XuBaochen,LiuDaosen.Thedemonstrationandanalysisonstandingwavesinheterogeneousmedia[J].PhysicsandEngineering, 2004,15(4): 59-60. (inChinese)

[6] 李建青,袁松柳.關于兩個駐波疊加結(jié)果的討論[J].物理與工程,2002,12(4): 13-14.LiJianqing,YuanSongliu.Thediscussiononthesuperpositionresultoftwostandingwaves[J].PhysicsandEngineering, 2002,12(4): 13-14. (inChinese)

[7] 趙慧,王銀海,鄧穎宇,等.用3DStudioMax演示駐波的振動[J].物理與工程,2010,20(2): 34-36.ZhaoHui,WangYinhai,DengYinyu,etal.Demostratingthevibrationofstandingwavesby3DStudioMax[J].PhysicsandEngineering, 2010,20(2): 34-36. (inChinese)

[8] 郭碩鴻.電動力學[M].北京：高等教育出版社，2008.

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EXPLORE THE DISTRIBUTION OF ENERGY AND ENERGY FLOW IN ELECTROMAGNETIC STANDING WAVES

Zhang Meng Wu Zhaolong Lu Hui Wang Rong Zhong Juhua

(Department of Physics, East China University of Science and Technology, Shanghai 200237)

In this article, theoretical derivations were carried out to reveal the distribution of energy and energy flow of the plan harmonic electromagnetic standing waves. The distribution properties of the standing wave energy are discussed in detail. It was found that the forms of electromagnetic wave distributions are in consistent with the standing wave generated from the mechanical wave field, which reveals the law of standing wave energy and energy flow is universal.

electromagnetic wave; standing wave; energy; energy flow

2016-05-29

華東理工大學教改項目(YK0126111、YK0126102);國家級大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃項目(201510251063)。

張孟，男，副教授，主要從事物理教學科研工作，研究方向為計算物理，mzhang@ecust.edu.cn。

張孟，吳趙龍, 陸慧,等. 電磁駐波中的能量與能流分布探討[J]. 物理與工程，2017，27(5)：47-50.