徐苾蕓+蔣濤

摘 要：工業(yè)上聚合物加工過程中常涉及廣義牛頓自由表面流問題，其數(shù)值模擬為當(dāng)今國際上的研究熱點。本文以Cross模型流體為主，對三維廣義牛頓自由面流動問題SPH方法模擬研究的優(yōu)缺點進行了探討。為提高Cross模型流動問題模擬的精度和穩(wěn)定性，結(jié)合密度耗散項和Taylor展開思想給出了一種適合三維廣義牛頓自由面流動問題模擬的修正SPH離散格式。

關(guān)鍵詞：修正SPH 自由表面流 Cross模型 密度耗散項

中圖分類號：O35 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）07（b）-0255-02

1 光滑粒子動力學(xué)方法的簡介

目前，許多種基于網(wǎng)格的數(shù)值方法被提出且用于解決聚和物流的復(fù)雜自由表面問題，例如邊界元法（BEM）和有限元法（FEM）等。盡管上述方法都被成功應(yīng)用于流體力學(xué)的多個領(lǐng)域，但當(dāng)用來解決三維復(fù)雜表面流，尤其是像嚴(yán)重網(wǎng)格畸變等這類大變形問題、非連續(xù)和高梯度問題時，通常有些困難。為了改善基于網(wǎng)格的方法的缺點并有效解決大變形問題，各種基于拉格朗日描述的無網(wǎng)格或粒子方法[1-2]被提出。SPH方法是一個純粹的無網(wǎng)格方法，它最先被用于天體物理學(xué)中。SPH方法的關(guān)鍵思想是用一組粒子替代了流體域，這里引進一個平滑內(nèi)核來近似光滑域變量和由相鄰粒子相互作用引發(fā)的空間導(dǎo)數(shù)。每個粒子都有質(zhì)量、拉格朗日位置、拉格朗日速度和內(nèi)能，其他通過插入或由本質(zhì)關(guān)系衍生，粒子以連續(xù)統(tǒng)的速度移動。

2 SPH方法的優(yōu)缺點分析

SPH方法相較于基于網(wǎng)格的方法和EFG方法的優(yōu)點：（1）它無需明確的表面追蹤技術(shù)就可以輕而易舉地處理復(fù)雜自由表面；（2）它對復(fù)雜問題的編程和并行化容易實施，尤其是針對沒有網(wǎng)格重建的三維情況。鑒于此，SPH方法被廣泛應(yīng)用于許多流體力學(xué)領(lǐng)域，比如二維或三維的非牛頓液體流[3-4]或自由表面流等。

但是傳統(tǒng)的SPH方法也存在著兩大缺點：其一，低精確度；其二，穩(wěn)定性差，且常伴隨壓力震蕩現(xiàn)象。因此，為了提高傳統(tǒng)SPH方法的數(shù)值精度和穩(wěn)定性，一些修正的SPH方法被提出，例如改進的光滑粒子流體力學(xué)方法（CSPM）、MSPH方法和對稱SPH方法（SSPH）等[4-5]。

3 已有改進SPH方法的缺點

上述提出的幾種改進SPH方法未被廣泛應(yīng)用到非牛頓流動問題的研究[5-8]，且將它們直接推廣應(yīng)用到三維廣義牛頓流動問題模擬時存在如下缺點。

（1）MSPH方法和SSPH方法中的矩陣奇異現(xiàn)象可能引起數(shù)值不穩(wěn)定，尤其是在流體域邊界附近。

（2）上述方法應(yīng)用于三維復(fù)雜自由表面問題時，會導(dǎo)致復(fù)雜的編程和較大的計算量。

（3）隨模擬時間的延長，流體大變形過程中仍有較嚴(yán)重的壓力震蕩。

4 改進方案

針對上述已有改進方法的不足之處，本文提出一種修正SPH方法與MPI并行技術(shù)相結(jié)合的方法，用于模擬三維廣義牛頓表面流問題。給出的修正SPH方法的基本思想是將改進的SPH方法與傳統(tǒng)SPH方法相結(jié)合，即改進的SPH方法通過在內(nèi)部流體域上使用SPH_DTKGC方法[6]，在自由表面附近采用傳統(tǒng)SPH方法。同時，給出了一種新的邊界處理方式，且容易實施。另外，考慮了基于移動網(wǎng)格相鄰粒子搜索方法的MPI并行技術(shù)，且在IBM的HPC平臺上采用C++編程來提高三維問題模擬的計算效率。

5 結(jié)語

本文首先對SPH方法及其優(yōu)缺點作了介紹，然后對已有改進SPH方法推廣應(yīng)用到廣義牛頓自由表面流動問題的研究的缺點作了分析，并引入核梯度改進思想和密度耗散項，對SPH方法在三維廣義牛頓流體流動問題模擬中的應(yīng)用缺陷提出了相應(yīng)的改善方案。

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