王長江

摘 要：疲勞壽命服從對數(shù)正態(tài)分布的假設(shè)在應(yīng)力水平趨于疲勞極限時(shí)不合理，為描述這一區(qū)域的P-S-N曲線，假設(shè)疲勞強(qiáng)度服從正態(tài)分布，將普通試驗(yàn)點(diǎn)看作破壞壽命下的疲勞強(qiáng)度，將升降法中的對子應(yīng)力作為給定壽命下疲勞強(qiáng)度的樣本值，基于極大似然法原理提出了一個(gè)新的P-S-N曲線模型。對幾組金屬材料的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果表明該模型對中長壽命區(qū)和疲勞極限附近的P-S-N曲線擬合效果較好，且對疲勞試驗(yàn)方法沒有限制。

關(guān)鍵詞：疲勞強(qiáng)度；P-S-N曲線；極大似然法；正態(tài)分布

中圖分類號：O211 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：2095-2945（2017）27-0020-02

1 概述

由于不確定因素的影響，材料的疲勞性能數(shù)據(jù)存在很大的分散性。概率疲勞性能曲線是結(jié)構(gòu)疲勞壽命預(yù)測和可靠性分析的重要基礎(chǔ)。P-S-N曲線擬合問題已有大量研究，常用的是最小二乘法和極大似然法。

傅惠民等[1]對疲勞壽命和疲勞強(qiáng)度的百分位值進(jìn)行最小二乘法擬合得到三參數(shù)的P-S-N曲線。文獻(xiàn)[2]中的雙加權(quán)最小二乘法考慮了樣本容量和試驗(yàn)結(jié)果分散性的影響，可以處理包含成組法和升降法在內(nèi)的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

Nelson假設(shè)疲勞壽命服從對數(shù)正態(tài)分布，提出了一種擬合包含截尾數(shù)據(jù)的極大似然法。Pascual等基于極大似然法原理提出了一個(gè)隨機(jī)疲勞極限（RFLM）模型。

最小二乘法在擬合P-S-N曲線時(shí)沒有考慮疲勞壽命分散性的變化規(guī)律，數(shù)據(jù)有限時(shí)會出現(xiàn)曲線對數(shù)壽命標(biāo)準(zhǔn)差為負(fù)或應(yīng)力水平越高對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差越大的反常情況。

此外，若疲勞試驗(yàn)沒有按照成組法或升降法來進(jìn)行，最小二乘法也會失效。

上述的幾種極大似然法模型對升降法試驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理無能為力。一般認(rèn)為疲勞壽命服從對數(shù)正態(tài)分布或威布爾分布，但是當(dāng)應(yīng)力水平趨于疲勞極限時(shí)，這一假設(shè)不再合理，傳統(tǒng)的疲勞壽命分布假設(shè)無法描述低應(yīng)力水平的P-S-N曲線。

本文以疲勞強(qiáng)度的分布假設(shè)為基礎(chǔ)提出了一個(gè)新的極大似然法模型，該模型合理地描述了中長壽命區(qū)和疲勞極限附近的P-S-N曲線，同時(shí)對試驗(yàn)方法沒有限制，可以處理包含單點(diǎn)法、成組法、升降法和截尾數(shù)據(jù)在內(nèi)的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

2 疲勞強(qiáng)度分布假設(shè)

2.1 傳統(tǒng)極大似然法

大量的金屬材料疲勞性能曲線的研究表明，中長壽命區(qū)的P-S-N曲線可采用三參數(shù)公式來描述

式中，Np為具有可靠度p的疲勞壽命；S為最大應(yīng)力；S0p為理論疲勞極限；mp和Cp為待定常數(shù)。假設(shè)指定應(yīng)力水平下，疲勞壽命服從對數(shù)正態(tài)分布，指定應(yīng)力水平S下的對數(shù)疲勞壽命的均值和標(biāo)準(zhǔn)差可寫為

式中C、m和S0為均值疲勞性能曲線的參數(shù)；Cs、ms和S0s為p=15.87%時(shí)的疲勞性能曲線參數(shù)；μN(yùn)和σN為對數(shù)疲勞壽命均值和標(biāo)準(zhǔn)差，是應(yīng)力水平S的函數(shù)。對于一組疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)，構(gòu)造似然函數(shù)[3]

其中l(wèi)nL為取對數(shù)的似然函數(shù)，？茲為參數(shù)，Ni，Si為第i個(gè)試樣的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)，n為數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)，f為正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，？椎為正態(tài)分布函數(shù)。當(dāng)似然函數(shù)lnL取最大值時(shí)，六個(gè)參數(shù)即為最佳取值。實(shí)際應(yīng)用過程中，為縮短計(jì)算時(shí)間，可以采用最小二乘法估計(jì)均值壽命曲線的參數(shù)C、m和S0，然后再采用最優(yōu)化方法求解其它參數(shù)。一般情況下，P-S-N曲線有如下規(guī)律：

（1）各級應(yīng)力水平下，疲勞壽命的標(biāo)準(zhǔn)差σN大于0；

（2）應(yīng)力水平越低，壽命分散性越大，σN對S的導(dǎo)數(shù)大于0；

（3）S0s>S0，本文對多種材料的升降法試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，疲勞極限的變異系數(shù)通常小于0.13，即（S0s-S0）/S0<0.13。

以（1-3）作為約束條件，對式（5）進(jìn)行最優(yōu)化求解，得到Cs、ms和S0s的取值。任意可靠度下的P-S-N曲線可以表示為

logNp=？滋N(yùn)（S）+upσN（S） （6）

其中up為與可靠度對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)偏量，式（6）在中長壽命區(qū)是合理的，但是當(dāng)應(yīng)力水平趨于疲勞極限時(shí)，會出現(xiàn)奇異現(xiàn)象，與實(shí)際情況不符。究其原因，疲勞壽命服從對數(shù)正態(tài)分布的假設(shè)在疲勞極限附近不合理，此時(shí)，可以采用疲勞強(qiáng)度分布假設(shè)。

2.2 疲勞強(qiáng)度的概率分布

給定壽命下疲勞強(qiáng)度的概率分布不能通過試驗(yàn)方法直接獲得，只有采用間接方法來研究。最早Weibull以給定應(yīng)力水平的疲勞壽命分布規(guī)律推導(dǎo)出給定壽命的疲勞強(qiáng)度分布規(guī)律，提出疲勞壽命破壞率與疲勞強(qiáng)度破壞率相等。疲勞強(qiáng)度概率分布問題從統(tǒng)計(jì)角度出發(fā)，利用統(tǒng)計(jì)推斷方法處理，對三組大樣本試驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析結(jié)果表明疲勞強(qiáng)度可以用威布爾分布或正態(tài)分布描述。

3 基于疲勞強(qiáng)度分布假設(shè)的極大似然法

對式（1）進(jìn)行變換，疲勞強(qiáng)度可以寫成壽命N的表達(dá)式

式中，Sp為具有可靠度p的疲勞強(qiáng)度；N為疲勞壽命。假設(shè)給定壽命的疲勞強(qiáng)度服從正態(tài)分布，疲勞強(qiáng)度的均值和標(biāo)準(zhǔn)差可寫為

式中，μS和σS為疲勞強(qiáng)度的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，是壽命N的函數(shù)。疲勞強(qiáng)度S的概率密度函數(shù)為

對于一組疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)，構(gòu)造似然函數(shù)[3]

式（12）對疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)的類型沒有限制，升降法“對子應(yīng)力”為指定壽命下疲勞強(qiáng)度的樣本，單點(diǎn)法和成組法的試驗(yàn)點(diǎn)（Si，Ni）可以看作是壽命Ni下的疲勞強(qiáng)度Si。當(dāng)似然函數(shù)lnL取最大值時(shí)，六個(gè)參數(shù)即為最佳取值。

以2.1中的（1-3）作為約束條件，對lnL進(jìn)行優(yōu)化求解，P-S-N曲線的擬合過程可以表述為

其中，σN（S）由式（2）計(jì)算。式（13）中的優(yōu)化問題在實(shí)際計(jì)算中可以先通過最小二乘法估計(jì)均值壽命曲線的參數(shù)C、m和S0，然后再采用優(yōu)化方法求解其他參數(shù)，以縮短計(jì)算時(shí)間和已有的均值壽命曲線擬合保持一致。任意可靠度下的Sp-N曲線可以表示為

將式（8）代入式（13）得

4 結(jié)束語

假設(shè)疲勞強(qiáng)度服從正態(tài)分布，基于極大似然法原理給出了一種新的P-S-N曲線擬合方法。兩組試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果表明中等壽命區(qū)疲勞強(qiáng)度服從正態(tài)分布的假設(shè)與疲勞壽命服從對數(shù)正態(tài)分布假設(shè)在工程上近似等效。疲勞強(qiáng)度假設(shè)能更好地描述疲勞極限附近的P-S-N曲線。與最小二乘法和傳統(tǒng)極大似然法的對比表明，本文方法對各類型的試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合效果更佳。

參考文獻(xiàn)：

[1]傅惠民，高鎮(zhèn)同，梁美訓(xùn).P-S-N曲線擬合法[J].航空學(xué)報(bào)，1988，9（7）：A338～A341.

[2]謝金標(biāo)，姚衛(wèi)星.疲勞S-N曲線擬合的雙加權(quán)最小二乘法[J].宇航學(xué)報(bào)，2010，31（6）：1661～1665.

[3]王強(qiáng)，林元華. QPQ鹽浴復(fù)合熱處理中滲氮溫度對4145鋼疲勞壽命的影響[J].科技創(chuàng)新與應(yīng)用，2016（33）：23-24.endprint